2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（吉林賽區(qū)）預(yù)賽試題（2010年5月16日上午9：00—11：30）一、選擇題已知O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，若對任意kR，有|OAOBkBCAC|，則ABC一定是（ ）直角三角形B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．不能確定2.f1f(mnN*（mnN*）mnN*都有①f(m,n1)f(m,n)2；②f(m1,1)2f(m,1)則f(2010,2008)的值為（ ）A．2007 B．4014 C．220102007 D．2201040143f(x)x24x3Mxy|f(xfy)，集合Nx,y|f(xfy)0}M是 （ ）

N所表示的區(qū)域的面積A. B. C. D.4 2一個(gè)正六面體的各個(gè)面和一個(gè)正八面體的各個(gè)面都是邊長為a的正三角形，這樣的兩個(gè)多面體的內(nèi)切球的半徑之比是一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)m，那么積mn等于（ ）nA．3 B．4 C．6 D．12f(x)R上的奇函數(shù)；②對任意的xx1 2

[1,a]（其中常數(shù)a1），當(dāng)x2（ ）

x時(shí)，有f(x1

)f(x1

)0.則下列不等式不一定成立的是1aA.f(a)f(0)

f

)f( a)21f(1a

)f(3)

1D．f( )f(a)1a圓周上有10個(gè)等分點(diǎn)，則以這10個(gè)等分點(diǎn)中的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的凸四邊形中，梯形所占比為（ ）8

4

1

221 21 126 7二、填空題

3x,x2已知函數(shù)f(x) ，則f(2logf(xx2 3

2) ．1不等式x a21對一切非零實(shí)數(shù)x均成立則實(shí)數(shù)a的1x最大值．已知(ax1)n

axnn

an1

xn1 a1

xa0

（nN*），點(diǎn)列A(i,ai

)(in部分圖象如圖所示，則實(shí)數(shù)a的值為 ．BxsinxAx(AB為常數(shù))0x恒成立，則常數(shù)BA的最小值為2；對任意銳角ABCsinAsinBsinCMM的最大值為 ．已知圓O的半徑為1，半徑OA、OB夾角為(0)，為常數(shù)，點(diǎn)C為圓上動(dòng)點(diǎn)，若OCxOAyOB (x,yR)，則xy的最大值為 ．,4對應(yīng)的線段，（4所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)重合4（32那么原閉區(qū)間,4上（除兩個(gè)端點(diǎn)外）的點(diǎn)，在第n次操作完成后（n1），恰好被拉到與4重合的點(diǎn)所對應(yīng)的坐標(biāo)． 0 2 4三、解答題1．（1）設(shè)x0，y0求證：x2

3xy；xy 4（2）x0y0z0，求證：x3

y3 z3

xyyzzx.xy yz zx 2已知數(shù)列

}滿足aa（a0,且a1），前n

S

a (1a)，n 1

n 1a n記ban

lg|an

|（nN），當(dāng)a737

時(shí)，問是否存在正整數(shù)m，使得對于任意正整數(shù)n，都有b b？如果存在，求出m的值；如果不存在，說明理由．n mD如圖四邊形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)OQ C的平分線CQ交線段OD于Q，連接AQ，作OMBC于 NM ，ON于N 且P 為AB 邊的中點(diǎn)， OOA

OBOD M.OCCD A.PMPN.PB在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出同時(shí)滿足以下條件的所有矩形：這些矩形的各邊均與兩坐標(biāo)軸平行或重合；這些矩形的所有頂點(diǎn)（重復(fù)的只計(jì)算一次）恰好為100個(gè)整點(diǎn)（點(diǎn)稱為整點(diǎn)）問：最多能畫出多少個(gè)這樣的矩形，說明你的理由．參考答案1．A2．B3．C提示：由已知可得M={（x,y)|f(x)+f(y)≤0}={,)|-22+-222}={)()≥0}={(x,y)|(x-y)(x+y-4)≥0}.(x2)2(y2)22則M N ,(xy)(xy4)0作出其交集部分可得如圖所示，其面積為圓面積的一半，1即為( 2)2

，故應(yīng)選C.4．C提示：利用等體積法，可以求出5．C6．D

，所以mn6.m n m 4點(diǎn)，共有C410

210個(gè)凸四邊形，其中梯形的兩條平行邊可以從5組平行554條平行弦中選取，去除矩形，2梯形共有60個(gè)，所以，梯形所占的比為7．二、填空題11．6 3 3．

