2Tππ2Tππ考點十八

藝考生高考數(shù)學(xué)專題講義函數(shù)y=ωxφ)的圖象和性質(zhì)．五點法作y＝Aωx＋)一個周期內(nèi)的簡圖ππ用“五點法”作圖，就是令ωx＋下列5個殊值：,,π,2，過列表，計算五點的坐標，描點得到圖象．三角函數(shù)圖象變．函數(shù)y=sin(φ)的幾個概念若函數(shù)y＝Aφ(A，＞0，∈(－，∞))示一個振動量時，則叫做振幅，2π1T＝叫做周期，＝叫做頻率，φ叫相位，做初相．ω題一三函的象換π例1東文)要得到函數(shù)y＝sinx－的象，只需將函數(shù)yx的圖象．填序號ππππ①向左平移個位②向平移個單位③左平移個單④右平移個位3答案②解析∵y＝sin∴要得到y(tǒng)＝sin

x＝4x，ππx的象，只將函數(shù)＝4x的象向右平移個位．高中數(shù)學(xué)π2y＝π2y＝藝考生高考數(shù)學(xué)專題講義π變訓(xùn)把函數(shù)＝sin(x＋)圖象上各點的橫坐標縮短原來的(縱坐標不變)，再將圖象π向右平移個單位長度，那么所圖象的一條對稱軸方程_．π答案x＝－π1解析將y＝x＋)圖象上各點的橫坐標縮短到原來(縱坐標不變得函數(shù)y＝sin(2x2ππππ＋再將圖象向平移個位長度得函數(shù)y＝x－)]＝sin(2x－)故x＝－332是其圖象的一條對稱軸方程．解要圖象平移時要注意平移量的求解，由y＝x的象換到＝＋)的圖象，兩種變換區(qū)別在于：先相位變換再周期變伸縮變)平移量是φ個單位；而先周期φ|變換伸縮變)相位變換，平移量是(＞0)個單位．原因在于相位變換和周期變換都是ω針對x而，即本加多少值，而不是依賴于ωx加多少值．題二三函的點作π例設(shè)函數(shù)＝2sin2x用五點法作出它在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象；說明函數(shù)fx)的圖象可由y＝sinx的圖象過怎樣的變換而得到的．解析(1)列，x

－

π

π

π

7π

πy＝x3

00

00

－－

00描點畫出圖象：π方法一把yx圖象上所有的點向左平移個位長度＝

πx的象，再把y＝

πx的象上的點的橫坐標縮到原來的倍(坐標不變y＝sin高中數(shù)學(xué)

πx23622362362236T藝考生高考數(shù)學(xué)專題講義π的圖象最后把y＝sin2上有點的縱坐標伸長到原來的2橫坐標不變)即得到πy＝x的象．方法二將y＝的象上每一點橫坐標縮為原來的倍坐不變到＝sinπππ的象再將y＝sin2x的象向左平移個單長度得到y(tǒng)＝sin＝2x的π圖象；再將y＝sinx的象上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長為原來的2倍，π得到y(tǒng)＝2的象．解要(1)點法作簡圖五點法”作y＝sin(ωx＋)簡圖是過變量代換，π3設(shè)z＝φ由z取，，，π2π來求出相應(yīng)的x，通過列表，算得出五點坐標，描點后得出圖象．圖象變換函數(shù)y＝sin的象通過變換得到y(tǒng)＝＋)圖象種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”．題三由象＝sin(＋)的析ππ例3函fx)＝Aφ)，>0－<<，∈R的分圖象如圖所示．求函數(shù)＝()的解析式；π當(dāng)∈－，時求f)取值范圍．T2ππ解析(1)題中圖象得＝1＝－＝，所以T＝，則＝1.πππππ將點，1代得＋＝，又－<<，以φ＝，因此函數(shù)f(x)sin＋π2由于－≤x≤－，≤＋≤，以－≤

π1x＋≤，2所以f()的取值范圍是－，.解要確定＝＋)(A>0，>0)的驟和方法求A，b確定函數(shù)的最大值和小值，則＝

－Mm，＝；22π求ω確定函數(shù)的周期T，可得ω＝；高中數(shù)學(xué)ωω藝考生高考數(shù)學(xué)專題講義求：常用的方法有：代入法：把圖象上的一個已知點代此時，，b已知或入圖象與直線＝交點求解此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間．五點法：確定值，往往以尋找“五點法”中的某一個點為突破口．具體如下：“第一點”即圖象上升時與x軸交)時ωx＋＝二”(即圖象的“峰點”時ωxπ＋＝；“三點(即圖象下降時與軸交)時ωxφπ；“第四點(圖象的“谷3π點”時＋＝；“第五點”時＋＝2π.題四函y＝A＋φ)的稱、期、偶π例4函fx)x－)最小正周期是________．答案2π2π解析最小正周期為＝＝＝變訓(xùn)已知函數(shù)f)＝①

