學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第1章立體幾何初步空間中的平行關(guān)系【例1】如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1,AA1求證：(1)GE∥平面BDD1B1;(2）平面BDF∥平面B1D1H.思路探究：（1）取B1D1的中點(diǎn)O，證明四邊形BEGO是平行四邊形．（2)證B1D1∥平面BDF,HD1∥平面BDF.［證明］（1)取B1D1的中點(diǎn)O，連結(jié)GO，OB，易證OGeq\f(1，2）B1C1，BEeq\f(1,2）B1C1，∴OGBE,四邊形BEGO為平行四邊形，∴OB∥GE?！逴B平面BDD1B1,GE平面BDD1B1，∴GE∥平面BDD1B1.（2）由正方體性質(zhì)得B1D1∥BD,∵B1D1平面BDF，BD平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.連結(jié)HB，D1F易證HBFD1是平行四邊形,得HD1∥BF.∵HD1平面BDF，BF平面BDF,∴HD1∥平面BDF?！連1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.1．判斷或證明線面平行的常用方法：（1）利用線面平行的定義(無公共點(diǎn)）；(2）利用線面平行的判定定理(aα，bα，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理（α∥β，aα?a∥β）；(4）利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，aβ，a∥α?a∥β）．2．證明面面平行的方法：(1）利用面面平行的定義；（2）利用面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行;（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行;(4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；（5）利用“線線平行”“線面平行”“面面平行"的相互轉(zhuǎn)化．1．如圖，AB是圓O的直徑，C是圓O上的點(diǎn)，P為平面ABC外一點(diǎn)．設(shè)Q為PA的中點(diǎn)，G為△AOC的重心．求證：QG∥平面PBC.［證明］如圖，連接OG并延長，交AC于點(diǎn)M，連接QM，QO，OM.由G為△AOC的重心，得M為AC的中點(diǎn)．由Q為PA的中點(diǎn)，得QM∥PC。又O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥BC。因?yàn)镼M∩MO＝M,QM平面QMO，MO平面QMO,BC∩PC＝C，BC平面PBC,PC平面PBC,所以平面QMO∥平面PBC.又QG平面QMO，所以QG∥平面PBC?？臻g中的垂直關(guān)系【例2】如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)．求證：(1)DE＝DA；(2）平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.思路探究：取EC中點(diǎn)F，CA中點(diǎn)N，連結(jié)DF，MN，BN.(1)證△DFE≌△ABD，（2）證BN⊥平面ECA，(3）證DM⊥平面ECA。[證明]（1)如圖所示,取EC的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，易知DF∥BC，∵EC⊥BC，∴DF⊥EC。在Rt△DEF和Rt△DBA中,∵EF＝eq\f（1,2)EC＝BD，F(xiàn)D＝BC＝AB，∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故DE＝DA。(2)取CA的中點(diǎn)N,連結(jié)MN,BN，則MNeq\f（1,2）EC,∴MN∥BD，即N點(diǎn)在平面BDM內(nèi)．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN。又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA?！連N在平面MNBD內(nèi)，∴平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA.（3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.空間垂直關(guān)系的判定方法（1）判定線線垂直的方法①計算所成的角為90°(包括平面角和異面直線所成的角）；②線面垂直的性質(zhì)（若a⊥α，bα，則a⊥b)．