4．1

2 1；2 ．j6.2n2

3 cos2（這里j為[1,2n]中的所有奇數(shù)）三、解答題1．（1）xy求證：x2

3xy;xy 4（2）設(shè)xyz求證：x3

y3 z3

xyyzzx.xy yz zx 2證明：（1）

x2 3xy

(xy)2

0，∴x2

3xy.xy 4 4(xy) xy 4x3（2）由（1）得

3x2xy.xy 4y3類似的

3y2yz z3 ，

3z2zx，yz 4 zx 4∴x3

y3

z3

3x2xy3y2yz3z2zxxy yz zx 43(x2y2z2)xyyzzx43(xyyzzx)xyyzzx4xyyzzx2已知數(shù)列

}滿足aa（a0,且a1），前n

S

a (1a)，n 1

n 1a n記b an

lg|an

|（nN），當(dāng)a737

時(shí)，問是否存在正整數(shù)m，使得對于任意正整數(shù)n，都有bn

b m的值；如果不存在，說明理由．m解：當(dāng)n2時(shí)，Sn

a1

(1an

)，

n1

a1

(1a )，n1∴a Sn

Sn1

a1a

[(1an

)(1

n1

)]

a1a

(an1

a)，n即a n

n1

，又a1

a0，所以，{a}是首相和公比都是a的等比數(shù)列，na an，于是b7n 7

alg|an

|nanlg|a|.∵a

(1,0)，∴l(xiāng)g|a0，3故當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn

nanlg|a0，當(dāng)nbn

0.可見，若存在滿足條件的正整數(shù)m，則m為偶數(shù).b b2k2

[(2k2)a2k22ka2k]lg|a|2a2k[(k1)a2k]lg|a|a212a2k[k(a21)a2

]lg|a|a21a22a2k(a21)(k )lg|a|(kN).a21a2 a

時(shí)，a21 ，2a2k(a21)lg|a|0.723 972a2 7又1a2 2k

7

b ，即bb b ；2 2k2 2；

8 10 12k

7

b ，即bb

b.2 2k2 2

8 6 4 2故存在正整數(shù)m8，使得對于任意正整數(shù)n，都有b b.n mABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O的平分線CQ交線段OD于Q，OBODAQ，作OMBC于M，ONAQ于NPABOAPMPN.

OCCD證明：CQ平分DCO DDQDC，QO CO∴COQODQ

Q CDC ①NOBOD O又OA ，OCCD M∴OA(OCCD)OBOD ② A X將①代入②，得DQ QO DQ QO ∴OA( )CDOBODDQ P∴OADOCDOBDQ∴OA

1 CDOB， BDQ∴OACOQO即OAOCOQOBQCB得QAOCBO分別取OBX,YNXPXMYPY則OXPY∴NX1AOXOPY，2PXNNXOOXP2QAOOXP2CBOOYPMYOOYPMYPPXYO

1OBMY2∴PXN≌∴PMPN.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出同時(shí)滿足以下條件的所有矩形：這些矩形的各邊均與兩坐標(biāo)軸平行或重合；這些矩形的所有頂點(diǎn)（重復(fù)的只計(jì)算一次）恰好為100個(gè)整點(diǎn)（整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)）問：最多能畫出多少個(gè)這樣的矩形，說明你的理由.證明：（1）先證明這樣的矩形不超過2025個(gè).任取定100個(gè)整點(diǎn)。設(shè)O為所取定的100個(gè)整點(diǎn)中的一個(gè)，我們稱以O(shè)為一個(gè)頂點(diǎn)，另外三個(gè)也取自100個(gè)整點(diǎn)，且邊均與兩坐標(biāo)軸平行或重合的矩形為“好的”。下證：至多有81個(gè)“好的”矩形。O作平行于兩坐標(biāo)軸的直線l，l1 2

，并設(shè)l1

\{O上有m個(gè)點(diǎn)取自所取定的100l2

\{O}上有n100P100l和l1 2

上，則至多有一個(gè)“好的”矩形以P為其一個(gè)頂點(diǎn)，而這樣的點(diǎn)至多有99mn個(gè)，且每一個(gè)“好的”矩形必有一個(gè)頂點(diǎn)為這樣的點(diǎn)，于是①若mn18,則“好的”矩形至多有99mn81個(gè)；②若m