函數(shù)的單一性與最大(小)值（2課時）一、教課目的使學(xué)生理解函數(shù)單一性的觀點，并能掌握判斷和證明某些函數(shù)的單一性的方法；經(jīng)過單一性觀點教課，培育學(xué)生的抽象歸納能力，經(jīng)過例題解說，培育學(xué)生的邏輯思想能力；(3)理解函數(shù)的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；(4)學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).二、教課要點與難點要點：形成增（減）函數(shù)的形式化定義；函數(shù)的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x．難點：形成增（減）函數(shù)觀點的過程中，如何從圖象起落的直觀認(rèn)識過渡到函數(shù)增減的數(shù)學(xué)符號語言表述；用定義證明函數(shù)的單一性;利用函數(shù)的單一性求函數(shù)的最大（?。┲担?、教課過程Ｔ：前面，我們學(xué)習(xí)了相關(guān)函數(shù)的基本觀點，下邊經(jīng)過函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的一些性質(zhì)。問題情境T：由以下圖，你能說出以下函數(shù)圖象有何特色？啟迪學(xué)生由圖象（主假如起落變化）獲得函數(shù)性質(zhì)的直觀認(rèn)識，進(jìn)而引入新課。建構(gòu)教課T：再來看兩個特別函數(shù)：一次函數(shù)yx和二次函數(shù)yx2（由學(xué)生作出圖象），圖１從左到右，這兩個函數(shù)的圖象是如何變化的？

圖２Ｓ：圖１是上漲的；圖２的圖象在

y軸左邊是降落的，在

y軸右邊是上漲的。Ｔ：從上邊的察看剖析能夠看出，不一樣的函數(shù)，其圖象的變化趨向不一樣，同一函數(shù)在不一樣區(qū)間上的變化趨向也不一樣。函數(shù)圖象的這類變化規(guī)律就是函數(shù)性質(zhì)的反應(yīng)，這就是我們今日所要研究的函數(shù)的一個重要性質(zhì)——函數(shù)的單一性（引出課題）。T：所謂的從左到右察看圖象，表此刻函數(shù)身上是哪個量發(fā)生了如何的變化？S：是x值由小變大。T：圖象的上漲或降落又能夠用函數(shù)的哪個量的變化來描繪？（以函數(shù)yx2為例）教課方案用計算機(jī)作出函數(shù)yx2的圖象，在上邊任選一點P，測出其坐標(biāo)，指引學(xué)生察看當(dāng)點P在函數(shù)圖象上“按橫坐標(biāo)（即自變量）

x增大”的方向挪動時，點

P的縱坐標(biāo)（即函數(shù)值）y的變化規(guī)律。S：圖2中圖象在

y軸右邊“上漲”，也就是，在

x

0時，跟著

x的增大，相應(yīng)的

y值隨之增大；圖象在

y軸左邊“降落”，也就是，在

x

0時，跟著

x的增大，相應(yīng)的y值反而隨之減小。T：如何用數(shù)學(xué)符號語言描繪這類變化趨向呢？（利用

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獲得數(shù)據(jù)）教課方案：（1）讓學(xué)生在區(qū)間[0,)上，從0開始，每隔一個單位取一個自變量的值，而后用計算機(jī)算出其對應(yīng)的函數(shù)值，獲得表

