工程測量主講：蔡穎東北電力大學(xué)建筑工程學(xué)院工程測量主講：蔡穎東北電力大學(xué)建筑工程學(xué)院1第5章測量誤差的基本知識第1節(jié)概述第2節(jié)測量誤差的種類第3節(jié)衡量觀測精度的指標(biāo)第4節(jié)誤差傳播定律第5節(jié)等精度直接觀測值的精度第6節(jié)不等精度直接觀測值的精度

第7節(jié)第5章測量誤差的基本知識第1節(jié)概述2第5章測量誤差的基本知識重點：中誤差的計算難點：誤差傳播定律第5章測量誤差的基本知識重點：3第1節(jié)概述通過一定的儀器、工具和方法對某量進(jìn)行量測，稱為測量，測量獲得的數(shù)據(jù)稱為觀測值。一、測量與觀測值二、觀測值的分類（一）等精度觀測和不等精度觀測；（二）直接觀測和間接觀測；（三）獨立觀測和非獨立觀測。第1節(jié)概述通過一定的儀器、工具和方法對某量進(jìn)行量4第1節(jié)概述（一）測量誤差的定義

內(nèi)角和觀測值：

3595900內(nèi)角和觀測值1800050觀測值與真值之差，稱為真誤差。如:四邊形內(nèi)角和誤差=－1′

三角形內(nèi)角和誤差=＋50″（二）測量誤差的反映

測量誤差通過“多余觀測”產(chǎn)生的差異反映出來。三、測量誤差及其來源第1節(jié)概述（一）測量誤差的定義內(nèi)角和觀測值：內(nèi)角和觀測5第1節(jié)概述1.測量儀器2.觀測者3.外界環(huán)境影響觀測條件：儀器、觀測者、外界環(huán)境統(tǒng)稱為觀測條件。（三）測量誤差的來源第1節(jié)概述1.測量儀器（三）測量誤差的來源6第2節(jié)測量誤差的種類測量誤差可分為三類：1.粗差2.系統(tǒng)誤差3.偶然誤差。

第2節(jié)測量誤差的種類測量誤差可分為三類：71.粗差：

概念：也稱錯誤

處理方法：剔除第2節(jié)測量誤差的種類1.粗差：第2節(jié)測量誤差的種類8第2節(jié)測量誤差的種類2.系統(tǒng)誤差：在一定的觀測條件下進(jìn)行一系列觀測，如果誤差的符號與大小保持不變或按一定的規(guī)律變化，這類誤差稱為系統(tǒng)誤差。如：i角誤差、2C誤差、指標(biāo)差、度盤偏心差、標(biāo)尺零點差、鋼尺尺長誤差、……特性：對測量成果的影響有累積性第2節(jié)測量誤差的種類2.系統(tǒng)誤差：9第2節(jié)測量誤差的種類系統(tǒng)誤差的處理方法：（一）加上改正數(shù)法（二）采取對稱觀測（盤左盤右觀測、前后視距相等）（三）檢校儀器工具第2節(jié)測量誤差的種類系統(tǒng)誤差的處理方法：10第2節(jié)測量誤差的種類3、偶然誤差在一定的觀測條件下進(jìn)行一系列觀測，如果觀測誤差的大小和符號呈現(xiàn)出偶然性，即沒有一定的規(guī)律，這類誤差稱偶然誤差。如：氣泡居中誤差，估讀誤差，瞄準(zhǔn)誤差，環(huán)境影響。第2節(jié)測量誤差的種類3、偶然誤差在一定的觀測條件下進(jìn)行一11偶然誤差的特性(參見表5-1)：（1）絕對值不超過一定的范圍；（2）小誤差出現(xiàn)的機(jī)率多于大誤差；（3）正負(fù)誤差出現(xiàn)機(jī)率大致相等；（4）當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時，偶然誤差的 平均值的極限趨向于0。

