二次根式的知識點(diǎn)匯總二次根式的知識點(diǎn)匯總知識點(diǎn)一：二次根式的概念形如石^罰）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以心0是亦為二次根式的前提條件，如柄，履3,『3乏1）等是二次根式，而隊(duì)，序；等都不是二次根式。知識點(diǎn)二：取值范圍二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)aM0時(shí)，石有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a<0時(shí)，扃沒有意義。知識點(diǎn)京H算術(shù)":就是說，"”>?，即石蘭0（論0）。注：因?yàn)槎胃接桑ǘ热眨┍硎綼的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，。的算術(shù)平方根是0,所以非負(fù)數(shù)怎日）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即石芭0^0），這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)應(yīng)用較多，如若后也=0,則a=0,b=0；若占+燦=。，則a=0,b=0；若石十朋二Q，則a=0,b=0。知識點(diǎn)四：二次根式（^）的性質(zhì)

SO)SO)文字語言敘述為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。知識點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì)知識點(diǎn)六：（向"與履的異同點(diǎn)成皿》0）0）1、不同點(diǎn)：（$）'與履表示的意義是不同的，（好表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而履表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在（方尸中心0，而由中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)。但與履都是非負(fù)數(shù)，即（ET成皿》0）0）r2=kl=V因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，姬，而附〕2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即公。時(shí)，（E?=*^；時(shí)，W）"無意義，而拼二F.知識點(diǎn)七：二次根式的運(yùn)算（1）因式的外移和內(nèi)移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先分解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面.（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式.（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數(shù)相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被開方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡二次根式.如荔二新?、吊（aN0，bN0）；欄立（bN0，a>0）.a加有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對加法的分配律以及多項(xiàng)式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算.【例題精選】二次根式有意義的條件：例1：求下列各式有意義的所有x的取值范圍。(1)J3FX；(2)樞TT；(3)史H；Yyx一2解：(1)要使\3-2x有意義，必須3-2x>0,由3-2x>0得x<3,2當(dāng)x<-時(shí)，式子,3-2x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。2要使3E有意義，x+1為任意實(shí)數(shù)均可，.??當(dāng)X取任意實(shí)數(shù)時(shí)3客1均有意義。要使戶二有意義，必須|x+\>°八x-2[|x|-2豐0?x>-1且x^±2,但x=-2不在尤>-1的范圍內(nèi)。.?.當(dāng)x>-1<x^2時(shí)，式子*+：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。

