2022-2023學(xué)年湖北省荊州市沙市中學(xué)高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線l與x軸相交于點(diǎn)，且直線l向上的方向與x軸負(fù)半軸的夾角為，則直線l的斜率是（

）A． B． C． D．C【分析】由題可得直線l向上的方向與x軸正半軸的夾角為，即可求出直線l的斜率.【詳解】已知直線l與x軸相交于點(diǎn)，且直線l向上的方向與x軸負(fù)半軸的夾角為，所以直線l向上的方向與x軸正半軸的夾角為，則斜率為.故選：C.2．已知直線：，點(diǎn)，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的面積為（

）A．1 B． C．2 D．A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)求得直線方程，利用平行線距離公式，結(jié)合三角形面積公式，可得答案.【詳解】直線的方程為，所以，所以邊上的高為兩平行線之間的距離，記為，因?yàn)?，，所以．故選：A．3．已知點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．C【分析】求出直線的斜率，再數(shù)形結(jié)合分析得解.【詳解】由題得，，因?yàn)橹本€與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，結(jié)合圖可知，.故選：C4．設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是（

）A．4 B．10 C．5 D．C【分析】由題意可知兩條動(dòng)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)、，且始終垂直，有，利用勾股定理求出，再利用基本不等式求得答案.【詳解】由題意可知，動(dòng)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)直線即，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，所以?dòng)直線和動(dòng)直線始終垂直，又是兩條直線的交點(diǎn)，則有，，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，故選：C．5．1949年公布的《國(guó)旗制法說(shuō)明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個(gè)角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個(gè)角尖正對(duì)大五角星的中心點(diǎn)．有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近．為便于研究，如圖，以大星的中心點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中心點(diǎn)與四顆小星中心點(diǎn)的連接線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（

）A．0° B．1° C．2° D．3°C【分析】根據(jù)5顆星的位置情況知∠BAO3＝18°，過(guò)O3作x軸的平行線O3E并確定∠OO3E的大小，即可知AB所在直線的傾斜角.【詳解】∵O，O3都為五角星的中心點(diǎn)，∴OO3平分第三顆小星的一個(gè)角，又五角星的內(nèi)角為36°知：∠BAO3＝18°，過(guò)O3作x軸的平行線O3E，如下圖，則∠OO3E＝α≈16°，∴直線AB的傾斜角為18°－16°＝2°.故選：C6．已知圓：（），直線.若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．6A圓的圓心為到直線的距離為1，由圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，得到圓心為到直線的距離為，由此求出的值.【詳解】圓的圓心為,則圓心到直線的距離.又圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1.所以圓心為到直線的距離為,即所以故選：A本題考查圓與直線的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離,，屬于基礎(chǔ)題.7．已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，，則的最小值為（

）A． B． C． D．A【分析】先由直線過(guò)圓心求得，再由結(jié)合基本不等式求得最小值即可.【詳解】由題意知，直線過(guò)圓心，則，即，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，則的最小值為.故選：A.8．已知點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．D【分析】由已知，先計(jì)算出圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程，然后再根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得到，,代入原式，找到等號(hào)成立的條件，即可完成求解.【詳解】由已知條件，可作出下圖：圓的圓心為，圓圓心為，直線，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則直線為線段的垂直平分線，所以有，解得，所以，圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，作出點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，所以，所以，,所以，，當(dāng)五點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上時(shí)成立，故選：D.二、多選題9．使方程表示圓的實(shí)數(shù)a的可能取值為（

）A． B．0 C． D．BC【分析】配方后，利用半徑的平方大于0，得到不等式，解不等式求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】，配方得：，要想表示圓，則，解得：，故選：BC10．若與為兩條不重合的直線，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．若，則它們的斜率相等 B．若與的斜率相等，則C．若，則它們的傾斜角相等 D．若與的傾斜角相等，則BCD【分析】由兩直線斜率不存在可知A錯(cuò)誤；根據(jù)兩直線平行與斜率和傾斜角的關(guān)系可知BCD正確.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)和傾斜角均為時(shí)，，但兩直線斜率不存在，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若和斜率相等，則兩直線傾斜角相等，可知，B正確；對(duì)于C，若，可知兩直線傾斜角相等，C正確；對(duì)于D，若兩直線傾斜角相等，則兩直線斜率相等或兩直線斜率均不存在，可知，D正確.故選：BCD.11．已知直線和圓，則（

