8.6立體幾何中的向量方法8.6立體幾何中的向量方法-2--2--3-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)1.直線的方向向量與平面的法向量(1)直線l上的向量e以及與e共線

的向量叫做直線l的方向向量.

(2)如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于

平面α,那么稱向量n垂直于平面α,記作n⊥α

.此時(shí)把向量n

叫做平面α的法向量.

-3-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)1.直線的方向向量與平面的法向量-4-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)2.線面關(guān)系的判定設(shè)直線l1的方向向量為e1=(a1,b1,c1),直線l2的方向向量為e2=(a2,b2,c2),平面α的法向量為n1=(x1,y1,z1),平面β的法向量為n2=(x2,y2,z2).(1)如果l1∥l2,那么e1∥e2?e2=λe1

?a2=λa1,b2=λb1,c2=λc1

.

(2)如果l1⊥l2,那么e1⊥e2?e1·e2=0

?a1a2+b1b2+c1c2=0

.

(3)若l1∥α,則e1⊥n1?e1·n1=0?a1x1+b1y1+c1z1=0

.

(4)若l1⊥α,則e1∥n1?e1=kn1?a1=kx1,b1=ky1,c1=kz1

.

(5)若α∥β,則n1∥n2?n1=kn2?x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2

.

(6)若α⊥β,則n1⊥n2?n1·n2=0?x1x2+y1y2+z1z2=0

.

-4-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)2.線面關(guān)系的判定-5-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)3.利用空間向量求空間角(1)兩條異面直線所成的角①范圍:兩條異面直線所成的角θ的取值范圍是

.②向量求法:設(shè)直線a,b的方向向量為a,b,其夾角為φ,則有cosθ=|cos

φ|

.

(2)直線與平面所成的角①范圍:直線和平面所成的角θ的取值范圍是

.

②向量求法:設(shè)直線l的方向向量為a,平面的法向量為u,直線與平面所成的角為θ,a與u的夾角為φ,則有sinθ=|cos

φ|

或cosθ=sinφ.

-5-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)3.利用空間向量求空間角-6-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)(3)二面角①二面角的取值范圍是[0,π]

.

②二面角的向量求法:若AB,CD分別是二面角α-l-β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線,則二面角的大小就是向量AB與CD的夾角(如圖①).設(shè)n1,n2分別是二面角α-l-β的兩個(gè)面α,β的法向量,則圖②中向量n1與n2的夾角的補(bǔ)角的大小就是二面角的平面角的大小;而圖③中向量n1與n2的夾角的大小就是二面角的平面角的大小.-6-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)(3)二面角設(shè)n1,n2分別是二面角α-7-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-7-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-8-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,點(diǎn)M,N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),BC=CA=CC1,則BM與AN所成的角的余弦值為(

)答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-8-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,-9-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)3.設(shè)直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n=(2,2,4),若a=(1,1,2),則直線l與平面α的位置關(guān)系為

;若a=(-1,-1,1),則直線l與平面α的位置關(guān)系為

.

答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-9-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)3.設(shè)直線l的方向向量為a,平面α的法-10-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)4.正三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直,則它的側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為

.

答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-10-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)4.正三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直,則它-11-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)5.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為CC1的中點(diǎn),則直線DE與平面A1BC1的夾角的正弦值為

.

答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-11-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)5.如圖,在正方體ABCD-A1B1-12-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)1.切莫混淆向量平行與向量垂直的坐標(biāo)表示,理解直線平行與直線方向向量平行的差異,否則易造成解題不嚴(yán)謹(jǐn).2.利用空間向量求空間角,避免了尋找平面角和垂線段等諸多麻煩,使空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定和計(jì)算程序化、簡單化.主要是建系、設(shè)點(diǎn)、計(jì)算向量的坐標(biāo)、利用數(shù)量積的夾角公式計(jì)算.-12-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)-13-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三利用空間向量證明平行、垂直(考點(diǎn)難度★)【例1】