|x|-2小練習(xí):(1)當(dāng)x是多少時(shí)，百UT在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？當(dāng)x是多少時(shí)，寫云+3+上在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？②x+1當(dāng)x是多少時(shí)，、'2x+3+成在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？x當(dāng)時(shí)，k'E+\1一云有意義。使式子0(x-5)2有意義的未知數(shù)x有()個(gè)?A.0B.1C.2D.無數(shù)已知y=、M+忐二2+5,求x的值.y若J3一x+J!一3有意義，則后=.若、項(xiàng)+二有意義，則m的取值范圍是。m+1最簡二次根式例2：把下列各根式化為最簡二次根式：

(1)t96a3b(a>0,b>0)T250>0,b>0)121c4/c、>0,b>0)121c4被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；>0,b>0,b>0)解：(1)\96a3b=\：16a2?6ab=4a、.6ab_；49x3__；49x3_7：3_7.-3x2.1471商=\：25X2=5\'2=5"弟=X6⑶』'H=,\121c4\121c411c2同類根式：例3：判斷下列各組根式是否是同類根式：(2))‘2%2b?=濁而(a>0,b>0)分析：幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式，所以判斷幾個(gè)二次根式是否為同類二次根式，首先要將其化為最簡二次根式。:聲;63^X.AI、211623?.?—、；H5,—(3$,解：(1)f175=—谷25x7=—5萬；.—V16t162：3432：49x7=,=—■3、4:聲;63^X.AI、211623?.?—、；H5,—(3$,例4：把下列各式的分母有理化：(1)1：匹；⑵：5一；2\22寸3f2x；2與<2,分析：把分母中的根號化去，叫做分母有理化，兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們說，這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因子，如x；2與<2,解:13=1圭=1而J：疽）、2①+品克）.3+巨）——=2\，22\2x24,偵5J_2再f210求值：例5：計(jì)算:W—.T⑴卜18-*+?3^廠還一隹+L]

"J2<3)(2)15+分析：迅速、準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式的加減乘除運(yùn)算是本章的重點(diǎn)內(nèi)容，必須掌握,別注意運(yùn)算順序和有意識的使用運(yùn)算律，尋求合理的運(yùn)算步驟，得到正確的運(yùn)算結(jié)果。3解：（1）原式=（3*2-口+、3-*2）x—2要特^!^6'污x*=*e=3頂-6寸5七&+很v6化簡：例6：化簡:（1）a-4b_\a—2\：b+4(ab+4b)分析：應(yīng)注意（1）式a>0,b>0,（2）a>0，所以a=（a）,b=（b）,a作（a）-4（.b）可利用乘法公式來進(jìn)行化簡，使運(yùn)算變得簡單。解⑴原式（^+2偷G-2卬）（廠可看例7：化簡練習(xí)：-St3(s>0))6—2〔—ft解：(1),/—st3>0:.st3<0，而s>013<0，即t<0I原^式=":-st?t2=|tlv：-st=—t\j—st(,.,t<0)(2)2<而<3原式=—3)].?撬—2>0,而邙—3<0v6—=?、6—2+屆—3=2<6原式=—3)]例8例8已知：a*，b七求:ab3+a3b的值。分析：如果把a(bǔ),b的值直接代入計(jì)算分析：如果把a(bǔ),b的值直接代入計(jì)算a3,b3的計(jì)算都較為繁瑣，應(yīng)另辟蹊徑，考慮到拓+、2與3-豆互為有理化因子可計(jì)算a+b,a?b，然后將求值式子化為a+b與a?b的v'3—v'3—巨—1解：a+b="+',2+異—',2=3a?b二重^2=abKa+b)2—二ab3+a3b=ab(b2+a2)將a+b與a?=abKa+b)2—小結(jié)：顯然上面的解法非常簡捷，在運(yùn)算過程中我們必須注意尋求合理的運(yùn)算途徑，提高運(yùn)算能力。類似的解法在許多問題中有廣泛的應(yīng)用，大家應(yīng)有意識的總結(jié)和積累。例9：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解2x2—4；【提示】先提取2,再用平方差公式.【答案】2(x+T2)(x一很)..X4—2x2—3.【提示】先將X2看成整體，利用x2+px+q=(x+a)(x+b)其中a+b=p,ab=q分解.