）A．直線l恒過(guò)定點(diǎn)B．存在k使得直線l與直線垂直C．直線l與圓O相交D．若，直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)為4BC【分析】利用直線系方程求出直線所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)判斷A、C；求出使得直線與直線垂直的值判斷B；根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A、C，由，得，令，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)，而，即在圓內(nèi)，所以直線l與圓O相交，故C正確；對(duì)于B，直線的斜率為，則當(dāng)時(shí)，滿足直線與直線垂直，故B正確；對(duì)于D，時(shí)，直線，圓心到直線的距離為，所以直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12．已知橢圓：，，分別為它的左右焦點(diǎn)，，分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．存在P使得 B．的最小值為C．，則的面積為9 D．直線與直線斜率乘積為定值A(chǔ)BC【分析】設(shè)橢圓短軸頂點(diǎn)為根據(jù)得的最大角為鈍角即可判斷A；記，則，結(jié)合余弦定理與基本不等式求解判斷B；結(jié)合題意得，進(jìn)而計(jì)算面積判斷C；設(shè)，直接求解即可判斷D.【詳解】解：設(shè)橢圓短軸頂點(diǎn)為，由題知橢圓：中，，所以，，，，，對(duì)于A選項(xiàng)，由于，，所以的最大角為鈍角，故存在P使得，正確；對(duì)于B選項(xiàng)，記，則，由余弦定理：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由于，故，所以，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，則，，于是,故錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題13．已知圓與圓內(nèi)切，則______.【分析】由兩圓相內(nèi)切知圓心距等于半徑差的絕對(duì)值，列方程求解即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為．所以兩圓圓心間的距離為，由兩圓相內(nèi)切得，又，解得：．所以.故答案為.14．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則______.【分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到答案.【詳解】由已知知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且半焦距，則，解得.故答案為.15．已知函數(shù)與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則常數(shù)的取值范圍是______.【分析】根據(jù)題意，分別作出與的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】分別作出與的圖象，如下：當(dāng)與的圖象相切時(shí)，，即，由圖可知，故相切時(shí)，因此結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).故答案為.16．已知為直線上一點(diǎn)，過(guò)作圓的切線，則切線長(zhǎng)最短時(shí)的切線方程為__________．或【分析】利用切線長(zhǎng)最短時(shí)，取最小值找點(diǎn)：即過(guò)圓心作直線的垂線，求出垂足點(diǎn)．就切線的斜率是否存在分類討論，結(jié)合圓心到切線的距離等于半徑得出切線的方程．【詳解】設(shè)切線長(zhǎng)為，則，所以當(dāng)切線長(zhǎng)取最小值時(shí)，取最小值，過(guò)圓心作直線的垂線，則點(diǎn)為垂足點(diǎn)，此時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為.①若切線的斜率不存在，此時(shí)切線的方程為，圓心到該直線的距離為，合乎題意；②若切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，即.由題意可得，化簡(jiǎn)得，解得，此時(shí)，所求切線的方程為，即.綜上所述，所求切線方程為或，故答案為或．本題考查過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程的求解，考查圓的切線長(zhǎng)相關(guān)問(wèn)題，在過(guò)點(diǎn)引圓的切線問(wèn)題時(shí)，要對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，另外就是將直線與圓相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于半徑長(zhǎng)，考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，屬于中等題．四、解答題17．已知直線：，：(1)若，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若，求實(shí)數(shù)m的值及此時(shí)兩平行直線間的距離.(1)(2)，距離為【分析】（1）根據(jù)直線一般式中垂直滿足的關(guān)系即可求解，（2）根據(jù)直線一般式中平行滿足的關(guān)系式以及平行線間距離公式即可求解.【詳解】（1）由得（2）由得，此時(shí)直線方程為：：，：所以兩直線的距離為：18．已知圓，直線，當(dāng)為何值時(shí)，（1）圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）圓與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）圓與直線沒(méi)有公共點(diǎn)．