一、主要內（一）函數(shù)的（二）極限的（三）連續(xù)的反雙曲反雙曲函基基本初等函復合函初等初等函

函數(shù)的定函數(shù)之間關

函數(shù)的函數(shù)的定義函數(shù)的分函數(shù)的性質有界、單調、奇偶、周反函隱函基本初等函數(shù)冪、指 、復合函初等函雙曲函數(shù)與反雙曲函無窮lim無窮limf(x)數(shù)列極 limxnxlimf(x)x

兩兩者關無窮小的無窮小的比左右極左右極

f(x) 極 極極限唯一求極極限唯一1、極限的定義

N"X"

""單側極極限存在的條2、無窮小與無窮無窮??；無窮大；無窮小與無窮大的關無窮小的運3、極限的性四則運算、復合函數(shù)的極4、求極限的常c.無窮小因子分出法求極限5、判定極限存在的準定理、單調有界原limsinxlimsinxx0xlim(1lim(11)xxx

某過程

1lim(11lim(1x)xx0lim(1

e.7、無窮小的比

某過8、等價無窮小的替換性9、極限的唯一性、局部有界性、保號limylimy limf(x)f(x0x→ x→limf(x)f(x0xlimyx連 續(xù) 定 義連續(xù)定義

第一可跳去躍間間第一可跳去躍間間斷點點第二無振窮蕩間間斷點點 的的連1、連續(xù)的定單側連續(xù)連續(xù)的充要條件閉區(qū)間的連續(xù)2、間斷點的定間斷點的分 第一類、第二3、初等函數(shù)的連續(xù)性的運算性質反函數(shù)、復合函數(shù)的連續(xù)4、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性最值定理、有界性定理、介值定理、零點二、典型例例1設求

(x)(x).

f(

1)x

2x其中

0,

解利用函數(shù)表示法的無關特t

x1x

x

1

代入原方程f )1

f(t)

1

即fx

f )1

1令1

u1u

x

1

代入上式f

)

(u1)

2(u1)

即f

)f(

1)

1

1 解聯(lián)立方程f (x)ff(x)

f(f

1)2x ) 1

1f )f(

1)2(

1 1 1f(x)

xx

1

例 求下列極①lim(1

1)(1

1)(11 原式

13

24

n1

nn

23 12

n1 ②lim(1

x)(1

x2)(1

x4)(1

x2n

(|

原式

1

x)(1x2n1

x)(111

x2)(1x

x2n

1

1③lim[n

2n 原式

n(n1)

n

n2n 2 20 0④limx

x2

xn

x原式

(

(

xlim(

1)[n

(n1)x(n

2)x2

xn1

xlim[n

(n

(n

2)x2

xn1n

(n1)

2

n(n⑤lim

xcos

,(

原式

2cos22cos2n2sin

2sinx

2

4cos

22sin

n2nsinx

x

sin nsin 例 設x

xcccx

解一

xc

lim1

x

xc

x

xc xc2c clim1

1

x

xc

xce2c得

ln

2c

2ln c

xc

1 x xx

xc

x

cecec

1 x x例 求lim(1x0 1

x)x31x1 解法討

f(x)

0,

g(x)

f(x)]g(

elimg(x)ln[1f(x

g(x)[

f(x

f(x)]~

f(

e

g(x)

(x)原式

x0

(11

tansin

1)]x31lim[11

tanx

x3x0

1sin

tanxsinx

x(1cosx)x0

sin

x

sinx)cos x

x1

cosx

1x0 原式例 證

x1e2

x)cos n① nn② n①先設a

則na記

n

1hn由n

1

a(1

)n1

n(n1)h2 0

h

（整體和大于部分和 定理 nlimhn

a若a

1，記ab

則b

alim

nnnn

n

1 n

h2

1

n(n1)h21

n(n1)

0

h2

定理 nlimh n

n例6求極

n2

n2

nn nn

n

nn[分析]要 定理，須進行放n(n1)n(nn2 n2但

n(n1)

n(nn)

n2

n2不能這樣 定理 注意到分子成等差數(shù)(n1)

(n2)

