第5章概率與概率分布作者：中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院賈俊平PowerPoint統(tǒng)計(jì)學(xué)第5章概率與概率分布作者：中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院Po第5章概率與概率分布5.1事件及其概率5.2離散型概率分布5.3連續(xù)型概率分布第5章概率與概率分布5.1事件及其概率學(xué)習(xí)目標(biāo)定義試驗(yàn)、事件、樣本空間、概率描述和使用概率的運(yùn)算法則定義和解釋隨機(jī)變量及其分布計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率和概率分布計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量的概率用Excel計(jì)算分布的概率學(xué)習(xí)目標(biāo)定義試驗(yàn)、事件、樣本空間、概率5.1

事件及其概率5.1.1試驗(yàn)、事件和樣本空間5.1.2事件的概率5.1.3概率的性質(zhì)和運(yùn)算法則5.1.4條件概率與事件的獨(dú)立性5.1.5全概公式與逆概公式5.1事件及其概率5.1.1試驗(yàn)、事件和樣本空間試驗(yàn)、事件和樣本空間試驗(yàn)、事件和樣本空間試驗(yàn)

(experiment)對(duì)試驗(yàn)對(duì)象進(jìn)行一次觀察或測(cè)量的過程擲一顆骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)從一副52張撲克牌中抽取一張，并觀察其結(jié)果(紙牌的數(shù)字或花色)試驗(yàn)的特點(diǎn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行每次試驗(yàn)的可能結(jié)果可能不止一個(gè)，但試驗(yàn)的所有可能結(jié)果在試驗(yàn)之前是確切知道的在試驗(yàn)結(jié)束之前，不能確定該次試驗(yàn)的確切結(jié)果試驗(yàn)

(experiment)對(duì)試驗(yàn)對(duì)象進(jìn)行一次觀察或測(cè)事件

(event)事件：試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果(任何樣本點(diǎn)集合)擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3用大寫字母A，B，C，…表示隨機(jī)事件(randomevent)：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件擲一顆骰子可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)事件

(event)事件：試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果(任何樣本點(diǎn)集事件

(event)簡(jiǎn)單事件(simpleevent)

：不能被分解成其他事件組合的基本事件拋一枚均勻硬幣，“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”

必然事件(certainevent)：每次試驗(yàn)一定出現(xiàn)的事件，用表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7不可能事件(impossibleevent)：每次試驗(yàn)一定不出現(xiàn)的事件，用表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6事件

(event)簡(jiǎn)單事件(simpleevent)：樣本空間與樣本點(diǎn)樣本空間(sampleSpace)一個(gè)試驗(yàn)中所有結(jié)果的集合，用表示例如：在擲一顆骰子的試驗(yàn)中，樣本空間表示為：{1,2,3,4,5,6}在投擲硬幣的試驗(yàn)中，{正面，反面}樣本點(diǎn)(samplepoint)樣本空間中每一個(gè)特定的試驗(yàn)結(jié)果用符號(hào)表示樣本空間與樣本點(diǎn)樣本空間(sampleSpace)事件的概率事件的概率事件的概率

(probability)事件A的概率是一個(gè)介于0和1之間的一個(gè)值，用以度量試驗(yàn)完成時(shí)事件A發(fā)生的可能性大小，記為P(A)當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)很多時(shí)，概率P(A)可以由所觀察到的事件A發(fā)生次數(shù)(頻數(shù))的比例來逼近在相同條件下，重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的概率可以寫為事件的概率

(probability)事件A的概率是一個(gè)介于事件的概率例如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，隨著投擲次數(shù)n的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右試驗(yàn)的次數(shù)正面/試驗(yàn)次數(shù)1.000.000.250.500.750255075100125事件的概率例如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，試驗(yàn)的概率的性質(zhì)和運(yùn)算法則概率的性質(zhì)和運(yùn)算法則互斥事件及其概率

(mutuallyexclusiveevents)在試驗(yàn)中，兩個(gè)事件有一個(gè)發(fā)生時(shí)，另一個(gè)就不能發(fā)生，則稱事件A與事件B是互斥事件,(沒有公共樣本點(diǎn))AB互斥事件的文氏圖(Venndiagram)互斥事件及其概率

(mutuallyexclusivee互斥事件及其概率

(例題分析)【例】在一所城市中隨機(jī)抽取600個(gè)家庭，用以確定擁有個(gè)人電腦的家庭所占的比例。定義如下事件：

A：600個(gè)家庭中恰好有265個(gè)家庭擁有電腦

B：恰好有100個(gè)家庭擁有電腦

C：特定戶張三家擁有電腦說明下列各對(duì)事件是否為互斥事件，并說明你的理由

(1)A與B

(2)A與C

(3)B與C互斥事件及其概率

(例題分析)【例】在一所城市中隨機(jī)抽取60互斥事件及其概率

(例題分析)解：(1)事件A與B是互斥事件。因?yàn)槟阌^察到恰好有265個(gè)家庭擁有電腦，就不可能恰好有100個(gè)家庭擁有電腦

(2)事件A與C不是互斥事件。因?yàn)閺埲苍S正是這265個(gè)家庭之一，因而事件與有可能同時(shí)發(fā)生

(3)事件B與C不是互斥事件。理由同(2)互斥事件及其概率

(例題分析)解：(1)事件A與B是互斥事互斥事件及其概率

(例題分析)【例】同時(shí)拋擲兩枚硬幣，并考察其結(jié)果。恰好有一枚正面朝上的概率是多少？

解：用H表示正面，T表示反面，下標(biāo)1和2表示硬幣1

和硬幣2。該項(xiàng)試驗(yàn)會(huì)有4個(gè)互斥事件之一發(fā)生

(1)兩枚硬幣都正面朝上，記為H1H2

(2)1號(hào)硬幣正面朝上而2號(hào)硬幣反面朝上，記為H1T2

(3)1號(hào)硬幣反面朝上而2號(hào)硬幣正面朝上，記為T1H2

(4)兩枚硬幣都是反面朝上，記為

T1T2互斥事件及其概率

(例題分析)【例】同時(shí)拋擲兩枚硬幣，并考察互斥事件及其概率

(例題分析)解：由于每一枚硬幣出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面的概率都是1/2，當(dāng)拋擲的次數(shù)逐漸增大時(shí)，上面的4個(gè)簡(jiǎn)單事件中每一事件發(fā)生的相對(duì)頻數(shù)(概率)將近似等于1/4。因?yàn)閮H當(dāng)H1T2或T1H2發(fā)生時(shí)，才會(huì)恰好有一枚硬幣朝上的事件發(fā)生，而事件H1T2或T1H2又為互斥事件，兩個(gè)事件中一個(gè)事件發(fā)生或者另一個(gè)事件發(fā)生的概率便是1/2(1/4+1/4)。因此，拋擲兩枚硬幣，恰好有一枚出現(xiàn)正面的概率等于H1T2或T1H2發(fā)生的概率，也就是兩種事件中每個(gè)事件發(fā)生的概率之和互斥事件及其概率

(例題分析)解：由于每一枚硬幣出現(xiàn)正面或出互斥事件的加法規(guī)則

(additionlaw)加法規(guī)則若兩個(gè)事件A與B互斥，則事件A發(fā)生或事件B發(fā)生的概率等于這兩個(gè)事件各自的概率之和，即

P(A∪B)=P(A)+P(B)事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則有

P(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)互斥事件的加法規(guī)則

(additionlaw)加法規(guī)互斥事件的加法規(guī)則

(例題分析)