（2)判定線面垂直的方法①線面垂直的定義(一般不易驗(yàn)證任意性）;②線面垂直的判定定理（a⊥m，a⊥n,mα，nα,m∩n＝A?a⊥α）;③平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)(a∥b,b⊥α?a⊥α）；④面面垂直的性質(zhì)定理(α⊥β，α∩β＝l，aβ,a⊥l?a⊥α)；⑤面面平行的性質(zhì)（a⊥α，α∥β?a⊥β)；⑥面面垂直的性質(zhì)(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ)．（3）面面垂直的判定方法①根據(jù)定義(作兩平面構(gòu)成二面角的平面角，計算其為90°）;②面面垂直的判定定理（a⊥β，aα?α⊥β）．2．如圖，四棱錐P。ABCD的底面為平行四邊形，PD⊥平面ABCD，M為PC的中點(diǎn)．(1)求證：AP∥平面MBD；（2）若AD⊥PB,求證：BD⊥平面PAD。［證明］(1)如圖，連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,連結(jié)OM。因?yàn)榈酌鍭BCD是平行四邊形，所以點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)．又M為PC的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥PA.因?yàn)镺M平面MBD，AP平面MBD，所以AP∥平面MBD.(2）因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PD⊥AD.因?yàn)锳D⊥PB，PD∩PB＝P，PD平面PBD，PB平面PBD，所以AD⊥平面PBD。因?yàn)锽D平面PBD，所以AD⊥BD。因?yàn)镻D⊥平面ABCD,BD平面ABCD，所以PD⊥BD.又因?yàn)锽D⊥AD，AD∩PD＝D，AD平面PAD，PD平面PAD,所以BD⊥平面PAD。空間幾何體的體積及表面積【例3】如圖，四棱錐P。ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4,M為線段AD上一點(diǎn),AM＝2MD,N為PC的中點(diǎn)．(1）證明MN∥平面PAB;（2）求四面體N。BCM的體積．思路探究：（1）利用線面平行的判定定理進(jìn)行證明,即通過線線平行證明線面平行;(2）先求出點(diǎn)N到平面BCM的距離及△BCM的面積，然后代入錐體的體積公式求解．[解］(1)證明：由已知得AM＝eq\f（2，3)AD＝2。如圖，取BP的中點(diǎn)T，連接AT,TN，由N為PC中點(diǎn)知TN∥BC,TN＝eq\f(1,2)BC＝2.又AD∥BC,故TNAM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT.因?yàn)锳T平面PAB，MN平面PAB,所以MN∥平面PAB。(2)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)，所以N到平面ABCD的距離為eq\f(1，2)PA。如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由AB＝AC＝3得，AE⊥BC,AE＝eq\r（AB2－BE2）＝eq\r（5）。由AM∥BC得M到BC的距離為eq\r（5)，故S△BCM＝eq\f（1，2）×4×eq\r(5)＝2eq\r（5）。所以四面體N。BCM的體積VN。BCM＝eq\f(1,3)×S△BCM×eq\f(PA，2）＝eq\f（4\r(5)，3）。幾何體的表面積及體積的計算是現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常能夠遇到的問題，在計算中應(yīng)注意各數(shù)量之間的關(guān)系及各元素之間的位置關(guān)系，特別是特殊的柱、錐、臺體，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面圖形的應(yīng)用,注意分割與組合的合理應(yīng)用；關(guān)注展開與折疊問題．3．如圖，在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP＝∠CDP＝90°.（1)證明：平面PAB⊥平面PAD;（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱錐P.ABCD的體積為eq\f（8,3),求該四棱錐的側(cè)面積．[解］(1)證明:由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，因?yàn)锳P∩PD＝P，AP平面PAD，PD平面PAD,從而AB⊥平面PAD。又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD。(2）如圖，在平面PAD內(nèi)作PE⊥AD,垂足為E.由(1)知,AB⊥平面PAD，故AB⊥PE,AB⊥AD，可得PE⊥平面ABCD。設(shè)AB＝x,則由已知可得AD＝eq\r(2）x，PE＝eq\f(\r（2)，2）x.故四棱錐P。