3πx＋∈R，下面結(jié)論錯誤的．填號函數(shù)fx)的最小正周期為π函數(shù)fx)是偶函數(shù)π函數(shù)fx)的圖象關(guān)于直線x＝對稱π函數(shù)fx)在區(qū)間，上增函數(shù)答案③3π解析fx)＝2＋cosx，故其最小正周期為，故①正確；易知函數(shù)f(x)偶函π數(shù)，②正確；由函數(shù)f(x)＝cosx圖象可知，函數(shù)fx)的圖象不關(guān)于直線x＝對，③π錯誤；由函數(shù)fx)的圖象易知，函數(shù)()在，上增函數(shù)，④正確，故選解要三角函數(shù)的奇偶性的判斷技巧：首先要知道基本三角函數(shù)的奇偶性根據(jù)題目去判斷所求三角函數(shù)的奇偶性可根據(jù)圖象做判斷．求三角數(shù)周期的方法：①利用周期函數(shù)的定義．高中數(shù)學(xué)2222藝考生高考數(shù)學(xué)專題講義2π②利用公式y(tǒng)＝A＋)和y＝ωx＋)的最小正周期為yωx＋)最小正|π周期為|③利用圖象．三角函的對稱性：正余函數(shù)的圖象既是中心對稱圖形是軸對稱圖形正切函數(shù)的圖象只是中心對稱圖形，應(yīng)熟記它們的對稱軸和對稱中心，并注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．另外函數(shù)y＝Asin(ωx＋、余弦函數(shù)y＝cos(＋在對稱軸處必取極，對稱軸處必取，借助這一性質(zhì)可快速解題．ππ．函數(shù)f(x)＋)(ω＞，＜＜)的部分圖象如圖所示，則，的值分別是．π答案，－T5π3π解析由圖象可得，＝－＝，2π55π∴＝，則＝＝2再將點代入f)＝2sin(2＋φ)中得，φ＝，π5π令＋＝k＋，k，π解得，＝2k－，k∈，πππ又∵∈，，取＝0，∴＝－.ππ．(2014·遼寧卷將函數(shù)y＝x＋的象向右平移個位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)．(填序號π77π①在區(qū)間，上調(diào)遞減②在區(qū)間，上單調(diào)遞增1212高中數(shù)學(xué)21212121222121212122min8藝考生高考數(shù)學(xué)專題講義ππππ③在區(qū)間－，上調(diào)遞減④在區(qū)間－，上單調(diào)遞增33答案②解析由題可知，將函數(shù)y＝

ππx＋的象向右移個位長度得到函數(shù)＝3sin

π2πππx－π的圖象，令－＋k≤x－π2k，∈，＋≤≤＋π，∈ππ時，函數(shù)單調(diào)遞增，即函數(shù)y＝3sin2－的單調(diào)遞增區(qū)間為＋kπ＋π，∈Zπ7可知當(dāng)k＝0時函在區(qū)間，上調(diào)遞增．(2014·四卷為了得到函數(shù)y＝sin(2x＋1)的圖象，只需把函數(shù)y＝sin2x的象上所有的點________．填序號①向左平行移動個單長度②向右平行移動個單長度2③向左平行移動1個位長度④右平行動1個位長度答案①解析因為y＝sin(2＋1)＝sin2x＋，以為得到函數(shù)ysin(2x＋1)圖象，只需要將＝sinx圖象向左平行移動個位長度．．安徽卷)若將函數(shù)f(x)稱，則φ的小正值是________．

πx＋的象向右移個位，所得圖象關(guān)于y軸答案

3π解析將fx)＝sin

ππx＋的象向右移φ個位，得到y(tǒng)＝x＋－2的圖象，由該ππππ函數(shù)的圖象關(guān)于軸稱，可知sin－2＝，即2－＝1，φ－＝π＋，kk3π3∈Z，即φ＝＋，∈Z，所以當(dāng)φ時φ＝．(2015新課標Ⅰ文函數(shù)fx＝cos(φ)的分圖象如圖所示，則)單調(diào)遞減區(qū)間為．yO

x高中數(shù)學(xué)442644242442644242藝考生高考數(shù)學(xué)專題講義3答案k－，＋，k∈解析由已知圖象可求得與φ的值，然后利用余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)求解．1由圖象知，周期T＝2＝，2π∴＝，∴＝ωππ由π×＋＝＋k，∈，不妨取φ＝，∴(x)cos