如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分別是線段PA,PD,AB的中點(diǎn).求證:(1)PB∥平面EFH;(2)PD⊥平面AHF.-13-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三利用空間向量證明平行、垂直(考點(diǎn)難-14-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),H(1,0,0).-14-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系-15-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三方法總結(jié)1.恰當(dāng)建立坐標(biāo)系,準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo),是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵.2.證明直線與平面平行,只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零,或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面,然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.3.證明直線與直線垂直,只需要證明兩條直線的方向向量垂直,而直線與平面垂直、平面與平面垂直可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直證明.-15-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三方法總結(jié)1.恰當(dāng)建立坐標(biāo)系,準(zhǔn)確表-16-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖,在棱長為1的正方體AC1中,點(diǎn)E,F分別為A1D1和A1B1的中點(diǎn).若點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)部或其邊界上,且EP∥平面BFC1,求EP的最大值、最小值.-16-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練-17-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三解:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)平面BFC1的法向量為n=(x,y,z),取z=1得平面BFC1的一個(gè)法向量n=(1,2,1).-17-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三解:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,D-18-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三-18-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三-19-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三利用空間向量求空間角(考點(diǎn)難度★★★)考情分析從近幾年高考來看,利用空間向量求空間角是每年必考內(nèi)容,重點(diǎn)考查向量方法的應(yīng)用,題目有一定難度.題目的常見類型有:(1)利用空間向量求異面直線所成的角;(2)利用空間向量求直線與平面所成的角;(3)利用空間向量求二面角.-19-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三利用空間向量求空間角(考點(diǎn)難度★★-20-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三類型一

利用空間向量求異面直線所成的角【例2】

將邊長為1的正方形AA1O1O(及其內(nèi)部)繞OO1旋轉(zhuǎn)一周的同側(cè).(1)求三棱錐C-O1A1B1的體積;(2)求異面直線B1C與AA1所成的角的大小.-20-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三類型一利用空間向量求異面直線所成-21-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三解:(1)由題意可知,圓柱的高h(yuǎn)=1,底面半徑r=1.-21-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三解:(1)由題意可知,圓柱的高h(yuǎn)=-22-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(2)方法一:設(shè)過點(diǎn)B1的母線與下底面交于點(diǎn)B,則BB1∥AA1,所以∠CB1B為直線B1C與AA1所成的角.方法二:(坐標(biāo)系法)以O(shè)O1所在直線為z軸,以O(shè)A所在直線為y軸,取BC中點(diǎn)D,以O(shè)D所在直線為x軸建空間坐標(biāo)系也可得所成角為45°.-22-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(2)方法一:設(shè)過點(diǎn)B1的母線與下-23-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為直角梯形,BC∥AD,∠ADC=90°,BC=CD=AD=1,PA=PD,E,F分別為線段AD,PC的中點(diǎn).(1)求證:PA∥平面BEF;(2)若直線PC與AB所成的角為45°,求線段PE的長.-23-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練在四棱錐P-ABCD中,平-24-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(1)證明:∵在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為直角梯形,BC∥AD,∠ADC=90°,BC=CD=

AD=1,PA=PD,E,F分別為線段AD,PC的中點(diǎn),∴PE⊥平面ABCD,BE⊥AE.以E為原點(diǎn),EA所在直線為x軸,EB所在直線為y軸,EP所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),E(0,0,0),B(0,1,0),C(-1,1,0).-24-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(1)證明:∵在四棱錐P-ABCD-25-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三-25-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三-26-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三類型二

利用空間向量求直線與平面所成的角【例3】

已知四邊形ABCD為直角梯形,∠BCD=90°,AD∥CB,且AD=3,BC=2CD=4,點(diǎn)E,F分別在線段AD和BC上,使FEDC為正方形,將四邊形ABFE沿EF翻折至使二面角B'-EF-C的所成角為60°.(1)求證:CE∥平面A'DB';(2)求直線A'B'與平面FECD所成角的正弦值.-26-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三類型二利用空間向量求直線與平面所-27-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(1)證明:如圖所示,取FB'的中點(diǎn)M,連接CM,A'M.∵A'EB'M,∴四邊形A'EMB'是平行四邊形.∴A'B'∥EM.∵A'MCD,∴四邊形A'MCD是平行四邊形,∴A'D∥CM.又∵CM∩EM=M,A'B'∩A'D=A',∴平面EMC∥平面A'DB'.又CE?平面CME,∴CE∥平面A'DB'.-27-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(1)證明:如圖所示,取FB'的中-28-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(2)解:取DE的中點(diǎn)O,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.∠A'ED=∠B'FC=60°.-28-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(2)解:取DE的中點(diǎn)O,建立如圖-29-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB⊥PA,AB∥CD,且PB=BC=BD=,CD=2AB=2,∠PAD=120°.(1)求證:平面PAD⊥平面PCD;(2)求直線PD與平面PBC所成的角的正弦值.-29-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖,在四棱錐P-ABCD-30-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(1)證明:過點(diǎn)B作BE∥AD交CD于點(diǎn)E.∵AB∥CD,BE∥AD,∴四邊形ABED為平行四邊形.∴AB=DE.又CD=2AB,∴E為CD中點(diǎn).∴BE⊥CD.∴四邊形ABED為矩形.∴AB⊥AD.又AB⊥PA,PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD.又∵AB∥CD,CD?平面PCD,∴平面PAD⊥平面PCD.-30-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(1)證明:過點(diǎn)B作BE∥AD交C-31-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(2)解:以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,-31-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(2)解:以A為原點(diǎn),AB所在直線-32-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三-32-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三-33-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三類型三