解：擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)(1，2，3，4，5，6)共有

6個(gè)互斥事件，而且每個(gè)事件出現(xiàn)的概率都為1/6

根據(jù)互斥事件的加法規(guī)則，得【例】拋擲一顆骰子，并考察其結(jié)果。求出其點(diǎn)數(shù)為1點(diǎn)或2點(diǎn)或3點(diǎn)或4點(diǎn)或5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率互斥事件的加法規(guī)則

(例題分析)解：擲一顆骰子出概率的性質(zhì)

(小結(jié))非負(fù)性對(duì)任意事件A，有P1規(guī)范性一個(gè)事件的概率是一個(gè)介于0與1之間的值，即對(duì)于任意事件

A，有0P1必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。即P()=1；P()=0可加性若A與B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)推廣到多個(gè)兩兩互斥事件A1，A2，…，An，有

P(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)概率的性質(zhì)

(小結(jié))非負(fù)性事件的補(bǔ)及其概率事件的補(bǔ)(complement)

事件A不發(fā)生的事件，稱為補(bǔ)事件A的補(bǔ)事件(或稱逆事件)，記為A

。它是樣本空間中所有不屬于事件A的樣本點(diǎn)的集合A

AP(A)=1-P(A)事件的補(bǔ)及其概率事件的補(bǔ)(complement)A廣義加法公式廣義加法公式

對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)事件A和B，它們和的概率為兩個(gè)事件分別概率的和減去兩個(gè)事件交的概率，即

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)兩個(gè)事件的并兩個(gè)事件的交廣義加法公式廣義加法公式兩個(gè)事件的并兩個(gè)事件的交廣義加法公式

(事件的并或和)

事件A或事件B發(fā)生的事件，稱為事件A與事件B的并。它是由屬于事件A或事件B的所有樣本點(diǎn)的集合，記為A∪B或A+BBAA∪B廣義加法公式

(事件的并或和)事件A或事件B發(fā)生的事件廣義加法公式

(事件的交或積)ABA∩B事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的事件，稱為事件A與事件B的交，它是由屬于事件A也屬于事件B的所有公共樣本點(diǎn)所組成的集合，記為B∩A

或AB廣義加法公式

(事件的交或積)ABA∩B事件A與事件廣義加法公式

(例題分析)

解：設(shè)A

=員工離職是因?yàn)閷?duì)工資不滿意

B=員工離職是因?yàn)閷?duì)工作不滿意依題意有：P(A)=0.40；P(B)=0.30；P(AB)=0.15P(AúB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.40+0.30-0.15=0.55【例】一家計(jì)算機(jī)軟件開發(fā)公司的人事部門最近做了一項(xiàng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)在最近兩年內(nèi)離職的公司員工中有40%是因?yàn)閷?duì)工資不滿意，有30%是因?yàn)閷?duì)工作不滿意，有15%是因?yàn)樗麄儗?duì)工資和工作都不滿意。求兩年內(nèi)離職的員工中，離職原因是因?yàn)閷?duì)工資不滿意、或者對(duì)工作不滿意、或者二者皆有的概率廣義加法公式

(例題分析)解：設(shè)A=員工離職是因?yàn)閷?duì)條件概率與事件的獨(dú)立性條件概率與事件的獨(dú)立性條件概率

(conditionalprobability)在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為已知事件B時(shí)事件A的條件概率，記為P(A|B)

P(B)P(AB)P(A|B)=事件B及其概率P(B)事件AB及其概率P(AB)事件A

事件B一旦事件B發(fā)生條件概率

(conditionalprobability)條件概率

(例題分析)解：設(shè)A

=顧客購(gòu)買食品，B=顧客購(gòu)買其他商品依題意有：P(A)=0.80；P(B)=0.60；P(AB)=0.35【例】一家超市所作的一項(xiàng)調(diào)查表明，有80%的顧客到超市是來購(gòu)買食品，60%的人是來購(gòu)買其他商品，35%的人既購(gòu)買食品也購(gòu)買其他商品。求：

(1)已知某顧客購(gòu)買食品的條件下，也購(gòu)買其他商品的概率

(2)已知某顧客購(gòu)買其他的條件下，也購(gòu)買食品的概率條件概率

(例題分析)解：設(shè)A=顧客購(gòu)買食品，B=顧條件概率

(例題分析)【例】一家電腦公司從兩個(gè)供應(yīng)商處購(gòu)買了同一種計(jì)算機(jī)配件，質(zhì)量狀況如下表所示

從這200個(gè)配件中任取一個(gè)進(jìn)行檢查，求

(1)

取出的一個(gè)為正品的概率

(2)

取出的一個(gè)為供應(yīng)商甲的配件的概率

(3)取出一個(gè)為供應(yīng)商乙的正品的概率

(4)已知取出一個(gè)為供應(yīng)商甲的配件，它是正品的概率甲乙兩個(gè)供應(yīng)商提供的配件正品數(shù)次品數(shù)合計(jì)供應(yīng)商甲

84690供應(yīng)商乙

1028110合計(jì)18614200IBM條件概率

(例題分析)【例】一家電腦公司從兩個(gè)供應(yīng)商處購(gòu)買了條件概率

(例題分析)解：設(shè)A

=取出的一個(gè)為正品

B=取出的一個(gè)為供應(yīng)商甲供應(yīng)的配件

(1)(2)

(3)(4)條件概率

(例題分析)解：設(shè)A=取出的一個(gè)為正品乘法公式

(multiplicativelaw)用來計(jì)算兩事件交的概率以條件概率的定義為基礎(chǔ)設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若P(B)>0，則

P(AB)=P(B)P(A|B)

或

P(AB)=P(A)P(B|A)乘法公式

(multiplicativelaw)用來計(jì)算兩乘法公式

(例題分析)【例】一家報(bào)紙的發(fā)行部已知在某社區(qū)有75%的住戶訂閱了該報(bào)紙的日?qǐng)?bào)，而且還知道某個(gè)訂閱日?qǐng)?bào)的住戶訂閱其晚報(bào)的概率為50%。求某住戶既訂閱日?qǐng)?bào)又訂閱晚報(bào)的概率

解：設(shè)A

=

某住戶訂閱了日?qǐng)?bào)

B=

某個(gè)訂閱了日?qǐng)?bào)的住戶訂閱了晚報(bào)依題意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50

P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.75×0.5=0.375乘法公式

(例題分析)【例】一家報(bào)紙的發(fā)行部已知在某社區(qū)有7獨(dú)立事件與乘法公式

(例題分析)【例】從一個(gè)裝有3個(gè)紅球2個(gè)白球的盒子里摸球(摸出后球不放回)，求連續(xù)兩次摸中紅球的概率

解：設(shè)A

=

第2次摸到紅球

B=

第1次摸到紅球依題意有：

P(B)=3/5；P(A|B)=2/4

P(AB)=P(A)·P(B|A)=3/5×2/4=0.3獨(dú)立事件與乘法公式

(例題分析)【例】從一個(gè)裝有3個(gè)紅球2個(gè)獨(dú)立事件與乘法公式

(independentevents)若P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)，則稱事件A與B事件獨(dú)立，或稱獨(dú)立事件若兩個(gè)事件相互獨(dú)立，則這兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生的概率之積，即