再用平方差公式分解x2—3.［答案】(x2+1)(x+*)(x—3).例10、綜合應(yīng)用：如圖所示的RtAABC中，ZB=90。，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BA邊以1厘米渺的速度向點(diǎn)A移動；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動.問：幾秒后△PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？(結(jié)果用最簡二次根式表示)C【專項(xiàng)訓(xùn)練】：一、選擇題：在以下所給出的四個(gè)選擇中，只有一個(gè)是正確的。/Iq1、(，L-l)=a-1成立的條件是：f一/1ApBA.a。1B.a>1C.a<1D.a<12、把化成最簡二次根式，結(jié)果為：73、下列根式中,B3最簡二次根式為:C.3、下列根式中,B3最簡二次根式為:C.<6~9~D.<3A,\4xD?Jx+4)24、已知t<1，化簡1-1-22-2A,\4x5、A.2-2tB.21下列各式中，正確的是:A.)=-7C.J)=72C.B.D.0.((-0.7)=0.7)=0.7D.6、下列命題中假命題是:A?設(shè)x<0，^h；(-x)2=-xB.設(shè)x<0，則=-1v'x2C.設(shè)X<0,則X2=x7、與2?容是同類根式的是：A?*50B.3巨8、下列各式中正確的是：A,頊2+*3=舌C.3aqx-4、x=3a-Axx二..>1、化簡-a3Aa2—4a+42、巳知：x=——,y=2+右拓展訓(xùn)練一、分式，平方根，絕對值；%a2=("a)2成立的條件是當(dāng)a時(shí)，十=1；當(dāng)a時(shí)，乎=-1。若Ja2=a，貝。a;若［。2=-a，則a把(x-1)"-二根號外的因式移入根號內(nèi)，結(jié)果為。x-1把-3(a根號外的因式移到根號內(nèi)，結(jié)果為。\3xVy，那么化簡y—x-\.：(x—y)2為C.B.D.D.設(shè)x<0,則\x2戶=x2<182+云=2*3求：x2一5xy+y210.若a*月4b與\;3a+b是同類二次根式，則a=，b=11.求使履偵+1)2為實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)a的值為,二、根式，絕對值的和為0;1.若'強(qiáng)-5)2+、l(2b+3)2=0，則j液=2.如果山2+2ab+b2+|a+3|=0求/?-2a的算術(shù)平方根。6.在AABC中，a,b,c為三角形的三邊，則而一b+c)2-2|c—a-b\=7.已知y=%1-8尤+-^8x-1+-,求代數(shù)式+-+2-■-+-一27.已知2yx弋yx8.如果"很廠3+J3-2++2,則女+y=,措'y=#'求x2-y2的值。三、分式的有理化1、已知x=5.已知x=,y=^W，求下列各式的值;<3+*2v3-、2措'y=#'求x2-y2的值。x2一3xy+2y2x-2y'x3+y3；四、整數(shù)部分與小數(shù)部分而的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是已知x=土，x的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求斧的值。五、根式，分式的倒數(shù)；―1卜11.已知x+x=4'求x—x的值。若十|’「w"..的值；六、轉(zhuǎn)換完全平方公式；1.已知a2+b2-4a-2b+5=0，求命七的值弋3b+2(a3?已知x，y是實(shí)數(shù)，..、》?1v：i.v■!：，.|，若axy-3x=y，求a的值;1_■'~~1_5、已知0VxV1，化簡：1'(x—)2+4—'(x+)2—4x\x6、化簡:1、K+25克+2；2、\：7+4打；七、技巧性運(yùn)算1—+-^+-^+…+-^1+、2、:2+疽3+拓切+的2、計(jì)算1+T3+土5+土7+……+、"1：、'2n+1的結(jié)果是4、已知a-b=2+貶,b-c=2-捐，那么a2+b2+c2-ab一bc-ac的值是5、已知x+j鄧焰-捉,x-y=4^2—45那么xy的值是16、已知x-y=、◎，xy=，求x2-xy+y2的值附：中考類型TOC\o"1-5"\h\z1、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，.二有意義，則X的取值范圍是（）；A.x20B.xW0C.x>0D.xV02、使二次根式一2有意義的x的取值范圍是（）；A.x。2B.x>2C.xW2D.xN2；3一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根為a，則和這個(gè)自然數(shù)相鄰的下一個(gè)自然數(shù)是（）；A.a+1B.a2+1C.扣'a2+1D.^a+14、在電路中，已知一個(gè)電阻的阻值R和它消耗的電功率R由電功率計(jì)算公式P=%可得它兩端的電壓U為（）；A.U=,'-B.U='PC.U=^PRD?U=±^PR\PR5、使代數(shù)式三有意義的x的取值范圍是（）x-4A、x>3；B、xN3；C、x>4；D、xN3且x。4；6函數(shù)y=「L的自變量x的取值范圍是（）x+2A.x>0B.xN-2C.x>-2D.x。一2函數(shù)y=巨二+上中自變量x的取值范圍是（）x-3A.xW2；B.x=3；C.x<2且x。3；D.xW2且x。3；二、二次根式的運(yùn)算問題