利用空間向量求二面角的大小【例4】

(2018浙江高三模擬)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=BC1=2,∠AA1C1=60°,平面ABC1⊥平面AA1C1C,AC1與A1C相交于點(diǎn)D.(1)求證:BD⊥A1C;(2)求二面角C1-AB-C的余弦值.-33-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三類型三利用空間向量求二面角的大小-34-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(1)證明:已知側(cè)面AA1C1C是菱形,D是AC1的中點(diǎn),∵BA=BC1,∴BD⊥AC1.∵平面ABC1⊥平面AA1C1C,且BD?平面ABC1,平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1,∴BD⊥平面AA1C1C,BD⊥A1C.(2)解:如圖,以D為原點(diǎn),以DA,DB,DC所在直線分別為x軸、z軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系,-34-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(1)證明:已知側(cè)面AA1C1C是-35-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三∵平面ABC1⊥平面AA1C1C,A1C⊥AC1,∴CD⊥平面ABC1.-35-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三∵平面ABC1⊥平面AA1C1C,-36-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點(diǎn),AA1=AC=CB=AB.(1)證明:BC1∥平面A1CD;(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.-36-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖,直三棱柱ABC-A1-37-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(1)證明:連接AC1交A1C于點(diǎn)F,則F為AC1的中點(diǎn).又D是AB的中點(diǎn),連接DF,則BC1∥DF.因?yàn)镈F?平面A1CD,BC1?平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.-37-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(1)證明:連接AC1交A1C于點(diǎn)-38-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三-38-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三-39-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三可取m=(2,1,-2).-39-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三可取m=(2,1,-2).-40-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三方法總結(jié)1.利用向量法求異面直線所成的角時(shí),是通過兩條直線的方向向量的夾角來求解,而兩異面直線所成角的范圍是θ∈

,兩向量的夾角α的范圍是[0,π],所以要注意二者的區(qū)別與聯(lián)系,應(yīng)有cos

θ=|cos

α|.2.利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角);(2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角,取其余角就是斜線和平面所成的角.-40-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三方法總結(jié)1.利用向量法求異面直線所-41-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三3.利用空間向量求二面角的方法:(1)分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到一個(gè)與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量,則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小;(2)通過平面的法向量來求:設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1和n2,則二面角的大小等于<n1,n2>(或π-<n1,n2>).應(yīng)注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角.-41-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三3.利用空間向量求二面角的方法:-42-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三利用空間向量解決探索性問題(考點(diǎn)難度★★)【例5】

(2018浙江諸暨高三模擬)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為菱形,∠ABC=60°,△PAD為正三角形,且平面PAD⊥平面ADCB,M為AD的中點(diǎn).(1)若N為PB的中點(diǎn),求證:MN∥平面PCD;(2)線段PB(含端點(diǎn))上是否存在點(diǎn)N,使得MN與平面PBC所成角為?-42-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三利用空間向量解決探索性問題(考點(diǎn)難-43-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三解:(1)取PC的中點(diǎn)Q,連接NQ,DQ,由中位線定理及菱形的性質(zhì)可得QN∥MD,QN=MD,∴四邊形QNMD為平行四邊形.∴MN∥DQ.∵M(jìn)N?平面PDC,DQ?平面PDC,∴MN∥平面PDC.(2)∵平面PAD⊥平面ADCB,平面PAD∩