P(AB)=P(A)·P(B)若事件A1,A2,,An相互獨(dú)立，則

P(A1,A2,,An)=P(A1)·P(A2)··P(An)獨(dú)立事件與乘法公式

(independentevents)獨(dú)立事件與乘法公式

(例題分析)【例】一個(gè)旅游經(jīng)景點(diǎn)的管理員根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)得知，有80%的游客在古建筑前照相留念。求接下來的兩個(gè)游客都照相留念的概率

解：設(shè)A

=第一個(gè)游客照相留念

B=第二個(gè)游客照相留念兩個(gè)游客都照相留念是兩個(gè)事件的交。在沒有其他信息的情況下，我們可以假定事件A

和事件B是相互立的，所以有

P(AB)=P(A)·P(B)=0.80×0.80=0.64獨(dú)立事件與乘法公式

(例題分析)【例】一個(gè)旅游經(jīng)景點(diǎn)的管理員獨(dú)立事件與乘法公式

(例題分析)【例】假定我們是從兩個(gè)同樣裝有3個(gè)紅球2個(gè)白球的盒子摸球。每個(gè)盒子里摸1個(gè)。求連續(xù)兩次摸中紅球的概率

解：設(shè)A

=

從第一個(gè)盒子里摸到紅球

B=

從第二個(gè)盒子里摸到紅球

依題意有：P(A)=3/5；P(B|A)=3/5

P(AB)=P(A)·P(B|A)=3/5×3/5=0.36獨(dú)立事件與乘法公式

(例題分析)【例】假定我們是從兩個(gè)同樣裝全概公式與逆概公式全概公式與逆概公式全概公式全概公式B2B5B4B1B3完備事件組全概公式全概公式B2B5B4B1B3完備事件組全概公式

(例題分析)【例】假設(shè)在n張彩票中只有一張中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，那么第二個(gè)人摸到獎(jiǎng)券的概率是多少？

解：設(shè)A

=第二個(gè)人摸到獎(jiǎng)券，B=第一個(gè)人摸到獎(jiǎng)券依題意有：P(B)=1/n；P(B)=(n-1)/n

P(A|B)=0P(A|B)=1/(n-1)全概公式

(例題分析)【例】假設(shè)在n張彩票中只有一張中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券逆概公式逆概公式(貝葉斯公式)P(Bi)被稱為事件Bi的先驗(yàn)概率(priorprobability)P(Bi|A)被稱為事件Bi的后驗(yàn)概率(posteriorprobability)逆概公式逆概公式(貝葉斯公式)P(Bi)被稱為事件Bi逆概公式

(例題分析)【例】某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為1/2，而他不知道正確答案時(shí)猜對(duì)的概率應(yīng)該為1/4。考試結(jié)束后發(fā)現(xiàn)他答對(duì)了，那么他知道正確答案的概率是多大呢？

解：設(shè)A

=

該考生答對(duì)了，B=

該考生知道正確答案依題意有：P(B)=1/2；P(B)=1-1/2=1/2

P(A|B)=1/4P(A|B)=1逆概公式

(例題分析)【例】某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)5.2

離散型概率分布5.2.1隨機(jī)變量5.2.2離散型隨機(jī)變量的概率分布5.2.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差5.2.4幾種常用的離散型概率分布5.2離散型概率分布5.2.1隨機(jī)變量隨機(jī)變量隨機(jī)變量隨機(jī)變量

(randomvariables)一次試驗(yàn)的結(jié)果的數(shù)值性描述一般用X，Y，Z來表示例如：投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量根據(jù)取值情況的不同分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量

(randomvariables)一次試驗(yàn)的結(jié)果離散型隨機(jī)變量

(discreterandomvariables)隨機(jī)變量X

取有限個(gè)值或所有取值都可以逐個(gè)列舉出來x1,x2，…以確定的概率取這些不同的值離散型隨機(jī)變量的一些例子試驗(yàn)隨機(jī)變量可能的取值抽查100個(gè)產(chǎn)品一家餐館營(yíng)業(yè)一天電腦公司一個(gè)月的銷售銷售一輛汽車取到次品的個(gè)數(shù)顧客數(shù)銷售量顧客性別0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性為0,女性為1離散型隨機(jī)變量

(discreterandomvaria連續(xù)型隨機(jī)變量

(continuousrandomvariables)可以取一個(gè)或多個(gè)區(qū)間中任何值所有可能取值不可以逐個(gè)列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)連續(xù)型隨機(jī)變量的一些例子試驗(yàn)隨機(jī)變量可能的取值抽查一批電子元件新建一座住宅樓測(cè)量一個(gè)產(chǎn)品的長(zhǎng)度使用壽命(小時(shí))半年后工程完成的百分比測(cè)量誤差(cm)X00

X100X0連續(xù)型隨機(jī)變量

(continuousrandomvar離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布列出離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值列出隨機(jī)變量取這些值的概率通常用下面的表格來表示X=xix1，x2

，…

，xnP(X=xi)=pip1，p2

，…

，pn

P(X=xi)=pi稱為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)pi0；離散型隨機(jī)變量的概率分布列出離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值X離散型隨機(jī)變量的概率分布

(例題分析)【例】投擲一顆骰子后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量。寫出擲一枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的概率分布

X=xi123456P(X=xi)pi1/61/61/61/61/61/6概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布

(例題分析)【例】投擲一顆骰子離散型隨機(jī)變量的概率分布

(例題分析)【例】一部電梯在一周內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)X及相應(yīng)的概率如下表故障次數(shù)X=xi0123概率P(X=xi)pi0.100.250.35一部電梯一周發(fā)生故障的次數(shù)及概率分布

(1)確定的值

(2)求正好發(fā)生兩次故障的概率

(3)求故障次數(shù)多于一次的概率

(4)最多發(fā)生一次故障的概率離散型隨機(jī)變量的概率分布

(例題分析)【例】一部電梯在一離散型隨機(jī)變量的概率分布

(例題分析)解：(1)由于0.10+0.25+0.35+=1

所以，=0.30

(2)P(X=2)=0.35(3)P(X2)=0.10+0.25+0.35=0.70(4)P(X1)=0.35+0.30=0.65離散型隨機(jī)變量的概率分布

(例題分析)解：(1)由于0離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

(expectedvalue)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值xi與其取相對(duì)應(yīng)的概率pi乘積之和描述離散型隨機(jī)變量取值的集中程度記為或E(X)計(jì)算公式為離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

(expectedvalue)離離散型隨機(jī)變量的方差

(variance)隨機(jī)變量X的每一個(gè)取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望，記為2

或D(X)描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度計(jì)算公式為方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差，記為或D(X)離散型隨機(jī)變量的方差

(variance)隨機(jī)變量X的每一個(gè)離散型數(shù)學(xué)期望和方差

(例題分析)【例】一家電腦配件供應(yīng)商聲稱，他所提供的配件100個(gè)中擁有次品的個(gè)數(shù)及概率如下表次品數(shù)X=xi0123概率P(X=xi)pi0.750.120.080.05每100個(gè)配件中的次品數(shù)及概率分布