第2節(jié)測量誤差的種類偶然誤差的特性(參見表5-1)：第2節(jié)測量誤差的種類12第2節(jié)測量誤差的種類偶然誤差分布曲線為正態(tài)分布。（見圖5-2）第2節(jié)測量誤差的種類偶然誤差分布曲線為正態(tài)分布。13第2節(jié)測量誤差的種類偶然誤差的處理:A、提高儀器的精度等級B、進(jìn)行多余觀測第2節(jié)測量誤差的種類偶然誤差的處理:A、提高儀器的精度等14判斷下列誤差屬性：鋼尺尺長誤差定直線誤差水準(zhǔn)尺傾斜誤差水準(zhǔn)管氣泡居中誤差讀數(shù)誤差水準(zhǔn)儀i角誤差照準(zhǔn)目標(biāo)誤差對中誤差豎盤指標(biāo)差視準(zhǔn)軸誤差地球曲率和大氣折光橫軸誤差瞄錯目標(biāo)讀錯數(shù)溫度變化風(fēng)大目標(biāo)不穩(wěn)定判斷下列誤差屬性：鋼尺尺長誤差定直線誤差水準(zhǔn)尺傾斜誤差水準(zhǔn)管15第2節(jié)測量誤差的種類對某觀測量進(jìn)行觀測時，為了避免錯誤提高精度往往要進(jìn)行多余觀測，通過多余觀測可以剔除粗差。對于一組剔除了粗差的觀測值，首先應(yīng)尋找、判斷和排除系統(tǒng)誤差，或?qū)⑾到y(tǒng)誤差控制在一定的范圍內(nèi)，然后根據(jù)偶然誤差的特性對該組觀測值進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，求出最接近未知量真值的估值，稱為最或是值；同時，評定觀測結(jié)果質(zhì)量的優(yōu)劣，即評定精度。這項工作在測量上稱為測量平差。第2節(jié)測量誤差的種類對某觀測量進(jìn)行觀測時16第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)精度:指一組觀測量的精確程度.也就是誤差分布的密集與離散程度。分布密集說明小誤差多,觀測質(zhì)量較好，分散說明大誤差多,觀測質(zhì)量低。第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)精度:指一組觀測量的精確程度17第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)評定觀測值精度的指標(biāo) 常用的有中誤差、相對中誤差、極限誤差或容許誤差四種。第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)評定觀測值精度的指標(biāo)18第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)一、中誤差

從圖中看出，愈小，曲線愈陡峭，表示誤差分布愈密集，精度越高，愈大，曲線愈平緩，表示誤差分布愈離散。可見，的大小可反映誤差分布的密集或離散的程度。△—真誤差n—觀測次數(shù)第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)一、中誤差19第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)一、中誤差

一般情況下，中誤差越大，表示誤差的離散性大，觀測值精度越低，反之，精度越高。自乘求和平均開方第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)一、中誤差20第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)1、已知真值的情況計算中誤差

如：對一個三角形內(nèi)角重復(fù)觀測5次，觀測結(jié)果如下：180°00′30″，179°59′36″，180°00′36″，179°59′18″，180°00′48″求觀測值中誤差。一、中誤差第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)1、已知真值的情況計算中誤差21第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)

觀測值 真誤差△

△△

180°00′12″ ＋12″ 144″179°59′36″ －24 576180°00′30″ ＋30 900179°59′48″ －12 144180°00′06″ ＋06 36理論值:180° =1800 m=± =±19″(觀測值中誤差)第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo) 觀測值 真誤差△22第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)

有些觀測量的精度可以用中誤差來評定，但有些觀測量僅用中誤差評定是不能反映出精度的高低的。如距離測量的精度，若測量100米和200米中誤差都是±5㎝，但這兩段距離的精度并不一樣，顯然，200米的精度優(yōu)于100米精度。此時應(yīng)用相對誤差評定更為準(zhǔn)確。200m

±5㎝100m

±5㎝ABCD二、相對誤差第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)有些觀測量的精23第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)二、相對誤差

絕對誤差（中誤差，真誤差）的絕對值與相應(yīng)觀測量的比值，化成分子為一的形式，叫作相對誤差（相對中誤差，相對真誤差）。用K表示。

相對誤差分母越大，k值越小，精度越高反之，精度越低。第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)二、相對誤差絕24第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)

往返丈量一段距離，往測得250.015m,返測得250.005m.求這段距離丈量的相對誤差?解:D平=250.010m,往返較差m=0.01m,

則相對誤差

K=1/(250.01/0.01)=1/25000二、相對誤差第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)往返丈量一段距離，往25第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)三、極限誤差\容許誤差