ABCD的體積VP.ABCD＝eq\f(1,3)AB·AD·PE＝eq\f（1，3)x3.由題設(shè)得eq\f（1，3）x3＝eq\f(8，3)，故x＝2。從而結(jié)合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2eq\r（2)，PB＝PC＝2eq\r（2)?？傻盟睦忮FP。ABCD的側(cè)面積為eq\f（1,2）PA·PD＋eq\f(1，2）PA·AB＋eq\f(1,2)PD·DC＋eq\f（1，2）BC2sin60°＝6＋2eq\r（3)。平面圖形的翻折問題【例4】如圖,在直角梯形ABCP中,AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝eq\f（1，2）AP，D是AP的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為PD,PC的中點(diǎn)，將△PCD沿CD折起得到四棱錐P。ABCD.(1)G為線段BC上任一點(diǎn),求證：平面EFG⊥平面PAD；（2)當(dāng)G為BC的中點(diǎn)時，求證：AP∥平面EFG.思路探究：(1)轉(zhuǎn)化為證EF⊥平面PAD;(2)轉(zhuǎn)化為證平面PAB∥平面EFG。[證明］(1）在直角梯形ABCP中，∵BC∥AP，BC＝eq\f（1，2）AP，D為AP的中點(diǎn)．∴BCAD，又AB⊥AP，AB＝BC,∴四邊形ABCD為正方形，∴CD⊥AP,CD⊥AD,CD⊥PD。在四棱錐P。ABCD中，∵E，F(xiàn)分別為PD，PC的中點(diǎn),∴EF∥CD，EF⊥AD,EF⊥PD。又PD∩AD＝D，PD平面PAD,AD平面PAD?！郋F⊥平面PAD。又EF平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD。(2)法一:∵G，F(xiàn)分別為BC和PC的中點(diǎn),∴GF∥BP?！逩F平面PAB，BP平面PAB，∴GF∥平面PAB。由(1)知，EF∥DC，∵AB∥DC，∴EF∥AB?！逧F平面PAB,AB平面PAB，∴EF∥平面PAB。∵EF∩GF＝F，EF平面EFG，GF平面EFG?！嗥矫鍱FG∥平面PAB.∵PA平面PAB，∴PA∥平面EFG。法二：取AD中點(diǎn)H(略),連結(jié)GH，HE.由(1）知四邊形ABCD為平行四邊形．又G，H分別為BC，AD的中點(diǎn)，∴GH∥CD。由(1)知,EF∥CD，∴EF∥GH.∴四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H共面．∵E，H分別為PD，AD的中點(diǎn)，∴EH∥PA.∵PA平面EFGH，EH平面EFGH?！郟A∥平面EFGH，即PA∥平面EFG.空間幾何中的翻折問題是幾何證明,求值問題中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在高考中經(jīng)常考查．（1)解決與翻折有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清翻折前后的變化量和不變量，一般情況下，折線同一側(cè)的線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口．（2)在解決問題時,要綜合考慮翻折前后的圖形，既要分析翻折后的圖形，也要分析翻折前的圖形．4．如圖(1）所示，在直角梯形ABEF中（圖中數(shù)字表示線段的長度），將直角梯形DCEF沿CD折起,使平面DCEF⊥平面ABCD，連結(jié)部分線段后圍成一個空間幾何體,如圖（2)所示．(1）(2）（1)求證:BE∥平面ADF;（2）求三棱錐F。BCE的體積．［解]（1)證明:法一：取DF的中點(diǎn)G,連結(jié)AG，EG,∵CE＝eq\f(1，2）DF，∴EGCD。又∵ABCD，∴EGAB，∴四邊形ABEG為平行四邊形，∴BE∥AG?！連E平面ADF,AG平面ADF，∴BE∥平面ADF。法二:由圖（1）可知BC∥AD，CE∥DF,折疊之后平行關(guān)系不變．∵BC平面ADF，AD平面ADF,∴BC∥平面ADF。同理CE∥平面ADF?！連C∩CE＝C,BC,CE平面BCE，∴平面BCE∥平面ADF。∵BE平面BCE，∴BE∥平面ADF。（2）法一：∵VF-BCE＝VB-CEF，由圖(1）可知BC⊥CD.∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.由圖(1)可知DC＝CE＝1，S△CEF＝eq\f（1,2）CE×DC＝eq\f（1，2),∴VF。BCE＝VB.CEF＝eq\f(1，3)×BC×S△CEF＝eq\f（1,6）。法二：由圖（1)，可知CD⊥BC,CD⊥CE，∵BC∩CE＝C，∴CD⊥平面BCE.∵DF∥CE，點(diǎn)F到平面BCE的距離等于點(diǎn)D到平面BCE的距離為1，由圖（1），可知BC＝CE＝1，S△BCE＝eq\f(1，2）BC×CE＝eq\f(1,2），∴VF.BCE＝eq\f(1，3)×CD×S△BCE＝eq\f（1，6）。法三