求該供應(yīng)商次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差

離散型數(shù)學(xué)期望和方差

(例題分析)【例】一家電腦配件供應(yīng)幾種常用的離散型概率分布幾種常用的離散型概率分布常用離散型概率分布常用離散型概率分布兩點(diǎn)分布一個(gè)離散型隨機(jī)變量X只取0和1兩個(gè)可能的值它們的概率分布為

或也稱0-1分布兩點(diǎn)分布一個(gè)離散型隨機(jī)變量X只取0和1兩個(gè)可能的值兩點(diǎn)分布

(例題分析)

【例】已知一批產(chǎn)品的次品率為p＝0.04，合格率為q=1-p=1-0.04=0.96。并指定廢品用1表示，合格品用0表示。則任取一件為廢品或合格品這一離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X=xi01P(X=xi)=pi0.050.950.5011xP(x)兩點(diǎn)分布

(例題分析)【例】已知一批產(chǎn)品的次品率為p＝0二項(xiàng)試驗(yàn)

(伯努利試驗(yàn))

二項(xiàng)分布與伯努利試驗(yàn)有關(guān)貝努里試驗(yàn)滿足下列條件一次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果，即“成功”和“失敗”“成功”是指我們感興趣的某種特征一次試驗(yàn)“成功”的概率為p，失敗的概率為q=1-p，且概率p對(duì)每次試驗(yàn)都是相同的

試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，并可以重復(fù)進(jìn)行n次

在n次試驗(yàn)中，“成功”的次數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X

二項(xiàng)試驗(yàn)

(伯努利試驗(yàn))二項(xiàng)分布與伯努利試驗(yàn)有關(guān)二項(xiàng)分布

(Binomialdistribution)重復(fù)進(jìn)行

n

次試驗(yàn)，出現(xiàn)“成功”的次數(shù)的概率分布稱為二項(xiàng)分布，記為X~B(n，p)設(shè)X為n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)成功的次數(shù)，X取x

的概率為二項(xiàng)分布

(Binomialdistribution)重復(fù)二項(xiàng)分布對(duì)于P(X=x)0，x=1,2,…,n，有同樣有當(dāng)

n=1時(shí)，二項(xiàng)分布化簡(jiǎn)為二項(xiàng)分布對(duì)于P(X=x)0，x=1,2,…,n，有二項(xiàng)分布

(數(shù)學(xué)期望和方差)數(shù)學(xué)期望

=E(X)=np方差

2

=D(X)=npq0.00.20.40.6012345XP(X)n=5p=0.50.20.40.6012345XP(X)n=5p=0.1二項(xiàng)分布

(數(shù)學(xué)期望和方差)數(shù)學(xué)期望0.00.20.40.6二項(xiàng)分布

(例題分析)【例】已知一批產(chǎn)品的次品率為4%，從中任意有放回地抽取5個(gè)。求5個(gè)產(chǎn)品中：

(1)沒有次品的概率是多少？

(2)恰好有1個(gè)次品的概率是多少？

(3)有3個(gè)以下次品的概率是多少？二項(xiàng)分布

(例題分析)【例】已知一批產(chǎn)品的次品率為4%，二項(xiàng)分布

(用Excel計(jì)算概率)第1步：進(jìn)入Excel表格界面，將鼠標(biāo)停留在某一空白單元格第2步：在Excel表格界面中，直接點(diǎn)擊“f(x)”(粘貼函數(shù))命令

第3步：在復(fù)選框“函數(shù)分類”中點(diǎn)擊“統(tǒng)計(jì)”選項(xiàng)，在“函數(shù)名”中點(diǎn)擊“BINOMDIST”選項(xiàng)，然后確定第4步：在Number_s后填入試驗(yàn)成功次數(shù)(本例為1)

在Trials后填入總試驗(yàn)次數(shù)(本例為5)

在Probability_s后填入試驗(yàn)的成功概率(本例為0.04)

在Cumulative后填入0(或FALSE)，表示計(jì)算成功次數(shù)恰好等于指定數(shù)值的概率(填入1或TRUE表示計(jì)算成功次數(shù)小于或等于指定數(shù)值的累積概率值)

用Excel計(jì)算概率二項(xiàng)分布

(用Excel計(jì)算概率)第1步：進(jìn)入Excel表泊松分布

(Poissondistribution)1837年法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松(D.Poisson，1781—1840)首次提出用于描述在一指定時(shí)間范圍內(nèi)或在一定的長(zhǎng)度、面積、體積之內(nèi)每一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布泊松分布的例子一定時(shí)間段內(nèi)，某航空公司接到的訂票電話數(shù)一定時(shí)間內(nèi)，到車站等候公共汽車的人數(shù)一定路段內(nèi)，路面出現(xiàn)大損壞的次數(shù)一定時(shí)間段內(nèi)，放射性物質(zhì)放射的粒子數(shù)一匹布上發(fā)現(xiàn)的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)一定頁(yè)數(shù)的書刊上出現(xiàn)的錯(cuò)別字個(gè)數(shù)

泊松分布

(Poissondistribution)183泊松分布

(概率分布函數(shù))—給定的時(shí)間間隔、長(zhǎng)度、面積、體積內(nèi)“成功”的平均數(shù)e=2.71828x—給定的時(shí)間間隔、長(zhǎng)度、面積、體積內(nèi)“成功”的次數(shù)泊松分布

(概率分布函數(shù))—給定的時(shí)間間隔、長(zhǎng)度、面泊松分布

(數(shù)學(xué)期望和方差)數(shù)學(xué)期望

E(X)=方差

D(X)=

0.00.20.40.6012345XP(X)0.00.20.40.60246810XP(X)l

=6l

=0.5泊松分布

(數(shù)學(xué)期望和方差)數(shù)學(xué)期望0.00.20.40.6泊松分布

(例題分析)【例】假定某航空公司預(yù)訂票處平均每小時(shí)接到42次訂票電話，那么10分鐘內(nèi)恰好接到6次電話的概率是多少？解：設(shè)X=10分鐘內(nèi)航空公司預(yù)訂票處接到的電話次數(shù)

泊松分布

(例題分析)【例】假定某航空公司預(yù)訂票處平均每小泊松分布

(用Excel計(jì)算概率)第1步：進(jìn)入Excel表格界面，將鼠標(biāo)停留在某一空白單元格第2步：在Excel表格界面中，直接點(diǎn)擊“f(x)”(粘貼函數(shù))命令第3步：在復(fù)選框“函數(shù)分類”中點(diǎn)擊“統(tǒng)計(jì)”選項(xiàng)，并在“函數(shù)名”中點(diǎn)擊“POISSON”選項(xiàng)，然后確定第4步：在X后填入事件出現(xiàn)的次數(shù)(本例為6)

在Means后填入泊松分布的均值(本例為7)

在Cumulative后填入0(或FALSE)，表示計(jì)算成功次數(shù)恰好等于指定數(shù)值的概率(填入1或TRUE表示計(jì)算成功次數(shù)小于或等于指定數(shù)值的累積概率值)

用Excel計(jì)算概率泊松分布

(用Excel計(jì)算概率)第1步：進(jìn)入Excel表泊松分布

(作為二項(xiàng)分布的近似)當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n

很大，成功的概率p

很小時(shí)，可用泊松分布來近似地計(jì)算二項(xiàng)分布的概率，即實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)P0.05，n>20，np5時(shí)，近似效果良好泊松分布