平面ADCB=AD,PM⊥AD,∴PD⊥平面ADCB,易得CM⊥MD,以MD,MC,MP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)AB=2,-43-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三解:(1)取PC的中點(diǎn)Q,連接NQ-44-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三-44-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三-45-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三方法總結(jié)立體幾何開放性問題求解方法有以下兩種:(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想,找出點(diǎn)或線的位置,然后再加以證明,得出結(jié)論;(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或線存在,并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件,根據(jù)題目進(jìn)行求解,若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍,則存在這樣的點(diǎn)或線,否則不存在.-45-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三方法總結(jié)立體幾何開放性問題求解方法-46-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都等于2,∠ABC和∠A1AC均為60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求證:BD⊥AA1;(2)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出點(diǎn)P的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.-46-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖,四棱柱ABCD-A1-47-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(1)證明:設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O,則BD⊥AC,連接A1O.在△AA1O中,AA1=2,AO=1,∠A1AO=60°,由于平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,A1O?平面AA1C1C,∴A1O⊥平面ABCD,以O(shè)B,OC,OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,-47-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(1)證明:設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O,-48-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(2)解:假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P,使BP∥平面DA1C1,-48-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(2)解:假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)-49-答題規(guī)范——利用空間向量求角利用空間向量求角是高考的熱點(diǎn),前幾年理科每年必考,主要是突出向量的工具性作用.利用空間向量求空間角的關(guān)鍵是能夠根據(jù)空間幾何圖形特點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系,寫出空間點(diǎn)坐標(biāo).將向量的夾角轉(zhuǎn)化成空間角時(shí),要注意根據(jù)角的概念和圖形特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化,否則易錯(cuò).-49-答題規(guī)范——利用空間向量求角-50-【典例】

(2017浙江寧波聯(lián)考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,∠BAD=120°,AB=AD=2,△BCD是等邊三角形,E是BP中點(diǎn),AC與BD交于點(diǎn)O,且OP⊥平面ABCD.(1)求證:PD∥平面ACE;(2)當(dāng)OP=1時(shí),求直線PA與平面ACE所成角的正弦值.-50-【典例】(2017浙江寧波聯(lián)考)如圖,在四棱錐P--51-分析:(1)推導(dǎo)出△ABC≌△ACD,O是BD中點(diǎn),連接OE,則OE∥PD,由此能證明PD∥平面ACE.(2)由BD⊥AC,PO⊥平面ABCD,以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線PA與平面ACE所成角的正弦值.(1)證明:∵在四棱錐P-ABCD中,∠BAD=120°,AB=AD=2,△BCD是等邊三角形,∴△ABC≌△ACD.∵E是BP中點(diǎn),AC與BD交于點(diǎn)O,∴O是BD中點(diǎn).連接OE,則OE∥PD.(3分)∵PD?平面ACE,OE?平面ACE,∴PD∥平面ACE.(6分)-51-分析:(1)推導(dǎo)出△ABC≌△ACD,O是BD中點(diǎn),-52-(2)解:∵BD⊥AC,PO⊥平面ABCD,以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,(8分)-52-(2)解:∵BD⊥AC,PO⊥平面ABCD,以O(shè)為原-53-答題指導(dǎo)本題考查面面垂直的證明,考查二面角的余弦值的取值范圍的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.-53-答題指導(dǎo)本題考查面面垂直的證明,考查二面角的余弦值的-54-高分策略1.用向量知識(shí)證明立體幾何問題有兩種基本思路:一種是用向量表示幾何量,利用向量的運(yùn)算進(jìn)行判斷;另一種是用向量的坐標(biāo)表示幾何量,共分三步:(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系,用空間向量(或坐標(biāo))表示問題中所涉及的點(diǎn)、線、面,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)通過向量運(yùn)算,研究點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系;(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題.2.向量法通過空間坐標(biāo)系把空間圖形的性質(zhì)代數(shù)化,避免了尋找平面角和垂線段等諸多麻煩,使空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定和計(jì)算程序化、簡單化.主要是建系、設(shè)點(diǎn)、計(jì)算向量的坐標(biāo)、利用數(shù)量積的夾角公式計(jì)算.3.利用平面的法向量求二面角的大小時(shí),當(dāng)求出兩半平面α,β的法向量n1,n2時(shí),要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向,從而確定二面角與向量n1,n2的夾角是相等,還是互補(bǔ).-54-高分策略1.用向量知識(shí)證明立體幾何問題有兩種基本思路8.6立體幾何中的向量方法8.6立體幾何中的向量方法-56--2--57-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)1.直線的方向向量與平面的法向量(1)直線l上的向量e以及與e共線

的向量叫做直線l的方向向量.

