學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE12-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。3.1直線與平面垂直的判定[基礎(chǔ)鞏固]（25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．已知直線l⊥α，α∥β，則（）A．l∥βB．lβC．l⊥βD．以上均有可能解析：由于α∥β，則平面β內(nèi)存在兩條相交直線m，n分別平行于平面α內(nèi)兩條相交直線a,b，又l⊥α，則l⊥a，l⊥b，所以l⊥m,l⊥n，所以l⊥β.答案：C2．直線l⊥平面α,直線m?α，則l與m不可能(）A．平行B．相交C．異面D．垂直解析：若l∥m，則l?α,∵m?α，∴l(xiāng)∥α，這與已知l⊥α矛盾，所以直線l與m不可能平行．答案：A3．已知直線a、b和平面α，下列推理中錯誤的是（）A.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α，b?α））?a⊥bB.eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（a∥b，a⊥α)）?b⊥αC.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（a⊥b,b⊥α））?a∥α或a?αD.eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（a∥α，b∥α））?a∥b解析:當(dāng)a∥α，b∥α?xí)r，a與b可能平行，也可能相交或異面，即D推理錯誤．故選D。答案：D4．ABCD－A1B1C1D1為正方體，下列結(jié)論錯誤的是（)A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．AC1⊥BD1解析:正方體中BD∥B1D1，可知選項A正確；由BD⊥AC,BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1；從而BD⊥AC1，即選項B正確；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即選項C正確；由于四邊形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正確．選D。答案：D5．如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是（）A．60°B．45°C．30°D．120°解析：∠ABO即是斜線AB與平面α所成的角，在Rt△AOB中,AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq\f（1，2),即∠ABO＝60°.答案：A二、填空題（每小題5分，共15分)6．在三棱錐P－ABC中，最多有________個直角三角形．解析：不妨設(shè)PA⊥AB,PA⊥AC，則△APB，△PAC為直角三角形，由線面垂直的判定定理，可得PA⊥面ABC，由線面垂直的定義，可知PA⊥BC，若∠ABC＝90°，則BC⊥AB,∴BC⊥面PAB，即∠PBC＝90°,∴△ABC，△PBC為直角三角形，故直角三角形最多有4個．答案:47．有下列四種說法，正確的序號是________．①過空間一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直；②已知兩條不重合的直線m,n和平面α，若m⊥n,m⊥α，則n∥α；③a，b，l表示三條不同的直線，α表示平面，若a?α,b?α，l⊥a，l⊥b，則l⊥α；④若直線a不平行于平面α，則直線a垂直于平面α。解析:①正確;對于②，若直線n?α,也可滿足m⊥n，m⊥α，此時n∥α不正確；對于③，只有a,b相交時,才成立,否則不成立；④顯然錯誤,因為不平行時可以相交，而垂直只是相交的一種特殊情況．故只有①正確．答案：①8．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝eq\r（2),BC＝AA1＝1，則BD1與平面A1B1C1D1所成的角的大小為________．解析：如圖所示，連接B1D1，則B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，則∠BD1B1是BD1與平面A1B1C1D1所成的角．在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1＝eq\f(BB1，B1D1）＝eq\f(1,\r（3））＝eq\f(\r（3）,3)，則∠BD1B1＝30°.答案:30°三、解答題(每小題10分,共20分）9．如圖，在四棱錐S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB＝BC＝2,CD＝SD＝1。求證：SD⊥平面SAB.證明：∵AB∥CD，BC⊥CD,AB＝BC＝2，CD＝1，∴底面ABCD為直角梯形,AD＝eq\r（2－12＋22）＝eq\r（5).∵側(cè)面SAB為等邊三角形，∴SA＝SB＝AB＝2.又SD＝1，∴AD2＝SA2＋SD2，∴SD⊥SA。連接BD，則BD＝eq\r(22＋12）＝eq\r（5）,∴BD2＝SD2＋SB2，∴SD⊥SB.又SA∩SB＝S，∴SD⊥平面SAB。10．如圖所示，已知AB為圓O的直徑，且AB＝4，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn),且AD＝eq\f(1，3)DB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BC＝eq\r(3)AC.