學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精4．2.2對數(shù)運算法則考點學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)對數(shù)運算法則掌握對數(shù)運算性質(zhì)，理解其推導(dǎo)過程和成立條件數(shù)學(xué)運算換底公式掌握換底公式及其推論，能熟練運用對數(shù)的運算性質(zhì)進(jìn)行化簡求值數(shù)學(xué)運算問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P20－P23的內(nèi)容，思考以下問題:1．對數(shù)運算法則是什么?2．換底公式是如何表述的？1．對數(shù)運算法則loga(MN)＝logaM＋logaN，logaMα＝αlogaM,logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN．(其中，a〉0且a≠1，M>0，N>0，α∈R）2．換底公式logab＝eq\f（logcb,logca)．(其中a>0且a≠1，b>0，c〉0且c≠1）■名師點撥對數(shù)的這三條運算法則，都要注意只有當(dāng)式子中所有的對數(shù)都有意義時，等式才成立．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”）(1）積、商的對數(shù)可以化為對數(shù)的和、差．（)(2）logaxy＝logax·logay.（)（3)loga（－2)3＝3loga(－2）．（）答案：(1)√(2)×（3)×計算log916·log881的值為()A．18B.eq\f（1，18)C。eq\f（8,3）D。eq\f(3,8）解析：選C。原式＝log3224·log2334＝eq\f(4,2)log32·eq\f（4,3)log23＝eq\f（8，3）。若lg5＝a，lg7＝b，用a,b表示log75等于()A．a(chǎn)＋bB．a(chǎn)－bC.eq\f(b,a）D。eq\f（a,b）解析:選D。log75＝eq\f（lg5，lg7）＝eq\f(a，b)。lg20＋lg50的值為________．解析：lg20＋lg50＝lg1000＝3.答案：3具體數(shù)的化簡求值計算：(1）log345－log35；(2）log2（23×45)；（3）eq\f（lg\r（27）＋lg8－lg\r(1000),lg1。2);(4）log29·log38.【解】（1）log345－log35＝log3eq\f(45,5)＝log39＝log332＝2log33＝2.(2)log2(23×45）＝log2（23×210)＝log2（213）＝13log22＝13.(3）原式＝eq\f（lg（\r（27）×8)－lg10\s\up6（\f(3,2）），lg\f（12，10））＝eq\f（lg（3\s\up6（\f（3,2))×23÷10\s\up6（\f（3,2）)），lg\f(12，10）)＝eq\f（lg\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3×4，10）））\s\up6(\f（3,2）)，lg\f(12，10）)＝eq\f(\f（3,2)lg\f（12，10）,lg\f（12,10)）＝eq\f（3,2)。（4)log29·log38＝log2（32）·log3（23）＝2log23·3log32＝6·log23·eq\f(1,log23）＝6.eq\a\vs4\al()具體數(shù)的化簡求值主要遵循兩個原則：（1)把數(shù)字化為質(zhì)因數(shù)的冪、積、商的形式．（2）不同底化為同底．計算:(1)2log63＋log64;(2)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(lg25－lg\f（1，4）)）÷100－eq\s\up6（\f（1，2））；（3）log43·log98;（4）log2.56.25＋lneq\r（e)－0。064eq\s\up6（\f（1，3）).解：（1）原式＝log632＋log64＝log6(32×4)＝log6(62）＝2log66＝2.(2)原式＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（lg\f(25,\f（1，4））)）÷102×(－eq\s\up6(\f(1，2))）＝lg102÷10－1＝2×10＝20.(3)原式＝eq\f（lg3,lg4）·eq\f(lg8,lg9)＝eq\f（lg3，2lg2）·eq\f(3lg2，2lg3）＝eq\f(3,4）.(4）原式＝log2。5(2。5)2＋eq\f(1，2）－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(64，1000）））eq\s\up6（\f（1，3）)＝2＋eq\f(1,2）－eq\f（4,10）＝eq\f（21,10).代數(shù)式的化簡命題角度一:代數(shù)式恒等變換化簡logaeq\f（x2\r（y)，\r(3，z）)?！窘狻恳驗閑q\f（x2\r（y），\r（3,z）)〉0且x2〉0，eq\r(y)>0，所以y〉0,z>0。