(作為二項(xiàng)分布的近似)當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n很大，成功超幾何分布

(hypergeometricdistribution)采用不重復(fù)抽樣，各次試驗(yàn)并不獨(dú)立，成功的概率也互不相等總體元素的數(shù)目N很小，或樣本容量n相對(duì)于N來說較大時(shí)，樣本中“成功”的次數(shù)則服從超幾何概率分布概率分布函數(shù)為超幾何分布

(hypergeometricdistribu超幾何分布

(例題分析)【例】假定有10支股票，其中有3支購(gòu)買后可以獲利，另外7支購(gòu)買后將會(huì)虧損。如果你打算從10支股票中選擇4支購(gòu)買，但你并不知道哪3支是獲利的，哪7支是虧損的。求：

(1)有3支能獲利的股票都被你選中的概率有多大？

(2)3支可獲利的股票中有2支被你選中的概率有多大？解：設(shè)N=10，M=3，n=4超幾何分布

(例題分析)【例】假定有10支股票，其中有3支超幾何分布

(用Excel計(jì)算概率)第1步：進(jìn)入Excel表格界面，將鼠標(biāo)停留在某一空白單元格第2步：在Excel表格界面中，直接點(diǎn)擊“f(x)”(粘貼函數(shù))命令第3步：在復(fù)選框“函數(shù)分類”中點(diǎn)擊“統(tǒng)計(jì)”選項(xiàng)，并在“函數(shù)名”中點(diǎn)擊“HYPGEOMDIST”選項(xiàng)，然后確定第4步：在Sample_s后填入樣本中成功的次數(shù)x(本例為3)

在Number_sample后填入樣本容量n(本例為4)

在Population_s后填入總體中成功的次數(shù)M(本例為3)

在Number_pop后填入總體中的個(gè)體總數(shù)N

(本例為10)

用Excel計(jì)算概率超幾何分布

(用Excel計(jì)算概率)第1步：進(jìn)入Excel5.3

連續(xù)型概率分布5.3.1概率密度函數(shù)5.3.2正態(tài)分布5.3.3其他連續(xù)型概率分布5.3連續(xù)型概率分布5.3.1概率密度函數(shù)常用連續(xù)型概率分布常用連續(xù)型概率分布概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間或整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的任意一個(gè)值它取任何一個(gè)特定的值的概率都等于0不能列出每一個(gè)值及其相應(yīng)的概率通常研究它取某一區(qū)間值的概率用概率密度函數(shù)的形式和分布函數(shù)的形式來描述連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間或整個(gè)實(shí)概率密度函數(shù)

(probabilitydensityfunction)設(shè)X為一連續(xù)型隨機(jī)變量，x

為任意實(shí)數(shù)，X的概率密度函數(shù)記為f(x)，它滿足條件

f(x)不是概率概率密度函數(shù)

(probabilitydensityfu概率密度函數(shù)密度函數(shù)f(x)表示X的所有取值x

及其頻數(shù)f(x)值(值,頻數(shù))頻數(shù)f(x)abx概率密度函數(shù)密度函數(shù)f(x)表示X的所有取值x及概率密度函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中畫出f(x)的圖形，則對(duì)于任何實(shí)數(shù)x1

<x2，P(x1<Xx2)是該曲線下從x1

到x2的面積f(x)xab概率是曲線下的面積概率密度函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中畫出f(x)的圖形，則對(duì)分布函數(shù)

(distributionfunction)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率可以用分布函數(shù)F(x)來表示分布函數(shù)定義為根據(jù)分布函數(shù)，P(a<X<b)可以寫為分布函數(shù)

(distributionfunction)連分布函數(shù)與密度函數(shù)的圖示密度函數(shù)曲線下的面積等于1分布函數(shù)是曲線下小于

x0

的面積f(x)xx0F(x0

)分布函數(shù)與密度函數(shù)的圖示密度函數(shù)曲線下的面積等于1f(x)x連續(xù)型隨機(jī)變量的期望和方差連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望方差連續(xù)型隨機(jī)變量的期望和方差連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望正態(tài)分布正態(tài)分布正態(tài)分布

(normaldistribution)由C.F.高斯(CarlFriedrichGauss，1777—1855)作為描述誤差相對(duì)頻數(shù)分布的模型而提出描述連續(xù)型隨機(jī)變量的最重要的分布許多現(xiàn)象都可以由正態(tài)分布來描述可用于近似離散型隨機(jī)變量的分布例如：二項(xiàng)分布經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)xf(x)正態(tài)分布

(normaldistribution)由C.F概率密度函數(shù)f(x)=隨機(jī)變量X的頻數(shù)

=正態(tài)隨機(jī)變量X的均值=正態(tài)隨機(jī)變量X的方差

=3.1415926;e=2.71828x=隨機(jī)變量的取值(-<x<)概率密度函數(shù)f(x)=隨機(jī)變量X的頻數(shù)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)圖形是關(guān)于x=對(duì)稱鐘形曲線，且峰值在x=處均值和標(biāo)準(zhǔn)差一旦確定，分布的具體形式也惟一確定，不同參數(shù)正態(tài)分布構(gòu)成一個(gè)完整的“正態(tài)分布族”均值可取實(shí)數(shù)軸上的任意數(shù)值，決定正態(tài)曲線的具體位置；標(biāo)準(zhǔn)差決定曲線的“陡峭”或“扁平”程度。越大，正態(tài)曲線扁平；越小，正態(tài)曲線越高陡峭當(dāng)X的取值向橫軸左右兩個(gè)方向無限延伸時(shí)，曲線的兩個(gè)尾端也無限漸近橫軸，理論上永遠(yuǎn)不會(huì)與之相交正態(tài)隨機(jī)變量在特定區(qū)間上的取值概率由正態(tài)曲線下的面積給出，而且其曲線下的總面積等于1

正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)圖形是關(guān)于x=對(duì)稱鐘形曲線，且峰值在x=

和對(duì)正態(tài)曲線的影響xf(x)CAB=1/212=1和對(duì)正態(tài)曲線的影響xf(x)CAB=1/21正態(tài)分布的概率概率是曲線下的面積!abxf(x)正態(tài)分布的概率概率是曲線下的面積!abxf(x)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

(standardizethenormaldistribution)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)隨機(jī)變量具有均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布任何一個(gè)一般的正態(tài)分布，可通過下面的線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

(standardizethenormal標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Xms一般正態(tài)分布=1Z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Xms一般正態(tài)分布=1Z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即Z~N(0,1)，有P(aZb)baP(|Z|a)2a1對(duì)于負(fù)的z

，可由(-z)z得到對(duì)于一般正態(tài)分布，即X~N(,)，有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即Z~N(0,1)，有標(biāo)準(zhǔn)化的例子

P(5X

6.2)

X=5=10一般正態(tài)分布6.2

=1Z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布00.12.0478標(biāo)準(zhǔn)化的例子

P(5X6.2)X=5標(biāo)準(zhǔn)化的例子

P(2.9

X

7.1)