點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，PD＝DB.(1)求證：CD⊥平面PAB；(2）求直線PC與平面PAB所成的角．解析：(1)證明：連接CO，由3AD＝DB知,點(diǎn)D為AO的中點(diǎn)．又因為AB為圓O的直徑，所以AC⊥CB。由eq\r（3)AC＝BC知，∠CAB＝60°,所以△ACO為等邊三角形．故CD⊥AO。因為點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D,所以PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，所以PD⊥CD，由PD?平面PAB,AO?平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.（2)由(1）知∠CPD是直線PC與平面PAB所成的角，又△AOC是邊長為2的正三角形,所以CD＝eq\r(3)在Rt△PCD中,PD＝DB＝3，CD＝eq\r（3),所以tan∠CPD＝eq\f(CD，PD)＝eq\f（\r(3）,3），∠CPD＝30°，即直線PC與平面PAB所成的角為30°.［能力提升](20分鐘，40分)11．[2019·淮安一中月考]在四面體P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝CA，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點(diǎn)，下列結(jié)論中不成立的是（）A．BC∥平面PDFB．BC⊥平面PAEC．DF⊥平面PAED．AE⊥平面APC解析:因為D,F分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以DF∥BC，故BC∥平面PDF，故A項正確．又AB＝AC，PB＝PC，E為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC,PE⊥BC，所以BC⊥平面PAE，又DF∥BC,所以DF⊥平面PAE，故B、C項正確．由于AE與AP不垂直(否則，等腰三角形PAE將有兩個直角），故AE與平面APC不垂直．選D.答案：D12．已知點(diǎn)O為三棱錐P－ABC的頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影，若PA＝PB＝PC，則O為△ABC的________心;若PA⊥BC,PB⊥AC,則O為△ABC的________心;若P到三邊AB，BC,CA的距離都相等且點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，則O為△ABC的________心．解析：因為PA＝PB＝PC，所以O(shè)A＝OB＝OC，O是△ABC的外心;若PA⊥BC，又PO⊥平面ABC，所以BC⊥PO.所以BC⊥平面PAO。所以BC⊥AO。同理AC⊥OB。所以O(shè)是△ABC的垂心．若P到AB,BC邊的距離相等,則易知O到AB，BC邊的距離也相等,從而可判定O是△ABC的內(nèi)心．答案：外垂內(nèi)13。如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AP＝AB＝2，BC＝2eq\r(2)，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)．求證：PC⊥平面BEF.證明:連接PE，EC?！逷A⊥平面ABCD?！郟A⊥AD，PA⊥AB。在Rt△PAE,Rt△CDE中,PA＝AB＝CD，AE＝DE，∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中點(diǎn)，∴EF⊥PC.又BP＝eq\r（AP2＋AB2)＝2eq\r(2）＝BC，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)，∴BF⊥PC.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.14．如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值；(2）求證：PD⊥平面PBC；(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．解析：（1)如圖所示，由于AD∥BC，故∠DAP或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角．因為AD⊥平面PDC，直線PD?平面PDC,所以AD⊥PD。在Rt△PDA中,由已知,得AP＝eq\r（AD2＋PD2)＝eq\r（5），故cos∠DAP＝eq\f（AD，AP)＝eq\f(\r（5），5).所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為eq\f（\r(5）,5)。（2）證明：因為AD⊥平面PDC,PD?平面PDC,所以AD⊥PD。又BC∥AD,所以PD⊥BC,又PD⊥PB，BC∩PB＝B，所以PD⊥平面PBC。(3）過點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連接PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角．因為PD⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC內(nèi)的射影，所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角．由