(2)如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于

平面α,那么稱向量n垂直于平面α,記作n⊥α

.此時(shí)把向量n

叫做平面α的法向量.

-3-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)1.直線的方向向量與平面的法向量-58-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)2.線面關(guān)系的判定設(shè)直線l1的方向向量為e1=(a1,b1,c1),直線l2的方向向量為e2=(a2,b2,c2),平面α的法向量為n1=(x1,y1,z1),平面β的法向量為n2=(x2,y2,z2).(1)如果l1∥l2,那么e1∥e2?e2=λe1

?a2=λa1,b2=λb1,c2=λc1

.

(2)如果l1⊥l2,那么e1⊥e2?e1·e2=0

?a1a2+b1b2+c1c2=0

.

(3)若l1∥α,則e1⊥n1?e1·n1=0?a1x1+b1y1+c1z1=0

.

(4)若l1⊥α,則e1∥n1?e1=kn1?a1=kx1,b1=ky1,c1=kz1

.

(5)若α∥β,則n1∥n2?n1=kn2?x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2

.

(6)若α⊥β,則n1⊥n2?n1·n2=0?x1x2+y1y2+z1z2=0

.

-4-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)2.線面關(guān)系的判定-59-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)3.利用空間向量求空間角(1)兩條異面直線所成的角①范圍:兩條異面直線所成的角θ的取值范圍是

.②向量求法:設(shè)直線a,b的方向向量為a,b,其夾角為φ,則有cosθ=|cos

φ|

.

(2)直線與平面所成的角①范圍:直線和平面所成的角θ的取值范圍是

.

②向量求法:設(shè)直線l的方向向量為a,平面的法向量為u,直線與平面所成的角為θ,a與u的夾角為φ,則有sinθ=|cos

φ|

或cosθ=sinφ.

-5-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)3.利用空間向量求空間角-60-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)(3)二面角①二面角的取值范圍是[0,π]

.

②二面角的向量求法:若AB,CD分別是二面角α-l-β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線,則二面角的大小就是向量AB與CD的夾角(如圖①).設(shè)n1,n2分別是二面角α-l-β的兩個(gè)面α,β的法向量,則圖②中向量n1與n2的夾角的補(bǔ)角的大小就是二面角的平面角的大小;而圖③中向量n1與n2的夾角的大小就是二面角的平面角的大小.-6-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)(3)二面角設(shè)n1,n2分別是二面角α-61-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-7-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-62-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,點(diǎn)M,N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),BC=CA=CC1,則BM與AN所成的角的余弦值為(

)答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-8-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,-63-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)3.設(shè)直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n=(2,2,4),若a=(1,1,2),則直線l與平面α的位置關(guān)系為

;若a=(-1,-1,1),則直線l與平面α的位置關(guān)系為

.

答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-9-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)3.設(shè)直線l的方向向量為a,平面α的法-64-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)4.正三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直,則它的側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為

.

答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-10-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)4.正三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直,則它-65-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)5.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為CC1的中點(diǎn),則直線DE與平面A1BC1的夾角的正弦值為

.

答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-11-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)5.如圖,在正方體ABCD-A1B1-66-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)1.切莫混淆向量平行與向量垂直的坐標(biāo)表示,理解直線平行與直線方向向量平行的差異,否則易造成解題不嚴(yán)謹(jǐn).2.利用空間向量求空間角,避免了尋找平面角和垂線段等諸多麻煩,使空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定和計(jì)算程序化、簡單化.主要是建系、設(shè)點(diǎn)、計(jì)算向量的坐標(biāo)、利用數(shù)量積的夾角公式計(jì)算.-12-知識(shí)梳理雙擊自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)-67-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三利用空間向量證明平行、垂直(考點(diǎn)難度★)【例1】