因此，測量上一般取

或第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)三、極限誤差\容許誤差26第4節(jié)誤差傳播定律誤差傳播:直接觀測量的誤差以一定的方式傳遞給間接觀測量。誤差傳播定律：是指各觀測值中誤差與函數(shù)中誤差之間的關(guān)系。

Z=f(x1,x2,…xn)廣泛用來計算和評定函數(shù)值（間接觀測量）的精度。第4節(jié)誤差傳播定律誤差傳播:27第4節(jié)誤差傳播定律如：三角形內(nèi)角和W=A＋B＋C

而A、B、C的觀測都是有誤差的，它們的誤差引起內(nèi)角和W也有誤差，但函數(shù)的誤差并不是簡單的和關(guān)系。ABCMNh1h3h5h2h4hn第4節(jié)誤差傳播定律如：三角形內(nèi)角和W=A＋B＋CABC28第4節(jié)誤差傳播定律設(shè)函數(shù)Z=f(x1,x2,…xn),x1,x2,…

xn為獨立觀測值，——誤差傳播定律x1,x2,…

xn的中誤差為m1,m2,

…mn,那么函數(shù)Z的中誤差mZ呢？第4節(jié)誤差傳播定律設(shè)函數(shù)Z=f(x1,x2,…xn)29第4節(jié)誤差傳播定律應(yīng)用3）將系數(shù)代入誤差傳播定律即可求得函數(shù)值中誤差：式中，就是誤差傳播定律中的系數(shù)。求觀測值函數(shù)的精度時，可歸納為如下三步：1）按問題的要求寫出函數(shù)式：2）對函數(shù)式全微分，得出關(guān)系式：第4節(jié)誤差傳播定律應(yīng)用3）將系數(shù)代入誤差傳播定律即可求30第4節(jié)誤差傳播定律例：某建筑場地已劃定為長方形，獨立地測定其長和寬分別為a=30.000m、b=15.000m,其中誤差分別為ma=±0.005m、mb=±0.003m，求該場地面積A及其中誤差mA。1、列出函數(shù)關(guān)系式，并求函數(shù)值：2、對函數(shù)表達(dá)式取全微分：3、求函數(shù)值中誤差：解：第4節(jié)誤差傳播定律例：某建筑場地已劃定為長方形，獨立地31第4節(jié)誤差傳播定律表5-2簡單函數(shù)式的中誤差計算公式1）倍數(shù)函數(shù) Y=kX

函數(shù)中誤差my=kmx

2）和差函數(shù) Y=X1±X2±

X3±

X4±…±Xn

函數(shù)中誤差my2=m12＋m22＋

m32＋

m42＋

…＋mn2

3）線性函數(shù)Y=k1X1±k2X2±k3X3±k4X4±……±knXn

函數(shù)中誤差：my2=（k1m1）2＋（k2m2）2

＋（k3m3）2

＋（k4m4）2

＋……＋（knmn）2

若為等精度觀測，則m1=m2=m3=m4=mn=m第4節(jié)誤差傳播定律表5-2簡單函數(shù)式的中誤差計算公式32第4節(jié)誤差傳播定律

應(yīng)用誤差傳播定律的注意事項：應(yīng)用誤差傳播定律計算函數(shù)中誤差時，應(yīng)注意，列出的函數(shù)式，變量之間必須是相互獨立的，否則不能套用函數(shù)中誤差公式。第4節(jié)誤差傳播定律應(yīng)用誤差傳播定律的注意事項：33第4節(jié)誤差傳播定律1、對一段距離S進(jìn)行等精度觀測n次，每次觀測中誤差均為mS，求平均值中誤差MS=？第4節(jié)誤差傳播定律1、對一段距離S進(jìn)行等精度觀測n次，34第4節(jié)誤差傳播定律2、設(shè)對某三角形三個內(nèi)角進(jìn)行觀測，A角的中誤差為±30″，B角中誤差為±20″，C角中誤差為±10″，求三角形的內(nèi)角和的中誤差m=？解：內(nèi)角和W=A+B+CmW2=mA2+mB2＋mc2=302+202+102=1400″mW=±37.4″第4節(jié)誤差傳播定律2、設(shè)對某三角形三個內(nèi)角進(jìn)行觀測，A35第4節(jié)誤差傳播定律3、對一個三角形觀測了其中、兩個角，測角中誤差分別為