（1）；（2）；（3）或.【分析】求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心到直線的距離d，分別求得d=r、d＜r、d＞r時(shí)，b的值，可得直線與圓相切、相交、相離時(shí)，b的范圍．【詳解】方法一：圓心到直線的距離為，圓的半徑．（1）當(dāng)，即時(shí)，直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）當(dāng)，即時(shí)，直線與圓相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）當(dāng)，即或時(shí)，直線與圓相離，無(wú)公共點(diǎn)．方法二：聯(lián)立直線與圓的方程，得方程組，消去得，則．（1）當(dāng)，即時(shí)，直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）當(dāng)，即時(shí)，直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）當(dāng)，即或時(shí)，直線與圓無(wú)公共點(diǎn)．本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判定，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．19．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有共同的焦點(diǎn)；(2)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)．(1);(2)【分析】（1）由條件可設(shè)所求橢圓方程為，利用已知條件求出，，即可得解．（2）設(shè)橢圓方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)，求得，，即可得答案．【詳解】（1）橢圓，即，故，焦點(diǎn)為，，設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以,解得，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;（2）設(shè)所求橢圓的方程，將代入上式得,解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.20．已知圓，圓.(1)求圓與圓的公共弦長(zhǎng)；(2)求過(guò)兩圓的交點(diǎn)且圓心在直線上的圓的方程.(1)(2)【分析】（1）將兩圓方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圓心到公共弦的距離，再利用弦心距，半徑和弦的關(guān)系可求得答案，（2）解法一：設(shè)過(guò)兩圓的交點(diǎn)的圓為，求出圓心坐標(biāo)代入中可求出，從而可求出圓的方程，解法二：將公共弦方程代入圓方程中求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，然后列方程組可求出，再求出圓的半徑，從而可求出圓的方程.【詳解】（1）將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程，即，化簡(jiǎn)得，所以圓的圓心到直線的距離為，則，解得，所以公共弦長(zhǎng)為.（2）解法一：設(shè)過(guò)兩圓的交點(diǎn)的圓為，則；由圓心在直線上，則，解得，所求圓的方程為，即.解法二：由（1）得，代入圓，化簡(jiǎn)可得，解得；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，則，解得；所以；所以過(guò)兩圓的交點(diǎn)且圓心在直線上的圓的方程為21．在中，，邊上的高所在的直線方程為，邊上中線所在的直線方程為.（1）求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求直線的方程.（1）（2）【分析】（1）由AC邊上的高BE所在的直線方程可得kAC．利用點(diǎn)斜式可得AC方程,與CM方程聯(lián)立解得C坐標(biāo)．（2）設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)，可得中點(diǎn)M坐標(biāo)代入CM方程，與BE方程聯(lián)立，可得點(diǎn)B坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式即可得出所求直線方程．【詳解】（1）邊上的高為，故的斜率為，所以的方程為，即，因?yàn)榈姆匠虨?/p>

解得所以.（2）設(shè)，為中點(diǎn)，則的坐標(biāo)為，解得，所以，又因?yàn)?，所以的方程為即的方程?本題考查兩條直線垂直的應(yīng)用、考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及直線方程的求法，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．22．已知直線方程為.(1)證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)M,并求出M的坐標(biāo)；(2)為何值時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，最大值為多少?(3)設(shè)P,Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)，若,求PQ中點(diǎn)R的軌跡方程.(1)；(2)，最大距離為；(3).【分析】（1）證明：利用直線是直線系求出直線恒過(guò)定點(diǎn)；（2）點(diǎn)T（3，4）到直線的距離最大，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，求出兩點(diǎn)間的距離就是最大值；（3）設(shè)，，則有，由結(jié)合勾股定理，化簡(jiǎn)可得到兩點(diǎn)之間的關(guān)系，將坐標(biāo)用表示，可得到的軌跡方程.【詳解】（1）證明：