第三章狀態(tài)空間分析法第一頁，共50頁。三、狀態(tài)和狀態(tài)變量狀態(tài)——動力學系統(tǒng)的狀態(tài)是表征系統(tǒng)運動的信息。只要知道t0的狀態(tài)和t≥t0的輸入，就能完全確定t≥t0的行為。狀態(tài)變量——是確定系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變量。eg：x1(t),x2(t),……,xn(t)是一組狀態(tài)變量。

*狀態(tài)變量并不一定是物理上可測或可觀察的量。但為最佳控制規(guī)律需要把所有這些狀態(tài)變量反饋，故最好為測量。狀態(tài)向量——將幾個狀態(tài)變量看作是向量Z(t)的各個分量，Z(t)就叫做狀態(tài)變量。第二頁，共50頁。狀態(tài)空間——由x1軸，x2軸,……，xn軸所組成的n維空間叫做狀態(tài)空間，任意狀態(tài)則為其中一個點。例：第三頁，共50頁?！?-2系統(tǒng)狀態(tài)空間的表達式線性微分方程作用函數(shù)中不含有導數(shù)項的n階系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式：y(n)+a1y(n-1)+……+an-1y+any=u由數(shù)學知識知，若y(0),y(0),……,y(n-1)(0)和t≥0時u(t)則系統(tǒng)未來的行為就可知。設：則微分方程可表示為：第四頁，共50頁。或者：第五頁，共50頁。輸出方程為：

或者：Y=CZ

第六頁，共50頁。例：設系統(tǒng)方程為求狀態(tài)空間表達式。解：設狀態(tài)變量為：y----輸出；u----輸入。故有-11-66-6第七頁，共50頁。所以標準形式：?狀態(tài)變量的非唯一性：假設x,x,…x是一組狀態(tài)變量，則可取任一組函數(shù)。作為另一組狀態(tài)變量，若對每一組，值都對應于唯一的一組的值，反之也成立。則：也是一個狀態(tài)變量。P是非奇異的。第八頁，共50頁。階矩陣A的特征值：即：|λI-A|=0的根。設：特征方程：∴矩陣A的特征值為-1，-2，-3。第九頁，共50頁。例：上例中：假設一組新變量Z1，Z2，Z3作如下變換第十頁，共50頁。特征值的不變性：證明：|λI-P-1AP|=|λP-1P-P-1AP|=|P-1(λI-A)P|=|P-1|·|λI-A|·|P|=|P-1|·|P|·|λI-A|=|P-1P|·|λI-A|=|λI-A|第十一頁，共50頁。若將n×n階矩陣化成對角線矩陣：具有互不相同的特征值。式中：為A的n個特征值。第十二頁，共50頁。若A含有多重特征值，則A不能化為對角矩陣，而只能化為約當標準型矩陣。比如：例：解：第十三頁，共50頁。因此：令：3-33-1-6-2第十四頁，共50頁。?具有r個作用函數(shù)的線性微分方程描述的n階系統(tǒng)的

狀態(tài)空間表達式：線性對象輸出元件第十五頁，共50頁。·作用函數(shù)含有導數(shù)項的線性微分方程所描述的n階線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式：當作一組狀態(tài)變量，并且也不能采用前面的簡潔方法。這是因為n個一階微分方程。第十六頁，共50頁。在時，可能得不到唯一的解。作為一狀態(tài)變量必須是能消去狀態(tài)方程中u的導數(shù)項。?。菏街校旱谑唔摚?0頁。就能保證狀態(tài)方程解的存在性和唯一性。由上述可得：或：第十八頁，共50頁。該表達式表示了傳遞函數(shù)：例、研究圖所示的控制系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)為：解：對應的微分方程為：令：第十九頁，共50頁。其中：第二十頁，共50頁?！?-3定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解法·齊次狀態(tài)方程的解法：（純量微分方程）假設x(t)為：