ππxπ1由2π＋π＋，k∈，得k－<＋，∈Z∴(x)單調(diào)遞減區(qū)間為2，∈Z一填空ππ將函數(shù)f(x)sinx的象向左平移個單位到函數(shù))＝x＋＜φ的圖象，則等于________.答案

πππππ解析由題意(x＝2(＋)＝＋)，gx)＝sin(2x＋)，＜＜，∴＝.π．將函數(shù)y＝＋)的圖象沿向左平移個單后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則的一個可能取值答案

π解析由函數(shù)橫向平移規(guī)律“左右減”π則y＝sin(2x＋)向左平移個位ysin(2x＋＋φ).πππ由y＝sin(2x＋＋)為函數(shù)得＋＝＋k，∈Z則φ＋，k∈，π則的個可能值為ππ．下列函數(shù)中，周期為，且在[，]為減函數(shù)的ππππ①y＝sin(2x＋)②＝cos(2x＋)＝sin(x＋)④＝cos(x＋222答案①高中數(shù)學(xué)233233藝考生高考數(shù)學(xué)專題講義πππ解析對于選項①，注意到y(tǒng)＝sin(2x＋)＝x的期為π，且在[，]上是減函數(shù)，故選①π．函數(shù)y＝cos(x∈)的圖象向左平移個位后，到函數(shù)＝g()的圖象，則g)的解析式應(yīng)為_答案－sin解析由圖象的平移得g(x＝cos

πx＝－sinx.．已知函數(shù)y＝＋)(ω，φ的部分圖象如圖所示，

2πω＝，＝2πω＝，＝－2πω＝，＝2πω＝，＝－答案④ππ2π解析由題圖可知＝－＝，T＝π，又＝，∴＝，又fx的圖象過點，1，ωπ2∴cos＋＝1，∴＋＝2π，令k＝，得φ＝－π.ππ．要得到函數(shù)y＝x－)的圖象可將函數(shù)y＝sin(＋)的象上的所有________.π答案向右平移個度單位ππ解析由y＝sin[(x－)＋]＝sin(－知應(yīng)向右平移個度位.3陜理)如圖口天時18時水變化曲線近似滿足函數(shù)y3sin＋k，據(jù)此函數(shù)可知，這段時間(單位：m)的最大值為

π

x＋高中數(shù)學(xué)42228463334222846333藝考生高考數(shù)學(xué)專題講義答案8解析由圖易得則k5.min∴yk8.π3π將數(shù)fx)(其中ω>0)的圖象向平移個位長度所得圖象經(jīng)過點，則ω的小值答案π3ππ解析∵y＝ω－過點π，∴sinω＝，∴ω＝π，＝2，當(dāng)k＝1，小值為2.π．函數(shù)f(x)A＋)(>0，，φ)的部分圖象如圖所示，＝________.答案

ππx＋)42ππ解析依題意得，A，＝＋2)，＝，ωπππππsin(×2φ)＝，又φ，此φ＝，fx)＝2sin(x＋)．π10＝＋)(＞0＜(－，的小正周期為且其圖象關(guān)于直線＝對，則在下面四個結(jié)論中：ππ①圖象關(guān)于，對稱；②象關(guān)于(，對稱；3ππ③在[，上是增函數(shù)；④在[，上是增函數(shù)．正確結(jié)論的編號________．答案②④解析∵T＝π，ω＝2∴＝sin(2＋φ)，ππππ∵圖象關(guān)于直線x＝對稱，∴φ＋π，(k∈Z)，∴＝＋π(∈Z)ππ又∵∈－，)，φ＝.∴y＝sin(2x＋ππ1當(dāng)x＝時y＝sin(＋)＝，①正確．23高中數(shù)學(xué)＝.22222ω2＝.22222ω2藝考生高考數(shù)學(xué)專題講義π當(dāng)x＝時y＝0故②正確；πππ2ππ當(dāng)x∈，]時，2＋∈[，]＝＋)不增函數(shù)，即③不正確；333ππππ當(dāng)x∈[－，時，x＋∈[0，]，]故④正確．3311湖南文)已知ω，在函數(shù)＝ωx與y＝2cosωx的圖象的交點中，距離最短的兩個交點的距離為，ω＝答案解析

πωx由ωx

得sinωx＝x，π∴x＝1ω＝π＋(∈Z)．kπ∵，∴x＝＋∈Z)．ωωππ設(shè)距離最短的兩個交點分別為x，)，(x，)，妨取＝，x＝，112ω4則x－＝21

5ππω4ω又結(jié)合圖形y－＝21

22

＝，且，y與(x，