非線性方程與非線性方程組的迭代解法(一)_第1頁
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文檔簡介

第四章非線性方程與非線性方程組的迭代解法一、非線性方程（組）的近似求解的必要性（1）單個方程情形：在非線性方程的求解中，多項式求根是常見且最簡單的情形。根據(jù)代數(shù)基本定理，在復數(shù)域內，n次多項式至少有一個根，而由Galois（伽羅華）理論，5次以上（含5次）的多項式無根式求解。從而近似求解方程就成為必需的了。除多項式求根以外，更多的是超越方程求根問題。例如天體力學中有如下Kepler（開普勒）方程：其中t表示時間，行星運動的軌道x是t的函數(shù)。該方程不能精確解出運動軌道位置x(t)。（2）多個方程情形：在用數(shù)值方法求解常微分方程組時經常遇到非線性方程組求根問題。二、非線性方程（組）求解研究的難點（1）解的存在性、唯一性不易確定；（2）迭代解法求解；（3）迭代法的收斂性往往為局部收斂。三、求解非線性方程的近似解的步驟（1）判斷根的存在性；（2）確定根的分布區(qū)間；（3）根的精確化。問題：設有非線性方程（1）其中為一元非線性函數(shù)。若常數(shù)使得，則稱是方程（1）的根（或的零點）。若其中，則稱是（方程1）的m重根（或的m重零點。當m=1時，稱為方程（1）的單根或的單零點。4.1對分法和簡單迭代法一、對分法基本思想：對有根區(qū)間不斷進行對分，即逐漸二分有根區(qū)間，得一系列有根區(qū)間，當k充分大時，取的中點作為根的近似值。優(yōu)點：算法簡單方便，其收斂性總能保證；缺點：可能漏根。例1：求的根。二、簡單迭代法及其收斂性1、基本思想將方程（1）改寫成等價形式（2）構造迭代公式（3）由此產生一迭代序列。在一定的條件下我們希望該序列是收斂的，于是當k充分大時，可取作為方程（1）的近似根。迭代法（3）稱為求解方程（1）的簡單迭代法，稱為迭代函數(shù)。故簡單迭代法又稱為不動點迭代法。收斂情形不收斂情形問題1：這樣求根的近似值的理論依據(jù)是什么？問題2：怎樣構造等價方程？問題3：序列是否收斂？收斂的條件是什么？則有如下結論：2、收斂條件例2：用簡單迭代法求解：迭代格式3、收斂階r=1；r=2；r>1收斂的。例題3：一階一階至少二

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