將所設解代入方程中可得：顯然有：第二十一頁，共50頁。的值可將t=0代入方程求得，即：方程的解x(t)可寫為：?現(xiàn)在來解矩陣微分方程：式中x=n維向量，A=n×n常系數(shù)矩陣設方程解為t的向量冪級數(shù)形式，即：要求t的同冪項系數(shù)相等，即：第二十二頁，共50頁。將t=0代入方程中可得：方程的解：第二十三頁，共50頁。矩陣指數(shù)：一個n×n階矩陣A的矩陣指數(shù)：對于所有有限時間是絕對收斂的。?微分性：第二十四頁，共50頁。?齊次狀態(tài)方程的拉普拉氏解法。首先考慮純量狀態(tài)方程：對方程取拉氏變換：第二十五頁，共50頁。?狀態(tài)轉移矩陣：的解寫成為x(t)=ф(t)x(0)式中ф(t)是n×n階矩陣，且是：的唯一解。由上可知：注意：——狀態(tài)轉移矩陣第二十六頁，共50頁。狀態(tài)轉移矩陣的性質(zhì)例：求系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣和狀態(tài)轉移矩陣的逆第二十七頁，共50頁。解：由于：第二十八頁，共50頁。第二十九頁，共50頁。非齊次狀態(tài)方程的解對純量方程：或：第三十頁，共50頁。非齊次狀態(tài)方程：同理可求出：?非齊次狀態(tài)方程的拉普拉斯變換解法：略解得：第三十一頁，共50頁。解：由上例：第三十二頁，共50頁。如果初始條件為零：第三十三頁，共50頁。§3-4傳遞矩陣傳遞矩陣是傳遞函數(shù)的推廣，傳遞函數(shù)：狀態(tài)方程為：第三十四頁，共50頁。例：如圖所示的傳達室遞函數(shù)：解：由圖狀態(tài)方程：5-22-23-12知陣表達式：第三十五頁，共50頁。例、研究圖所示的控制系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)為：如多變量控制的方框圖為：式中x=n維向量多輸入——多輸出系統(tǒng)消除交鏈的問題：時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣第三十五頁，共50頁。第二十八頁，共50頁。第三十九頁，共50頁。第四十一頁，共50頁。第三十六頁，共50頁。?齊次狀態(tài)方程的拉普拉氏解法。當作一組狀態(tài)變量，并且也·齊次狀態(tài)方程的解法：不能采用前面的簡潔方法。狀態(tài)空間法可適用于線形的時變系統(tǒng)。第三十八頁，共50頁。所以，傳遞函數(shù)：傳遞矩陣G（s）：Y（s）=G(s)U(s)…………（1）若u——r維向量，y——m維向量，A則為m.r矩陣。則<1>式展開為：第三十六頁，共50頁?！硎镜趇個輸出，j個輸入的傳遞函數(shù)，即傳遞函數(shù)矩陣為如多變量控制的方框圖為：第三十七頁，共50頁。多輸入——多輸出系統(tǒng)消除交鏈的問題：設對象的傳遞函數(shù)陣為（n*n階矩陣），現(xiàn)設計一組補償器（也是n階矩陣），使得n個輸入和n個輸出是相互獨立的。即第三十八頁，共50頁。則閉環(huán)傳遞矩陣：現(xiàn)考慮反饋矩陣H(s)為單位矩陣，則：其中：或：由于是對角陣，所以也是對角陣。也是一個對角陣。第三十九頁，共50頁。例：現(xiàn)有一如圖所是示的系統(tǒng)，試確定一組補償器的傳遞矩陣，使得閉環(huán)傳遞矩陣為：1第四十頁，共50頁。解：由于第四十一頁，共50頁。第四十二頁，共50頁。3—5線形時變系統(tǒng)狀態(tài)空間法可適用于線形的時變系統(tǒng)。只要將轉移矩陣改為，前面大部分都適用于時變系統(tǒng)的分析。但對時變系統(tǒng)而言，轉移矩陣通常是不能用矩陣函數(shù)給出的。時變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解法：1、對純量微分方程：

其解為：狀態(tài)轉移矩陣函數(shù)為：這個結果不能用于矩陣微分方程。第四十三頁，共50頁。2．狀態(tài)方程維列向量階矩陣，其各元素在內(nèi)是t的分段連續(xù)函數(shù)解為：式中為非奇異矩陣矩陣就是由狀態(tài)方程所描述的時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣?！锏谒氖捻摚?0頁。時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣當和是可交換時，狀態(tài)轉移矩陣才可用矩陣指數(shù)表示。為了能用數(shù)值計算方法計算，可將展開成級數(shù)形式：通常,不能用封閉形式給出?！锏谒氖屙摚?0頁。例如：求時變系統(tǒng)的。解：采用上述方程的形式：第四十六頁，共50頁。狀態(tài)