5s=102.97.1X一般正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布0

s=1-.21Z.21.1664.0832.0832標(biāo)準(zhǔn)化的例子

P(2.9X7.1)5s=正態(tài)分布

(例題分析)【例】定某公司職員每周的加班津貼服從均值為50元、標(biāo)準(zhǔn)差為10元的正態(tài)分布，那么全公司中有多少比例的職員每周的加班津貼會(huì)超過70元，又有多少比例的職員每周的加班津貼在40元到60元之間呢？解：設(shè)=50，

=10，X～N(50,102)正態(tài)分布

(例題分析)【例】定某公司職員每周的加班津貼服從均正態(tài)分布

(用Excel計(jì)算概率)第1步：進(jìn)入Excel表格界面，將鼠標(biāo)停留在某一空白單元格第2步：在Excel表格界面中，直接點(diǎn)擊“f(x)”(粘貼函數(shù))命令第3步：在復(fù)選框“函數(shù)分類”中點(diǎn)擊“統(tǒng)計(jì)”選項(xiàng)，并在“函數(shù)名”中點(diǎn)擊“NORMDIST”選項(xiàng)，然后確定第4步：在X后填入正態(tài)分布函數(shù)計(jì)算的區(qū)間點(diǎn)(本例為70)

在Mean后填入正態(tài)分布的均值

(本例為50)

在PStandard_dev后填入標(biāo)準(zhǔn)差

(本例為10)

在Cumulative后填入1（或TRUE）表示計(jì)算事件出現(xiàn)次數(shù)小于或等于指定數(shù)值的累積概率值

用Excel計(jì)算概率正態(tài)分布

(用Excel計(jì)算概率)第1步：進(jìn)入Excel表數(shù)據(jù)正態(tài)性的評(píng)估方法數(shù)據(jù)正態(tài)性的評(píng)估方法數(shù)據(jù)正態(tài)性的評(píng)估方法對(duì)數(shù)據(jù)畫出頻數(shù)分布的直方圖或莖葉圖若數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布，則圖形的形狀與上面給出的正態(tài)曲線應(yīng)該相似求出樣本數(shù)據(jù)的四分位差Qd和標(biāo)準(zhǔn)差s，然后計(jì)算比值Qd/s

。若數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布，則有

Qd/s1/3根據(jù)第3章的數(shù)據(jù)得：Qd/s=1.28591313數(shù)據(jù)正態(tài)性的評(píng)估方法對(duì)數(shù)據(jù)畫出頻數(shù)分布的直方圖或莖葉圖二項(xiàng)分布的正態(tài)近似二項(xiàng)分布的正態(tài)近似二項(xiàng)分布的正態(tài)近似當(dāng)n很大時(shí)，二項(xiàng)隨機(jī)變量X近似服從正態(tài)分布N{np,np(1-p)}對(duì)于一個(gè)二項(xiàng)隨機(jī)變量X，當(dāng)n很大時(shí)，X取某一特定值的概率可用正態(tài)分布近似為X取某一區(qū)間[a,b]的概率可用正態(tài)分布近似為二項(xiàng)分布的正態(tài)近似當(dāng)n很大時(shí)，二項(xiàng)隨機(jī)變量X近似服從正態(tài)分二項(xiàng)分布的正態(tài)近似.0.1.2.30246810xP(x)正態(tài)曲線增加的概率正態(tài)曲線減少的概率二項(xiàng)概率：矩形的面積正態(tài)概率：曲線下從3.5到4.5的面積增加的部分與減少的部分不一定相等二項(xiàng)分布的正態(tài)近似.0.1.2.30246810xP(x)正二項(xiàng)分布的正態(tài)近似

(例題分析)【例】考慮某離散型隨機(jī)變量X，若X～B(100，0.2)，試計(jì)算這100次伯努利試驗(yàn)中恰好有15次成功的概率解：設(shè)np=1000.2=20>5，n(1-p)

=100(1-0.2=80>5)二項(xiàng)分布的正態(tài)近似

(例題分析)【例】考慮某離散型隨機(jī)變量X均勻分布均勻分布均勻分布

(uniformdistribution)若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為稱X在[a,b]上服從均勻分布，記為X~U[a,b]數(shù)學(xué)期望和方差xf(x)bacd均勻分布

(uniformdistribution)若隨機(jī)均勻分布

(概率計(jì)算)隨機(jī)變量X在某取值范圍[a,b]的任一子區(qū)間[c,d]上取值的概率為

同樣有：均勻分布

(概率計(jì)算)隨機(jī)變量X在某取值范圍[a,b]的任均勻分布

(例題分析)【例】某公共汽車站從早上6時(shí)起每隔15分鐘開出一趟班車，假定某乘客在6點(diǎn)以后到達(dá)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，所以有理由認(rèn)為他等候乘車的時(shí)間長(zhǎng)度X服從參數(shù)為a=0，b=15的均勻分布。試求該乘客等候乘車的時(shí)間長(zhǎng)度少于5分鐘的概率解：概率密度函數(shù)為落入?yún)^(qū)間[0，15]的任一子區(qū)間[0，d]的概率是，等候乘車的時(shí)間長(zhǎng)度少于5分鐘即有d=5，因此該事件發(fā)生的概率等于5/15=1/3均勻分布

(例題分析)【例】某公共汽車站從早上6時(shí)起每隔15指數(shù)分布指數(shù)分布指數(shù)分布

(exponentialdistribution)若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為X~E()數(shù)學(xué)期望和方差Xf(X)

=2.0

=0.5指數(shù)分布

(exponentialdistribution指數(shù)分布

(概率計(jì)算)隨機(jī)變量X取小于或等于某一特定值x的概率為

隨機(jī)變量X落入任一區(qū)間(a，b)的概率為

指數(shù)分布

(概率計(jì)算)隨機(jī)變量X取小于或等于某一特定值x的概指數(shù)分布

(例題分析)【例】假定某加油站在一輛汽車到達(dá)之后等待下一輛汽車到達(dá)所需要的時(shí)間(單位：分鐘)服從參數(shù)為1/5的指數(shù)分布，如果現(xiàn)在正好有一輛汽車剛剛到站加油，試分別求以下幾個(gè)事件發(fā)生的概率：

(1)一輛汽車到站前需要等待5分鐘以上

(2)一輛汽車到站前需要等待5~10分鐘解：指數(shù)分布

(例題分析)【例】假定某加油站在一輛汽車到達(dá)之后等指數(shù)分布

(用Excel計(jì)算概率)第1步：進(jìn)入Excel表格界面，將鼠標(biāo)停留在某一空白單元格第2步：在Excel表格界面中，直接點(diǎn)擊“f(x)”(粘貼函數(shù))命令第3步：在復(fù)選框“函數(shù)分類”中點(diǎn)擊“統(tǒng)計(jì)”選項(xiàng)，并在“函數(shù)名”中點(diǎn)擊“EXPONDIST”選項(xiàng)，然后確定第4步：在X后填入指數(shù)分布函數(shù)計(jì)算的區(qū)間點(diǎn)(本例為5)

在Lambda后填入?yún)?shù)

(本例為0.2)

在Cumulative后填入1（或TRUE）表示計(jì)算事件出現(xiàn)次數(shù)小于或等于指定數(shù)值的累積概率值(填入0或

FALSE則表示計(jì)算事件出現(xiàn)次數(shù)大于指定數(shù)值的累積概率值)