如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分別是線段PA,PD,AB的中點(diǎn).求證:(1)PB∥平面EFH;(2)PD⊥平面AHF.-13-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三利用空間向量證明平行、垂直(考點(diǎn)難-68-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),H(1,0,0).-14-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系-69-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三方法總結(jié)1.恰當(dāng)建立坐標(biāo)系,準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo),是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵.2.證明直線與平面平行,只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零,或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面,然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.3.證明直線與直線垂直,只需要證明兩條直線的方向向量垂直,而直線與平面垂直、平面與平面垂直可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直證明.-15-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三方法總結(jié)1.恰當(dāng)建立坐標(biāo)系,準(zhǔn)確表-70-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖,在棱長為1的正方體AC1中,點(diǎn)E,F分別為A1D1和A1B1的中點(diǎn).若點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)部或其邊界上,且EP∥平面BFC1,求EP的最大值、最小值.-16-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練-71-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三解:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)平面BFC1的法向量為n=(x,y,z),取z=1得平面BFC1的一個(gè)法向量n=(1,2,1).-17-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三解:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,D-72-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三-18-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三-73-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三利用空間向量求空間角(考點(diǎn)難度★★★)考情分析從近幾年高考來看,利用空間向量求空間角是每年必考內(nèi)容,重點(diǎn)考查向量方法的應(yīng)用,題目有一定難度.題目的常見類型有:(1)利用空間向量求異面直線所成的角;(2)利用空間向量求直線與平面所成的角;(3)利用空間向量求二面角.-19-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三利用空間向量求空間角(考點(diǎn)難度★★-74-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三類型一

利用空間向量求異面直線所成的角【例2】

將邊長為1的正方形AA1O1O(及其內(nèi)部)繞OO1旋轉(zhuǎn)一周的同側(cè).(1)求三棱錐C-O1A1B1的體積;(2)求異面直線B1C與AA1所成的角的大小.-20-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三類型一利用空間向量求異面直線所成-75-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三解:(1)由題意可知,圓柱的高h(yuǎn)=1,底面半徑r=1.-21-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三解:(1)由題意可知,圓柱的高h(yuǎn)=-76-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(2)方法一:設(shè)過點(diǎn)B1的母線與下底面交于點(diǎn)B,則BB1∥AA1,所以∠CB1B為直線B1C與AA1所成的角.方法二:(坐標(biāo)系法)以O(shè)O1所在直線為z軸,以O(shè)A所在直線為y軸,取BC中點(diǎn)D,以O(shè)D所在直線為x軸建空間坐標(biāo)系也可得所成角為45°.-22-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(2)方法一:設(shè)過點(diǎn)B1的母線與下-77-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為直角梯形,BC∥AD,∠ADC=90°,BC=CD=AD=1,PA=PD,E,F分別為線段AD,PC的中點(diǎn).(1)求證:PA∥平面BEF;(2)若直線PC與AB所成的角為45°,求線段PE的長.-23-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練在四棱錐P-ABCD中,平-78-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(1)證明:∵在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為直角梯形,BC∥AD,∠ADC=90°,BC=CD=

AD=1,PA=PD,E,F分別為線段AD,PC的中點(diǎn),∴PE⊥平面ABCD,BE⊥AE.以E為原點(diǎn),EA所在直線為x軸,EB所在直線為y軸,EP所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),E(0,0,0),B(0,1,0),C(-1,1,0).-24-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(1)證明:∵在四棱錐P-ABCD-79-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三-25-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三-80-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三類型二

利用空間向量求直線與平面所成的角【例3】

已知四邊形ABCD為直角梯形,∠BCD=90°,AD∥CB,且AD=3,BC=2CD=4,點(diǎn)E,F分別在線段AD和BC上,使FEDC為正方形,將四邊形ABFE沿EF翻折至使二面角B'-EF-C的所成角為60°.(1)求證:CE∥平面A'DB';(2)求直線A'B'與平面FECD所成角的正弦值.-26-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三類型二利用空間向量求直線與平面所-81-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(1)證明:如圖所示,取FB'的中點(diǎn)M,連接CM,A'M.∵A'EB'M,∴四邊形A'EMB'是平行四邊形.∴A'B'∥EM.∵A'MCD,∴四邊形A'MCD是平行四邊形,∴A'D∥CM.又∵CM∩EM=M,A'B'∩A'D=A',∴平面EMC∥平面A'DB'.又CE?平面CME,∴CE∥平面A'DB'.-27-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(1)證明:如圖所示,取FB'的中-82-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(2)解:取DE的中點(diǎn)O,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.∠A'ED=∠B'FC=60°.-28-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(2)解:取DE的中點(diǎn)O,建立如圖-83-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB⊥PA,AB∥CD,且PB=BC=BD=,CD=2AB=2,∠PAD=120°.(1)求證:平面PAD⊥平面PCD;(2)求直線PD與平面PBC所成的角的正弦值.-29-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖,在四棱錐P-ABCD-84-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(1)證明:過點(diǎn)B作BE∥AD交CD于點(diǎn)E.∵AB∥CD,BE∥AD,∴四邊形ABED為平行四邊形.∴AB=DE.又CD=2AB,∴E為CD中點(diǎn).∴BE⊥CD.∴四邊形ABED為矩形.∴AB⊥AD.又AB⊥PA,PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD.又∵AB∥CD,CD?平面PCD,∴平面PAD⊥平面PCD.-30-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(1)證明:過點(diǎn)B作BE∥AD交C-85-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(2)解:以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,-31-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(2)解:以A為原點(diǎn),AB所在直線-86-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三-32-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三-87-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三類型三