(nn)n2(n1)

(n2)

(nn2n(3n1

n(3n2(n2

2(n2

n(3n1)

n(3n1)n

n2

n2

nn nn

n

nn 例 設

0,證明

1(

)有極限

n證xn

1( a)a an

ax2xn1

xn

n

xn存在n設lim n

A，則A

1(

)兩邊取極限A1(Aa

A

a,A

舍例8設px)是多項式,且x

p(x)xx

x0

p(x)x

1,求px).23解limpx23

可設px)

x3

2x2

ax

b(其中ab為待定系數(shù)又x0

p(x)x

p(x)

x3

2x2

axb~

(x從而

b0,

px

x3

2x2例

x

]

0,求xax2bxax2bxax2bxax2bx

x]ax2ax2bx x

xx lim

xax2ax2bxx lim

ab

xa a

lim

bx

xlim

bxc axxax2ax2bxcaxx

bxx

babcabcxx2aa2a例 求下列極①

x)x

eln(1x)x

(eln(1x

1~

lim

ln(1x) x

1~②

exsinxxsinxlim

sin

exsinx1

xsin③

tan

limx

x2 只記住了重要極限的形式，而沒有掌握其實

tan

令t

x

t

t

2t

limtt0sin

t0 例

確定a,b的值，使

(x)

x

有無窮(x

a)(

間斷點

0,x解因f(x)在x=0處為無窮間斷，x0

f(x) 0

lim(

a)(

f(

x

x x

a0,b又x=1為可去故

fx)存在 1b

lim(

f(x)(

a)(

f(x)lim(

a)(

b例12

設f(x)和(x)在(,)有定義

fx)連續(xù)函數(shù)，且

(x)

0,(x)有間斷,CC

(x)]必有間斷

f[x)](x)必有間斷點f(x)

2(x)A.

(x)

ex,(x)

x1x01x0B.

(x)

e|x|,(x)

xD.(x)

x

x1x01x0 ②設數(shù)列x與y

xn

xn收斂，yn yB有界xn有界，yn必為無窮小1

為無窮小1

n必為無窮小A.xn

n,

B.x

n

n0 n n0

2k

n

2k1C.xn1

,yn例

已知

1

(x)sin2

1

2,求

f(x)x0

e3x

x0 由

1

(x)sin2

1x0

e3x而lim(e3x

1)11f(x)sin2x

1

(x)sin2

1(e3

x02

e3x11f(x)sin2x x0

f(x)sin2x從而由等價無窮小的代換性質2

1

(x)sin2xx0

e3x1limx0

f(x)sin23

13

f(x)

2由limsin2x 2 x0

fx)存在，且x0

f(x)例

討論

(x)

x1,

x

的連續(xù)性cosx

x 將

x)改寫成1x,

xf(x)

,12

x

x顯然

(x)在(,1),(1,1),(1,)內連續(xù)當x1時

f(f(

(1x)cosx 2

f(x)

f(

故fx)在

1間斷當x

時

f(x)

2

f(x)

1)

故fx)在

1連續(xù)fx)在(,1(1,)連續(xù)例 證明若f(x)和g(x)連續(xù)，則函(x)(x)

fxgx)}fxgx)}也連續(xù)證x

f(x),g(|

(x)2

g(x)|

f(x)2

g(x)(x)

f(x),g(|

(x)2

g(x)|

f(x)2

g(x)由于f(x)和g(x)連續(xù)，故f(x)+g(x)連|f(x)

g(x)

[f(x)

gx)]2也連 x),x)都連續(xù)例 利用介值定理證明，當n為奇數(shù)時，方0a0

an1

an

,(a0

0至少有一實0證令

(x)

a

xn1

an1

an x

f(x)xn

00

x

an1xn1

anxna0故由函數(shù)極限的保號性質X0

0,使當

x

X0

fx)與axn

同號亦即，當

x

X0時

x)與

n是奇數(shù)

a(2X)n與a(2X)n異 f(2X0)f(2X0 而fx)在[2X02X0上連故由零點定理

(2X02X0，使

()n即a0n

xn1

an1