用Excel計(jì)算概率指數(shù)分布

(用Excel計(jì)算概率)第1步：進(jìn)入Excel表本章小結(jié)事件及其概率離散型概率分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布連續(xù)型概率分布正態(tài)分布均勻分布指數(shù)分布 用Excel計(jì)算分布的概率本章小結(jié)事件及其概率結(jié)束THANKS結(jié)束THANKS第5章概率與概率分布作者：中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院賈俊平PowerPoint統(tǒng)計(jì)學(xué)第5章概率與概率分布作者：中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院Po第5章概率與概率分布5.1事件及其概率5.2離散型概率分布5.3連續(xù)型概率分布第5章概率與概率分布5.1事件及其概率學(xué)習(xí)目標(biāo)定義試驗(yàn)、事件、樣本空間、概率描述和使用概率的運(yùn)算法則定義和解釋隨機(jī)變量及其分布計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率和概率分布計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量的概率用Excel計(jì)算分布的概率學(xué)習(xí)目標(biāo)定義試驗(yàn)、事件、樣本空間、概率5.1

事件及其概率5.1.1試驗(yàn)、事件和樣本空間5.1.2事件的概率5.1.3概率的性質(zhì)和運(yùn)算法則5.1.4條件概率與事件的獨(dú)立性5.1.5全概公式與逆概公式5.1事件及其概率5.1.1試驗(yàn)、事件和樣本空間試驗(yàn)、事件和樣本空間試驗(yàn)、事件和樣本空間試驗(yàn)

(experiment)對(duì)試驗(yàn)對(duì)象進(jìn)行一次觀察或測(cè)量的過程擲一顆骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)從一副52張撲克牌中抽取一張，并觀察其結(jié)果(紙牌的數(shù)字或花色)試驗(yàn)的特點(diǎn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行每次試驗(yàn)的可能結(jié)果可能不止一個(gè)，但試驗(yàn)的所有可能結(jié)果在試驗(yàn)之前是確切知道的在試驗(yàn)結(jié)束之前，不能確定該次試驗(yàn)的確切結(jié)果試驗(yàn)

(experiment)對(duì)試驗(yàn)對(duì)象進(jìn)行一次觀察或測(cè)事件

(event)事件：試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果(任何樣本點(diǎn)集合)擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3用大寫字母A，B，C，…表示隨機(jī)事件(randomevent)：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件擲一顆骰子可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)事件

(event)事件：試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果(任何樣本點(diǎn)集事件

(event)簡(jiǎn)單事件(simpleevent)

：不能被分解成其他事件組合的基本事件拋一枚均勻硬幣，“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”

必然事件(certainevent)：每次試驗(yàn)一定出現(xiàn)的事件，用表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7不可能事件(impossibleevent)：每次試驗(yàn)一定不出現(xiàn)的事件，用表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6事件

(event)簡(jiǎn)單事件(simpleevent)：樣本空間與樣本點(diǎn)樣本空間(sampleSpace)一個(gè)試驗(yàn)中所有結(jié)果的集合，用表示例如：在擲一顆骰子的試驗(yàn)中，樣本空間表示為：{1,2,3,4,5,6}在投擲硬幣的試驗(yàn)中，{正面，反面}樣本點(diǎn)(samplepoint)樣本空間中每一個(gè)特定的試驗(yàn)結(jié)果用符號(hào)表示樣本空間與樣本點(diǎn)樣本空間(sampleSpace)事件的概率事件的概率事件的概率

(probability)事件A的概率是一個(gè)介于0和1之間的一個(gè)值，用以度量試驗(yàn)完成時(shí)事件A發(fā)生的可能性大小，記為P(A)當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)很多時(shí)，概率P(A)可以由所觀察到的事件A發(fā)生次數(shù)(頻數(shù))的比例來逼近在相同條件下，重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的概率可以寫為事件的概率

(probability)事件A的概率是一個(gè)介于事件的概率例如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，隨著投擲次數(shù)n的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右試驗(yàn)的次數(shù)正面/試驗(yàn)次數(shù)1.000.000.250.500.750255075100125事件的概率例如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，試驗(yàn)的概率的性質(zhì)和運(yùn)算法則概率的性質(zhì)和運(yùn)算法則互斥事件及其概率

(mutuallyexclusiveevents)在試驗(yàn)中，兩個(gè)事件有一個(gè)發(fā)生時(shí)，另一個(gè)就不能發(fā)生，則稱事件A與事件B是互斥事件,(沒有公共樣本點(diǎn))AB互斥事件的文氏圖(Venndiagram)互斥事件及其概率

(mutuallyexclusivee互斥事件及其概率

(例題分析)【例】在一所城市中隨機(jī)抽取600個(gè)家庭，用以確定擁有個(gè)人電腦的家庭所占的比例。定義如下事件：

A：600個(gè)家庭中恰好有265個(gè)家庭擁有電腦

B：恰好有100個(gè)家庭擁有電腦

C：特定戶張三家擁有電腦說明下列各對(duì)事件是否為互斥事件，并說明你的理由

(1)A與B

(2)A與C

(3)B與C互斥事件及其概率

(例題分析)【例】在一所城市中隨機(jī)抽取60互斥事件及其概率

(例題分析)解：(1)事件A與B是互斥事件。因?yàn)槟阌^察到恰好有265個(gè)家庭擁有電腦，就不可能恰好有100個(gè)家庭擁有電腦

(2)事件A與C不是互斥事件。因?yàn)閺埲苍S正是這265個(gè)家庭之一，因而事件與有可能同時(shí)發(fā)生

(3)事件B與C不是互斥事件。理由同(2)互斥事件及其概率

(例題分析)解：(1)事件A與B是互斥事互斥事件及其概率

(例題分析)【例】同時(shí)拋擲兩枚硬幣，并考察其結(jié)果。恰好有一枚正面朝上的概率是多少？

解：用H表示正面，T表示反面，下標(biāo)1和2表示硬幣1

和硬幣2。該項(xiàng)試驗(yàn)會(huì)有4個(gè)互斥事件之一發(fā)生

(1)兩枚硬幣都正面朝上，記為H1H2

(2)1號(hào)硬幣正面朝上而2號(hào)硬幣反面朝上，記為H1T2

(3)1號(hào)硬幣反面朝上而2號(hào)硬幣正面朝上，記為T1H2

(4)兩枚硬幣都是反面朝上，記為

T1T2互斥事件及其概率

(例題分析)【例】同時(shí)拋擲兩枚硬幣，并考察互斥事件及其概率

(例題分析)解：由于每一枚硬幣出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面的概率都是1/2，當(dāng)拋擲的次數(shù)逐漸增大時(shí)，上面的4個(gè)簡(jiǎn)單事件中每一事件發(fā)生的相對(duì)頻數(shù)(概率)將近似等于1/4。因?yàn)閮H當(dāng)H1T2或T1H2發(fā)生時(shí)，才會(huì)恰好有一枚硬幣朝上的事件發(fā)生，而事件H1T2或T1H2又為互斥事件，兩個(gè)事件中一個(gè)事件發(fā)生或者另一個(gè)事件發(fā)生的概率便是1/2(1/4+1/4)。因此，拋擲兩枚硬幣，恰好有一枚出現(xiàn)正面的概率等于H1T2或T1H2發(fā)生的概率，也就是兩種事件中每個(gè)事件發(fā)生的概率之和互斥事件及其概率