利用空間向量求二面角的大小【例4】

(2018浙江高三模擬)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=BC1=2,∠AA1C1=60°,平面ABC1⊥平面AA1C1C,AC1與A1C相交于點(diǎn)D.(1)求證:BD⊥A1C;(2)求二面角C1-AB-C的余弦值.-33-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三類型三利用空間向量求二面角的大小-88-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(1)證明:已知側(cè)面AA1C1C是菱形,D是AC1的中點(diǎn),∵BA=BC1,∴BD⊥AC1.∵平面ABC1⊥平面AA1C1C,且BD?平面ABC1,平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1,∴BD⊥平面AA1C1C,BD⊥A1C.(2)解:如圖,以D為原點(diǎn),以DA,DB,DC所在直線分別為x軸、z軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系,-34-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(1)證明:已知側(cè)面AA1C1C是-89-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三∵平面ABC1⊥平面AA1C1C,A1C⊥AC1,∴CD⊥平面ABC1.-35-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三∵平面ABC1⊥平面AA1C1C,-90-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點(diǎn),AA1=AC=CB=AB.(1)證明:BC1∥平面A1CD;(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.-36-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖,直三棱柱ABC-A1-91-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(1)證明:連接AC1交A1C于點(diǎn)F,則F為AC1的中點(diǎn).又D是AB的中點(diǎn),連接DF,則BC1∥DF.因?yàn)镈F?平面A1CD,BC1?平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.-37-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(1)證明:連接AC1交A1C于點(diǎn)-92-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三-38-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三-93-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三可取m=(2,1,-2).-39-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三可取m=(2,1,-2).-94-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三方法總結(jié)1.利用向量法求異面直線所成的角時(shí),是通過兩條直線的方向向量的夾角來求解,而兩異面直線所成角的范圍是θ∈

,兩向量的夾角α的范圍是[0,π],所以要注意二者的區(qū)別與聯(lián)系,應(yīng)有cos

θ=|cos

α|.2.利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角);(2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角,取其余角就是斜線和平面所成的角.-40-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三方法總結(jié)1.利用向量法求異面直線所-95-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三3.利用空間向量求二面角的方法:(1)分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到一個(gè)與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量,則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小;(2)通過平面的法向量來求:設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1和n2,則二面角的大小等于<n1,n2>(或π-<n1,n2>).應(yīng)注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角.-41-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三3.利用空間向量求二面角的方法:-96-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三利用空間向量解決探索性問題(考點(diǎn)難度★★)【例5】

(2018浙江諸暨高三模擬)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為菱形,∠ABC=60°,△PAD為正三角形,且平面PAD⊥平面ADCB,M為AD的中點(diǎn).(1)若N為PB的中點(diǎn),求證:MN∥平面PCD;(2)線段PB(含端點(diǎn))上是否存在點(diǎn)N,使得MN與平面PBC所成角為?-42-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三利用空間向量解決探索性問題(考點(diǎn)難-97-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三解:(1)取PC的中點(diǎn)Q,連接NQ,DQ,由中位線定理及菱形的性質(zhì)可得QN∥MD,QN=MD,∴四邊形QNMD為平行四邊形.∴MN∥DQ.∵M(jìn)N?平面PDC,DQ?平面PDC,∴MN∥平面PDC.(2)∵平面PAD⊥平面ADCB,平面PAD∩

平面ADCB=AD,PM⊥AD,∴PD⊥平面ADCB,易得CM⊥MD,以MD,MC,MP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)AB=2,-43-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三解:(1)取PC的中點(diǎn)Q,連接NQ-98-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三-44-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三-99-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三方法總結(jié)立體幾何開放性問題求解方法有以下兩種:(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想,找出點(diǎn)或線的位置,然后再加以證明,得出結(jié)論;(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或線存在,并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件,根據(jù)題目進(jìn)行求解,若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍,則存在這樣的點(diǎn)或線,否則不存在.-45-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三