TOC\o"1-5"\h\z7、（09武漢市）二次根式氣，頑的值是（）；A.-3B.3或-3C.9D.38、（衡陽市2009年）下面計(jì)算正確的是（）；D.=±2A.3+郵3=3\,2B.<27f=3C.?巨.君=<59、（09年安順市）下列計(jì)算正確的是（D.=±2A.寸'8—、/2=J2B.<3-寸2=1C.<3+?還=v5D.2、5=偵'610、（09太原市）計(jì)算（2*的結(jié)果等于11、（黔東南州2009年）%，/=；12、（09山西?。┯?jì)算：痍If'3=13、（09年襄樊市）13、（09年襄樊市）計(jì)算:備用題、（09綏化市）計(jì)算：、1-、國=.三、二次根式與絕對值、0指數(shù)幕等的混合運(yùn)算14、（09黔東南州）方程14x—81+%：x—y—m=0,當(dāng)y>0時(shí)，m的取值范圍是（）；A、0<m<1；B、mN2；C、m<2；D、mW2；15、（09嘉興市）當(dāng)x=—2時(shí)，代數(shù)式*5x2—3x-1的值是.16、（09嘉興市）計(jì)算：扼+（—1）2009-1^/21.17、（09臺州市）計(jì)算：I—3|+35—1）0—66）2.四、二次根式與整式的化簡求值問題：18、（09廣州市）先化簡，再求值：（a-、3（a+3）—a（a—6），其中a=圮5+-219、（09孝感市）已知：x=q+1,y=q-1,求下列各式的值.(1)x2+2xy+y2；(2)x2—y2.20、(09威海市)先化簡，再求值：(a+b)2+(a—b)(2a+b)—3a2，其中a=—2—\.3,b=、百—2.1、已知1、已知x=工,2+占x2—3xy+y2的值;2、已知：x=L-笠■,y=L+艾■，計(jì)算：(1)—3x2+12xy—3y2；(2)—7x2—32xy—7y22222五、二次根式與分式的化簡求值問題：21、（09黔東南州）先化簡，再求值：，-x2+2x+1:—，其中x=君-2；x+2x+2x一122、（09恩施）求代數(shù)式的值：三二癸Jx-2-殳一41，其中x=2+42?x2一4vx+2）23、（09泰安市）先化簡、再求值：-5二3+（上-a-2），其中a=、3-3。2a-4a-224、（09黔東南州）先化簡，再求值：，-x2+2x+1:Ml，其中x=.*-2；x+2x+2x-1六、二次根式的探究規(guī)律問題：25、我們看幾個(gè)等式：Ex2x3x4+1=1X4+1=5；萼2x3x4x5+1=2X5+1=11；U3x4x5x6+1=3X6+1=19；仔細(xì)觀察上面幾道題及其結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？能解釋這一規(guī)律嗎？并用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律猜想下面的結(jié)果：①J4x5x6x7+1=.氣.'2006x2007x2008x2009+1=（）X（）+（）；TOC\o"1-5"\h\zJnx（n+1）x（n+2）x（n+3）+1=.2011安徽，4,4分）設(shè)a-'19-1,a在兩個(gè)相鄰整數(shù)之間，則這兩個(gè)整數(shù)是（）A.1和2B?2和3C.3和4D.4和5（2011山東煙臺，5,4分）如果元;孑=1-2a，則（）A.aV1B.aW1C.a>1。D.aN122222011安徽蕪湖，14,5分）已知a、b為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，且a<28<b,則a+b=.2011四川內(nèi)江，加試1,6分）若m=—，則m5-2m4-2011m3的值是.2012-1（2011山東德州12,4分）當(dāng)x=扼時(shí)，旦1-1=x2-x2011四川內(nèi)江，加試3，6分）已知|6-3m|+（n-5）2=3m-6-*（m-3）n2，則m-n=.2011四川涼山州，25,5分）已知a、b為有理數(shù)，m、n分別表示5-克的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且amn+bn2=1，貝U2a+b=

2011湖北