專題限時(shí)集訓(xùn)(十六)B[第16講圓錐曲線的熱點(diǎn)問題](時(shí)間：45分鐘)x2y23a1．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x＝2上的一點(diǎn)，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為()1234A.2B.3C.4D.522→→2．已知點(diǎn)A(1，0)和圓C：x＋y＝4上一點(diǎn)P，動點(diǎn)Q滿足PA＝2AQ，則點(diǎn)Q的軌跡方程為()A.x＋3222y＋322＋y＝1B．x＋2＝1222332C．x＋y－2＝1D.x－2＋y＝13．兩個(gè)極點(diǎn)在拋物線y2＝2px(p>0)上，另一個(gè)極點(diǎn)為(2p，0)，這樣的正三角形有()A．0個(gè)B．2個(gè)C．4個(gè)D．1個(gè)4．已知A1，A2為橢圓x22的左、右極點(diǎn)，在長軸A1A2上隨機(jī)任取點(diǎn)M，過M＋y＝14作垂直于x軸的直線交橢圓于點(diǎn)P，則使∠PA1A2<45°的概率為()475B.101C.10D.55．拋物線y＝x2上的一動點(diǎn)M到直線l：x－y－1＝0距離的最小值是()323A.8B.832C.4D.4x2y23x＋4y＝0，6．設(shè)P是雙曲線2－＝1(a>0)左支上一點(diǎn)，該雙曲線的一條漸近線方程是a9F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|PF1|＝10，則|PF2|等于()A．2B．2或18C．18D．167．點(diǎn)P到圖形C上每一個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)P到圖形C的距離，那么平面內(nèi)到定圓C的距離與到定點(diǎn)A的距離相等的點(diǎn)的軌跡不可以能是()．．．A．圓B．橢圓C．雙曲線的一支D．直線22→→x＋y＝1上有兩個(gè)動點(diǎn))8．橢圓P，Q，E(3，0)，EP⊥EQ，則EP·QP的最小值為(369A．6B．3－3C．9D．12－63y2＝4x，直線l的方程為x－y＋4＝0，在拋物線上有一動點(diǎn)P9．已知拋物線的方程為到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，則d1＋d2的最小值為()A.52＋2B.52＋122C.52－2D.52－1222210．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－y2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，若在雙曲線的右支上存在ab→→→________．一點(diǎn)P，使(OP＋OF2)·F2P＝0(O為原點(diǎn))且|PF1|＝3|PF2|，則雙曲線的離心率為11．點(diǎn)P在曲線C3：x2－y22216＝1上，點(diǎn)Q在曲線C1：(x＋5)＋y＝1上，點(diǎn)R在曲線9C2：(x－5)2＋y2＝1上，則|PQ|－|PR|的最大值是________．12．已知雙曲線x2y2A，B2－2＝1(a>0，b>0)，過其左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交雙曲線于ab兩點(diǎn)，若雙曲線右極點(diǎn)在以AB為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍為________．13．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在1，且經(jīng)過點(diǎn)M1，3x軸上的橢圓C的離心率為22.(1)求橢圓C的方程；(2)可否存在過點(diǎn)P(2，1)的直線l與橢圓C訂交于不同樣的兩點(diǎn)→→→A，B，滿足PA·PB＝PM2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明原由．14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)A(－2，0)，B(2，0)，異于A，B兩點(diǎn)的動點(diǎn)P滿足k·k＝－1，其中k，k分別表示直線AP，BP的斜率．12412(1)求動點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)若N是直線x＝2上異于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，直線AN與(1)中軌跡E交于點(diǎn)Q，設(shè)直線QB與以NB為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)為M(異于點(diǎn)B)，點(diǎn)C(1，0)，求證：|CM|·|CN|為定值．圖X16－815．