(例題分析)解：由于每一枚硬幣出現(xiàn)正面或出互斥事件的加法規(guī)則

(additionlaw)加法規(guī)則若兩個(gè)事件A與B互斥，則事件A發(fā)生或事件B發(fā)生的概率等于這兩個(gè)事件各自的概率之和，即

P(A∪B)=P(A)+P(B)事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則有

P(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)互斥事件的加法規(guī)則

(additionlaw)加法規(guī)互斥事件的加法規(guī)則

(例題分析)

解：擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)(1，2，3，4，5，6)共有

6個(gè)互斥事件，而且每個(gè)事件出現(xiàn)的概率都為1/6

根據(jù)互斥事件的加法規(guī)則，得【例】拋擲一顆骰子，并考察其結(jié)果。求出其點(diǎn)數(shù)為1點(diǎn)或2點(diǎn)或3點(diǎn)或4點(diǎn)或5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率互斥事件的加法規(guī)則

(例題分析)解：擲一顆骰子出概率的性質(zhì)

(小結(jié))非負(fù)性對(duì)任意事件A，有P1規(guī)范性一個(gè)事件的概率是一個(gè)介于0與1之間的值，即對(duì)于任意事件

A，有0P1必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。即P()=1；P()=0可加性若A與B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)推廣到多個(gè)兩兩互斥事件A1，A2，…，An，有

P(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)概率的性質(zhì)

(小結(jié))非負(fù)性事件的補(bǔ)及其概率事件的補(bǔ)(complement)

事件A不發(fā)生的事件，稱為補(bǔ)事件A的補(bǔ)事件(或稱逆事件)，記為A

。它是樣本空間中所有不屬于事件A的樣本點(diǎn)的集合A

AP(A)=1-P(A)事件的補(bǔ)及其概率事件的補(bǔ)(complement)A廣義加法公式廣義加法公式

對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)事件A和B，它們和的概率為兩個(gè)事件分別概率的和減去兩個(gè)事件交的概率，即

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)兩個(gè)事件的并兩個(gè)事件的交廣義加法公式廣義加法公式兩個(gè)事件的并兩個(gè)事件的交廣義加法公式

(事件的并或和)

事件A或事件B發(fā)生的事件，稱為事件A與事件B的并。它是由屬于事件A或事件B的所有樣本點(diǎn)的集合，記為A∪B或A+BBAA∪B廣義加法公式

(事件的并或和)事件A或事件B發(fā)生的事件廣義加法公式

(事件的交或積)ABA∩B事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的事件，稱為事件A與事件B的交，它是由屬于事件A也屬于事件B的所有公共樣本點(diǎn)所組成的集合，記為B∩A

或AB廣義加法公式

(事件的交或積)ABA∩B事件A與事件廣義加法公式

(例題分析)

解：設(shè)A

=員工離職是因?yàn)閷?duì)工資不滿意

B=員工離職是因?yàn)閷?duì)工作不滿意依題意有：P(A)=0.40；P(B)=0.30；P(AB)=0.15P(AúB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.40+0.30-0.15=0.55【例】一家計(jì)算機(jī)軟件開發(fā)公司的人事部門最近做了一項(xiàng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)在最近兩年內(nèi)離職的公司員工中有40%是因?yàn)閷?duì)工資不滿意，有30%是因?yàn)閷?duì)工作不滿意，有15%是因?yàn)樗麄儗?duì)工資和工作都不滿意。求兩年內(nèi)離職的員工中，離職原因是因?yàn)閷?duì)工資不滿意、或者對(duì)工作不滿意、或者二者皆有的概率廣義加法公式

(例題分析)解：設(shè)A=員工離職是因?yàn)閷?duì)條件概率與事件的獨(dú)立性條件概率與事件的獨(dú)立性條件概率

(conditionalprobability)在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為已知事件B時(shí)事件A的條件概率，記為P(A|B)

P(B)P(AB)P(A|B)=事件B及其概率P(B)事件AB及其概率P(AB)事件A

事件B一旦事件B發(fā)生條件概率

(conditionalprobability)條件概率

(例題分析)解：設(shè)A

=顧客購(gòu)買食品，B=顧客購(gòu)買其他商品依題意有：P(A)=0.80；P(B)=0.60；P(AB)=0.35【例】一家超市所作的一項(xiàng)調(diào)查表明，有80%的顧客到超市是來購(gòu)買食品，60%的人是來購(gòu)買其他商品，35%的人既購(gòu)買食品也購(gòu)買其他商品。求：

(1)已知某顧客購(gòu)買食品的條件下，也購(gòu)買其他商品的概率

(2)已知某顧客購(gòu)買其他的條件下，也購(gòu)買食品的概率條件概率

(例題分析)解：設(shè)A=顧客購(gòu)買食品，B=顧條件概率

(例題分析)【例】一家電腦公司從兩個(gè)供應(yīng)商處購(gòu)買了同一種計(jì)算機(jī)配件，質(zhì)量狀況如下表所示

從這200個(gè)配件中任取一個(gè)進(jìn)行檢查，求

(1)

取出的一個(gè)為正品的概率

(2)

取出的一個(gè)為供應(yīng)商甲的配件的概率

(3)取出一個(gè)為供應(yīng)商乙的正品的概率

(4)已知取出一個(gè)為供應(yīng)商甲的配件，它是正品的概率甲乙兩個(gè)供應(yīng)商提供的配件正品數(shù)次品數(shù)合計(jì)供應(yīng)商甲

84690供應(yīng)商乙

1028110合計(jì)18614200IBM條件概率

(例題分析)【例】一家電腦公司從兩個(gè)供應(yīng)商處購(gòu)買了條件概率

(例題分析)解：設(shè)A

=取出的一個(gè)為正品

B=取出的一個(gè)為供應(yīng)商甲供應(yīng)的配件

(1)(2)

(3)(4)條件概率

(例題分析)解：設(shè)A=取出的一個(gè)為正品乘法公式

(multiplicativelaw)用來計(jì)算兩事件交的概率以條件概率的定義為基礎(chǔ)設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若P(B)>0，則

P(AB)=P(B)P(A|B)

或

P(AB)=P(A)P(B|A)乘法公式

(multiplicativelaw)用來計(jì)算兩乘法公式

(例題分析)【例】一家報(bào)紙的發(fā)行部已知在某社區(qū)有75%的住戶訂閱了該報(bào)紙的日?qǐng)?bào)，而且還知道某個(gè)訂閱日?qǐng)?bào)的住戶訂閱其晚報(bào)的概率為50%。求某住戶既訂閱日?qǐng)?bào)又訂閱晚報(bào)的概率

解：設(shè)A

=

某住戶訂閱了日?qǐng)?bào)

B=

某個(gè)訂閱了日?qǐng)?bào)的住戶訂閱了晚報(bào)依題意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50

P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.75×0.5=0.375乘法公式

(例題分析)【例】一家報(bào)紙的發(fā)行部已知在某社區(qū)有7獨(dú)立事件與乘法公式

(例題分析)【例】從一個(gè)裝有3個(gè)紅球2個(gè)白球的盒子里摸球(摸出后球不放回)，求連續(xù)兩次摸中紅球的概率

解：設(shè)A

=

第2次摸到紅球

B=

第1次摸到紅球