1；（2）讓學(xué)生在區(qū)間

[0,

)上，從9開始，每隔

0.1

個單位取一個自變量的值，

而后用計算機(jī)算出其對應(yīng)的函數(shù)值，獲得表

2；（3）讓學(xué)生在區(qū)間

[0,

)上，從

10開始，每隔

10個單位取一個自變量的值，而后用計算機(jī)算出其對應(yīng)的函數(shù)值，獲得表3；（4）讓學(xué)生在區(qū)間[0,)上，任選一個自變量的值作起點，任選一個單位取其余自變量的值，而后用計算機(jī)算出其對應(yīng)的函數(shù)值，獲得表4。依據(jù)以上表格，指引學(xué)生得出結(jié)論：四個表格都說明，任選兩個自變量的值，自變量大的函數(shù)值也大。即函數(shù)yx2在(0,)上圖象是上漲的，用函數(shù)分析式來描述就是：關(guān)于(0,)上隨意的x1,x2，當(dāng)x1x2時，都有x12x22。我們就說函數(shù)yx2在區(qū)間(0,)上是增函數(shù)。T：你能模仿這樣的描繪，說明函數(shù)yx2在區(qū)間(,0)上擁有的性質(zhì)嗎？學(xué)生給出回答，并加以命名，稱其在該區(qū)間上是減函數(shù)。T：一次函數(shù)yx擁有什么性質(zhì)？T：以上兩個函數(shù)都是詳細(xì)的，那關(guān)于一般函數(shù)，如何定義其為增函數(shù)（或減函數(shù)）？指引學(xué)生議論、溝通，說出各自的想法，并進(jìn)行剖析、評論，增補(bǔ)完美后給出增（減）函數(shù)、單一性、單一區(qū)間的定義。T：可否將(0,)改為[0,)，函數(shù)yx2在該區(qū)間上還是增函數(shù)？(,0)改為(,0]？S：都能夠，不影響單一性。T：這說明什么問題？S1：兩個相鄰單一區(qū)間的公共端點，可隨意放入哪個區(qū)間。S2：也說明關(guān)于單獨一點，因為其函數(shù)值是獨一確立的常數(shù)，故沒有增減變化，不存在單一性問題。S3：還說明單一性是針對區(qū)間而言的。T：一次函數(shù)yx在整個實數(shù)集上是增函數(shù)，我們能說二次函數(shù)yx2在整個實數(shù)集上是增函數(shù)（或減函數(shù)）嗎？S：不可以。該函數(shù)有兩個單一區(qū)間。T：這又說了然什么問題？S：函數(shù)的單一性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，其實不是全部的函數(shù)在其定義域上都具備單一性。T：小節(jié)例3中的函數(shù)y5x,x{1,2,3,4,5}能否擁有單一性？S：不具備。因為該定義域不是區(qū)間。經(jīng)過設(shè)置這三問，使學(xué)生加深對定義的理解。4.新課教課函數(shù)最大（?。┲刀x1．最大值一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，假如存在實數(shù)M知足：1）關(guān)于隨意的x∈I，都有f(x)≤M；2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值（MaximumValue）．思慮：模仿函數(shù)最大值的定義，給出函數(shù)y=f(x)的最小值（MinimumValue）的定義．（學(xué)生活動）注意：○1函數(shù)最大（?。┑谝粦?yīng)當(dāng)是某一個函數(shù)值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；○2函數(shù)最大（?。?yīng)當(dāng)是全部函數(shù)值中最大（?。┑?，即關(guān)于隨意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．2．利用函數(shù)單一性的判斷函數(shù)的最大（?。┲档姆椒ā?利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲怠?利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲怠?利用函數(shù)單一性的判斷函數(shù)的最大（?。┲导偃绾瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單一遞增，在區(qū)間[b，c]上單一遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；假如函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單一遞減，在區(qū)間[b，c]上單一遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；數(shù)學(xué)應(yīng)用（一）例題例1以下圖是定義在區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)yf(x)，依據(jù)圖象說出函數(shù)的單一區(qū)間，以及在每一單一區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？解：（略）T：f(x)在區(qū)間[-5，-2]，[1，3]都是減函數(shù)，可否說f(x)在[-5，-2]∪[1，3]上是減函數(shù)？S：不可以，不切合定義。這說明單一區(qū)間不可以寫成并集形式。例2物理學(xué)中的玻意耳定律pk(k為正常數(shù)）告訴我們，關(guān)于必定量的氣體，V當(dāng)其體積V減小時，壓強(qiáng)p將增大。試用函數(shù)的單一性證明之。剖析：按題意，只需證明函數(shù)pk)上是減函數(shù)即可。在區(qū)間(0,V解：（略）小結(jié)判斷函數(shù)單一性的方法：例3（教材P30例3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)確立函數(shù)的最大（小）值．解：（略）說明：關(guān)于擁有實質(zhì)背景的問題，第一要認(rèn)真審清題意，適合設(shè)出變量，成立適合的函數(shù)模型，而后利用二次函數(shù)的性質(zhì)或利用圖象確立函數(shù)的最大（?。┲担€(wěn)固練習(xí)：如圖，把截面半徑為25cm的圓形木頭鋸成矩形木材，假如矩形一邊長為x，面積為y試將y表示成x的函數(shù)，并畫出函數(shù)的大概圖象，并判斷如何鋸才能使得截面面積最大？例4（新題解說）

25旅店訂價一個星級旅店有150個標(biāo)準(zhǔn)房，經(jīng)過一段時間的經(jīng)營，經(jīng)理獲得一些訂價和住宅率的數(shù)據(jù)以下：房價（元）住宅率（%）16055140651207510085欲使每日的的營業(yè)額最高，應(yīng)如何訂價？解：依據(jù)已知數(shù)據(jù)，可假定該客房的最高價為160元，并假定在各價位之間，房價與住宅率之間存在線性關(guān)系．設(shè)y為旅店一天的客房總收入，x為與房價160對比降低的房價，所以當(dāng)房價為(160x)元時，住宅率為(55x10)%，于是得x20y=150·(160x)·(5510)%．x20因為(5510)%≤1，可知0≤x≤90．20所以問題轉(zhuǎn)變?yōu)椋寒?dāng)0≤x≤90時，求y的最大值的問題．將y的兩邊同除以一個常數(shù)0.75，得y1=－x2＋50x＋17600．因為二次函數(shù)y1在x=25時獲得最大值，可知y也在x=25時獲得最大值，此時房價定位應(yīng)是160－25=135（元），相應(yīng)的住宅率為67.5%，最大住宅總收入為13668.75（元）．所以該客房訂價應(yīng)為135元．（自然為了便于管理，訂價140元也是比較合理的）例5（教材P31例4）求函數(shù)y2在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值．x1解：（略）注意：利用函數(shù)的單一性求函數(shù)的最大（?。┲档姆椒ㄅc格式．穩(wěn)固練習(xí)：（教材P32練習(xí)5）（二）練習(xí)（P32—1、2，P39—2，P30研究）請依據(jù)以下圖描繪某裝置線的生產(chǎn)效率與生產(chǎn)線上工人數(shù)目間的關(guān)系。四、回首小結(jié)教師提出以下問題讓學(xué)生思慮：1）經(jīng)過增（減）函數(shù)觀點的形成過程，你學(xué)習(xí)到了什么？2）增（減）函數(shù)的圖象有什么特色？如何依