如圖X16－9所示，已知過拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線訂交于A，B兩點(diǎn)．(1)求證：以AF為直徑的圓與x軸相切；(2)設(shè)拋物線x2＝4y在A，B兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)為M，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，求△ABM的外接圓方程；(3)設(shè)過拋物線x2＝4y焦點(diǎn)F的直線l與橢圓3y2＋3x2＝1的交點(diǎn)為C，D，可否存在直42線l使得|AF|·|CF|＝|BF|·|DF|，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明原由．圖X16－9專題限時(shí)集訓(xùn)(十六)B221．C[剖析]依照題意，由于F1，F(xiàn)2是橢圓E：x2＋y2＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為ab3a3a直線x＝2上的一點(diǎn)，那么結(jié)合△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，知|F2F1|＝|F2P|＝2c，2－c＝c，∴e＝3，故可知答案為C.42．D→→[剖析]設(shè)Q(x，y)，P(x0，y0)，由PA＝2AQ得x0＝－2x＋3，y0＝－2y，代入圓322的方程得x－2＋y＝1.3．C[剖析]經(jīng)過畫圖，可知有4個(gè)．4．A[剖析]橢圓的長軸長為4，設(shè)M(m，0)，P(m，n)(－2<m<0)，則當(dāng)∠PA1A2＝45°2m2時(shí)，4＋n＝1，解得m＝－6，因此|A2M|＝16.故當(dāng)點(diǎn)M落在A2M上時(shí)，滿足∠PA1A2<45°，2＋m＝|n|，55A2M的長＝4，應(yīng)選A.因此，使∠PA1A2<45°的概率為A1A2的長55．A[剖析]對y＝x2求導(dǎo)可得y′＝2x，令y′＝2x＝1可得x＝1，∴與直線x－y－1＝20平行且與拋物線y＝x2相切時(shí)切點(diǎn)為1，1，則切線方程為y－1＝x－1，即x－y－1＝0.244241由兩平行線間的距離公式可得所求的最小距離－4＋1＝32，應(yīng)選A.d＝2836．C[剖析]由題意知漸近線方程為y＝－4x，3＝3，a＝4.a4∵P是雙曲線x222y＝1左支上一點(diǎn)，∴|PFa－92|－|PF1|＝2a＝8，∴|PF2|＝18，應(yīng)選C.7．D[剖析]依照題意，由于點(diǎn)P到圖形C上每一個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)P到圖形C的距離，平面內(nèi)到定圓C的距離與到定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)可能滿足圓的定義，以及橢圓的定義，和雙曲線的定義，不可以能為直線，應(yīng)選D.x2＋y28．A[剖析]依照題意，由于橢圓＝1上有兩個(gè)動點(diǎn)P，Q，E(3，0)，EP⊥EQ，369a＝6，b＝3，c＝33，那么結(jié)合橢圓的定義可知，→→→→→→2→→→2→2獲取最小值，即求E，P兩點(diǎn)距EP·QP＝EP·(EP－EQ)＝EP－EP·EQ＝EP，則EP222x232離的最小值．設(shè)P(x，y)，∴（x－3）＋y＝（x－3）＋91－36＝4（x－4）＋6→→≥6，故可知EP·QP的最小值為6，故答案為A.9．D[剖析]結(jié)合圖形知，d1＋d2的最小值為焦點(diǎn)到直線l的距離減去1.焦點(diǎn)為(1，0)，|1－0＋4|那么可知d1＋d2的最小值為2－1＝522－1.10.→→→→→→→3＋1[剖析]∵(OP＋OF2)·F2P＝0，∴(OP＋OF2)·(OP－OF2)＝0，→2→2∴OP－OF2＝0，∴|OP|＝|OF2|＝c＝|OF1|，∴PF1⊥PF2.在Rt△PF1F2中，∵|PF1|＝3|PF2|，∴∠PF1F2＝30°.由雙曲線的定義得|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a，∴sin30°＝1＝|PF2|3－12|F1F2|2a3－1a，∴2a＝c(3－1)，∴c＝3＋1.＝＝2cc（3－1）a2211．10[剖析]曲線C3：x－y＝1的焦點(diǎn)為(－5，0)，(5，0)，曲線C1：(x＋5)2＋y2169＝1的圓心為(－5，0)，半徑為1，曲線C2：(x－5)2＋y2＝1的圓心為(5，0)，半徑為1，|PQ|的最大值為|PF1|＋1，|PR|的最小值為|PF2|－1，∴|PQ|－|PR|的最大值為(|PF1|＋1)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋2＝2a＋2＝10.12．(2，＋∞)[剖析]令B(－c，t)，由于雙曲線右極點(diǎn)在以AB為直徑的圓內(nèi)，而右極點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為c2t22b2c2－a＋c，則t>a＋c.