logaeq\f(x2\r(y)，\r(3,z）)＝loga（x2eq\r(y))－logaeq\r(3,z）＝logax2＋logaeq\r(y）－logaeq\r（3，z)＝2loga｜x｜＋eq\f（1，2)logay－eq\f(1，3）logaz.eq\a\vs4\al（)使用公式要注意成立條件，如lgx2不一定等于2lgx，反例：log10（－10)2＝2log10(－10）是不成立的．要特別注意loga（MN）≠logaM·logaN，loga（M±N)≠logaM±logaN。已知y>0，化簡logaeq\f（\r(x），yz)。解：因為eq\f(\r（x)，yz)>0,y〉0，所以x>0，z>0。所以logaeq\f(\r（x),yz)＝logaeq\r（x)－loga（yz）＝eq\f（1,2)logax－logay－logaz.命題角度二：用代數(shù)式表示對數(shù)已知log189＝a，18b＝5，求log3645.【解】法一：因為log189＝a,18b＝5，所以log185＝b,所以log3645＝eq\f（log1845,log1836)＝eq\f（log18（9×5）,log18(18×2)）＝eq\f(log189＋log185，1＋log182)＝eq\f(a＋b,1＋log18\f（18,9)）＝eq\f（a＋b，2－a）.法二：因為log189＝a，18b＝5,所以log185＝b，所以log3645＝eq\f（log1845，log1836)＝eq\f(log18(9×5），log18（18×2）)＝eq\f（log189＋log185，2log1818－log189）＝eq\f(a＋b,2－a).法三：因為log189＝a,18b＝5,所以lg9＝alg18，lg5＝blg18,所以log3645＝eq\f（lg45，lg36)＝eq\f（lg（9×5），lg\f(182,9)）＝eq\f(lg9＋lg5,2lg18－lg9)＝eq\f(alg18＋blg18，2lg18－alg18)＝eq\f(a＋b,2－a）.eq\a\vs4\al(）用代數(shù)式表示對數(shù)問題的本質(zhì)是把目標(biāo)分解為基本“粒子"，然后用指定字母換元．已知log23＝a，log37＝b，用a,b表示log4256。解:因為log23＝a，則eq\f（1，a）＝log32，又因為log37＝b，所以log4256＝eq\f(log356,log342）＝eq\f(log37＋3log32，log37＋log32＋1）＝eq\f(ab＋3，ab＋a＋1）.1．log5eq\f（1,3）＋log53等于（)A．0 B．1C．－1 D．log5eq\f（10,3）答案:A2．(2019·廣西南京市期中)在對數(shù)式b＝loga－2（5－a）中，實數(shù)a的取值范圍是(）A．{a|a>5或a〈2}B．{a|2〈a〈5｝C．｛a|2〈a<3或3〈a<5}D．{a｜3<a〈4｝解析:選C.由題意得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（a－2〉0,，a－2≠1，，5－a〉0，））解得2<a<3或3〈a<5.3．log29×log34等于（）A.eq\f（1,4)B。eq\f(1,2)C．2D．4答案：D4．log3eq\r（27)＋lg25＋lg4＋7log72＋(－9.8）0＝________．解析：原式＝eq\f（1,2)log333＋lg(25×4)＋2＋1＝eq\f(3,2)＋2＋3＝eq\f(13，2）.答案：eq\f(13，2）［A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．計算：eq\f（log29,log23）＝(）A.eq\f（1,2) B．2C。eq\f（3,2) D.eq\f(9,2）解析：選B。原式＝eq\f(log29,log23）＝eq\f(log232,log23)＝2.2．計算：2log510＋log50。25＝(）A．0 B．1C．2 D．4解析：選C.原式＝log5102＋log50.25＝log5（102×0。25)＝log525＝2.3．若a＞0，且a≠1，則下列說法正確的是（）A．若M＝N,則logaM＝logaNB．若logaM＝logaN，則M＝NC．若logaM2＝logaN2，則M＝ND．若M＝N，則logaM2＝logaN2解析：選B.在A中,當(dāng)M＝N≤0時，logaM與logaN均無意義,因此logaM＝logaN不成立,故A錯誤；在B中，當(dāng)logaM＝logaN時，必有M＞0，N＞0，且M＝N,因此M＝N成立,故B正確;在C中，當(dāng)logaM2＝logaN2時，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即｜M｜＝｜N｜，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2時，也有l(wèi)ogaM2＝logaN2，但M≠N，故C錯誤；在D中，若M＝N＝0，則logaM2與logaN2均無意義，因此logaM2＝logaN2不成立，故D錯誤．4．設(shè)a＝log32,則log38－2log36用a表示的形式是()A．a(chǎn)－2 B．3a－（1＋a)2C．5a－2 D．－a2＋3a－1解析:選A.