由于點(diǎn)B在雙曲線上，故2－2＝1，化為t＝2aba2b2c222222（c2－a2）c2222b，因此2－b>(a＋c)，又由于b＝c－a，因此2－(c－a)>(a＋c)，解得ecaa>2.＝ax2y213．解：(1)設(shè)橢圓C的方程為a2＋b2＝1(a＞b＞0)，19a2＋4b2＝1，由題意得c1解得a2＝4，b2＝3.a＝2，a2＝b2＋c2，x2y2故橢圓C的方程為4＋3＝1.(2)假設(shè)存在直線l滿足條件且由題意得斜率存在，設(shè)方程為y＝k(x－2)＋1，代入橢圓的方程得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.由于直線l1與橢圓C訂交于不同樣的兩點(diǎn)A，B，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，8k（2k－1），x1x2＝16k2－16k－8則x1＋x2＝23＋4k2.3＋4k因此＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝32(6k＋3)＞0，因此k＞－1.2→→→2由于PA·PB＝PM，即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝5，45因此(x1－2)·(x2－2)(1＋k)＝4，即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝54，16k2－16k－88k（2k－1）＋4(1＋k24＋4k251因此－2·)＝3＋4k＝，解得k＝±3＋4k23＋4k2242.由于k＞－1，因此k＝1.221于是存在直線l滿足條件，其方程為y＝x.214．解：(1)設(shè)P(x，y)，由k1·k2＝－1得y·y4x＋2x－22x2整理得P點(diǎn)的軌跡方程為＋y＝1(y≠0)．m(2)設(shè)點(diǎn)N(2，m)(m≠0)，則AN：y＝4(x＋2)代入軌跡

1＝－，其中x≠±2，E的方程x2＋4y2＝4得(4＋m2)x24m2x＋4m2－16＝0，4m2設(shè)Q(x1，y1)，則x1＋(－2)＝m2＋4，4m28－2m2x1＝2＋m2＋4＝m2＋4，8－2m2.從而Q，4mm2＋4m2＋44m而B(2，0)，∴直線QB的斜率kQB＝m2＋4＝－1.2m8－2mm－22＋4∵直線QB與以NB為直徑的圓的另一個(gè)交點(diǎn)為M，MN⊥QB.MN的方程為y－m＝m(x－2)，即y＝m(x－1)，過定點(diǎn)C(1，0)，即C，M，N三點(diǎn)共線．定值證法一：又由于CB是以NB為直徑的圓的切線，由切割線定理可知，|CM|·|CN|＝|CB|2＝1，為定值．定值證法二：直線QB：y＝－1m(x－2)，直線CN：y＝m(x－1)，聯(lián)立得，xM＝m2＋2，|CM|·|CN|＝22m2＋11＋kCM|xM－xC|·1＋kCN|xN－xC|＝1＋m2m2＋2221＝1，為定值．m－1·1＋m|2－1|＝(1＋m)·2＋1m2＋115．解：(1)證法一(幾何法)，設(shè)線段AF中點(diǎn)為O1，分別過O1，A作x軸的垂線，垂足分別為O2，A1，則p|AA1|＋|AA1|＋1|AA1|＋|OF|2＝|AF|＝＝，r＝2222|AA1|＋|OF|又∵|O1O2|＝2，∴r＝|O1O2|，∴以線段AF為直徑的圓與x軸相切．證法二(代數(shù)法)，設(shè)A(x1，y1)，線段AF中點(diǎn)為O1，過O1作O1O2垂直于x軸，垂足為O2，則|AF|＝x12＋（y1－1）2＝4y1＋（y1－1）2＝y(tǒng)1＋1，y1＋1∴r＝.2又∵點(diǎn)O1為線段AF的中點(diǎn)，∴|O1O2|＝y(tǒng)A＋yFy1＋1＝，22r＝|O1O2|，∴以線段AF為直徑的圓與x軸相切．(2)設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，y＝kx＋1，由x2－4kx－4＝0，x2＝4yx1＋x2＝4k，∴12＝－4.xxx22y＝y(tǒng)′＝x，由x＝4y42－4∴kMA·kMB＝x1·x2＝x1x2＝＝－1，∴MA⊥MB，2244∴△MAB為直角三角形，故△MAB的外接圓圓心為線段AB的中點(diǎn)．設(shè)線段AB的中點(diǎn)為點(diǎn)P，易證⊙P與拋物線的準(zhǔn)線相切，切點(diǎn)為點(diǎn)M，x1＋x2∴xP＝xM＝2，∴＝22k＝2，∴k＝1.2∴yP＝y(tǒng)1＋y2（kx1＋1）＋（kx2＋1）x1＋x2＋24k＋2圓心P(2，3)．＝2＝＝＝3222又∵r＝|MP|＝|3－(－1)|＝4，(x－2)2＋(y－3)2＝16.∴所求△MAB的外接圓的方程為|AF||DF|(3)∵|AF||CF|·＝|BF||DF|·，∴＝，設(shè)|AF||BF|＝|DF||CF|＝λ，→→→→則AF＝λFB且DF＝λFC.設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)，（－x1