因為a＝log32，所以log38－2log36＝3log32－2(log32＋1）＝3a－2(a＋1）＝a－2。5．計算log225·log32eq\r(2)·log59的結(jié)果為（)A．3 B．4C．5 D．6解析：選D.原式＝eq\f（lg25,lg2）·eq\f(lg2\r(2)，lg3)·eq\f（lg9,lg5)＝eq\f(2lg5，lg2）·eq\f(\f(3，2)lg2，lg3）·eq\f（2lg3，lg5)＝6。6．已知a2＝eq\f(16,81)（a＞0)，則logeq\s\do9（\f（2，3))a＝________．解析：由a2＝eq\f（16,81）(a＞0)得a＝eq\f（4,9)，所以logeq\s\do9(\f(2，3)）eq\f(4,9）＝logeq\s\do9(\f（2,3))eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(2，3）))eq\s\up12(2)＝2.答案:27．lgeq\r(5）＋lgeq\r（20）的值是________．解析：lgeq\r（5)＋lgeq\r（20）＝lgeq\r（100）＝lg10＝1。答案：18．若logab·log3a＝4，則b的值為________．解析：logab·log3a＝eq\f（lgb,lga)·eq\f(lga,lg3)＝eq\f（lgb,lg3)＝4,所以lgb＝4lg3＝lg34，所以b＝34＝81.答案：819．用lgx，lgy,lgz表示下列各式：(1)lg(xyz）；(2)lgeq\f（xy2，z）;(3）lgeq\f(xy3，\r（z））；（4）lgeq\f(\r（x），y2z）。解:(1）lg(xyz)＝lgx＋lgy＋lgz。（2)lgeq\f(xy2，z)＝lg(xy2）－lgz＝lgx＋2lgy－lgz。（3)lgeq\f（xy3,\r（z)）＝lg（xy3)－lgeq\r（z）＝lgx＋3lgy－eq\f（1，2）lgz。（4)lgeq\f（\r（x)，y2z）＝lgeq\r（x）－lg（y2z)＝eq\f(1,2)lgx－2lgy－lgz。10．求下列各式的值：（1)2log525＋3log264；（2）lg（eq\r(3＋\r(5)）＋eq\r（3－\r(5)）)；(3)（lg5)2＋2lg2－(lg2)2.解：(1)因為2log525＝2log552＝4log55＝4，3log264＝3log226＝18log22＝18,所以2log525＋3log264＝4＋18＝22。（2)原式＝eq\f（1,2)lg（eq\r(3＋\r（5）)＋eq\r(3－\r(5)））2＝eq\f（1,2）lg（3＋eq\r(5)＋3－eq\r(5)＋2eq\r(9－5））＝eq\f（1，2)lg10＝eq\f(1，2).（3)(lg5）2＋2lg2－(lg2）2＝（lg5）2－（lg2)2＋2lg2＝（lg5＋lg2）（lg5－lg2）＋2lg2＝lg10（lg5－lg2)＋2lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1。[B能力提升］11．若log5eq\f（1，3）·log36·log6x＝2，則x等于（）A．9 B.eq\f（1，9)C．25 D.eq\f（1，25）解析:選D.由換底公式,得eq\f（－lg3,lg5）·eq\f（lg6,lg3）·eq\f（lgx，lg6）＝2，lgx＝－2lg5,x＝5－2＝eq\f（1,25）。12．若ab＞0，給出下列四個等式：①lg(ab)＝lga＋lgb；②lgeq\f(a,b）＝lga－lgb；③eq\f(1，2）lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（a,b）））eq\s\up12(2）＝lgeq\f(a，b)；④lg（ab）＝eq\f(1,logab10)。其中一定成立的等式的序號是（）A．①②③④ B．①②C．③④ D．③解析：選D。因為ab＞0，所以a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，所以①②中的等式不一定成立；因為ab＞0，所以eq\f（a,b）＞0，eq\f(1，2）lgeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（a，b）)）eq\s\up12(2)＝eq\f（1，2）×2lgeq\f(a,b)＝lgeq\f（a,b)，所以③中等式成立；當(dāng)ab＝1時，lg（ab）＝0，但logab10無意義，所以④中等式不成立．故選D.13。eq\f(lg3＋2lg2－1，lg1。2）＝________．解析：eq\f（lg3＋2lg2－1,lg1.2)＝eq\f(lg3＋lg22－1，lg1。2)＝eq\f(lg12－1，lg1。2）＝eq\f（lg\f(12，10），lg1.2）＝eq\f（lg1.2，lg1。2)＝1。答案：114．計算下列各式的值:(1）log535＋2logeq\s\do9(\f（1,2))eq\r(2）－log5eq\f（1，50)－log514；（2）［（1－log63)2＋log62·log618］÷log64.解：(1）原式＝log535＋log550－log514＋2logeq\s\do9(\f（1,2))2eq\s\up6（\f(1,2))＝log5eq\f(35×50,14