±3.5″，±6.2″，按公式=180°-

-求得另一個角。試求角的中誤差m第4節(jié)誤差傳播定律3、對一個三角形觀測了其中、兩個36第4節(jié)誤差傳播定律4、，觀測值D=225.85m±0.06m，

，求的中誤差第4節(jié)誤差傳播定律4、，觀測值D=2237

第5節(jié)等精度直接觀測值的最或是值一、求最或是值

對一個量進(jìn)行等精度重復(fù)觀測n次,假設(shè)真值為X，則每一次的真誤差為第5節(jié)等精度直接觀測值的最或是值一、求最或是值38

第5節(jié)等精度直接觀測值的最或是值當(dāng)觀測次數(shù)n趨于無窮時,平均值趨于真值.也就說當(dāng)不知道真值時，取觀測值的算術(shù)平均值為最或然值(即最可靠值),代替真值。但由于n不可能是無限大,所以平均值不等于真值,而是接近真值.第5節(jié)等精度直接觀測值的最或是值當(dāng)觀測次數(shù)n趨39

第5節(jié)等精度直接觀測值的最或是值

二、評定精度改正數(shù) 觀測值中誤差平均值中誤差（一）觀測值的中誤差第5節(jié)等精度直接觀測值的最或是值二、評定40

第5節(jié)等精度直接觀測值的最或是值（二）算術(shù)平均值的中誤差

如果是等精度觀測,每個觀測值的中誤差都是一樣的,根據(jù)誤差傳播定律可得算術(shù)平均值的中誤差M.說明平均值中誤差比觀測值中誤差提高了 倍,但當(dāng)n大于20后,提高不明顯。第5節(jié)等精度直接觀測值的最或是值（二）算術(shù)41

第5節(jié)等精度直接觀測值的最或是值歸納觀測精度評定:1、觀測值中誤差公式：m=±

2、平均值中誤差公式：M=±m(xù)/=

計算舉例

觀測值或是誤差VVV中誤差351828351825351826351822351824＋30＋1－3－190191觀測值中誤差m=±m(xù)=±=2.23″或是值中誤差M=m/M=2.23/=1″X=351825=0=20第5節(jié)等精度直接觀測值的最或是值歸納觀測精度評42

第5節(jié)等精度直接觀測值的最或是值若不知道真值,則用平均值作為似真值,v表示似真差(最或是誤差，改正數(shù)),

用似真差計算相對中誤差公式：第5節(jié)等精度直接觀測值的最或是值若不知道真值,43

第5節(jié)等精度直接觀測值的最或是值2、不知道真值,求觀測值中誤差的計算 如對一角度進(jìn)行4次觀測,觀測數(shù)據(jù)如下:

觀測值 V VV

502930 －30

90050300000

00503012＋12

144503018 ＋18

324平均值為:503000

0

1368″m= =±21.4″第5節(jié)等精度直接觀測值的最或是值2、不知道真值44

第5節(jié)等精度直接觀測值的最或是值例2:對一段距離觀測了5次,得150.005m、150.008m、150.000m、150.003m、150.006m.試計算這段距離的最或是值、最或是值的中誤差、相對中誤差、測量一次的中誤差？第5節(jié)等精度直接觀測值的最或是值例2:對一段距45本章小結(jié)1.基本概念

真誤差、系統(tǒng)誤差、偶然誤差、中誤差、相對誤差、極限誤差、容許誤差、等精度觀測值2.簡答

1）觀測誤差分類

2）什么是系統(tǒng)誤差？系統(tǒng)誤差有何特點？怎樣消除或減弱系統(tǒng)誤差的影響

3）什么是偶然誤差？偶然誤差有何特點？4）誤差的主要來源3.計算1）中誤差相關(guān)計算本章小結(jié)1.基本概念46ENDEND47工程測量主講：蔡穎東北電力大學(xué)建筑工程學(xué)院工程測量主講：蔡穎東北電力大學(xué)建筑工程學(xué)院48第5章測量誤差的基本知識第1節(jié)概述第2節(jié)測量誤差的種類第3節(jié)衡量觀測精度的指標(biāo)第4節(jié)誤差傳播定律第5節(jié)等精度直接觀測值的精度第6節(jié)不等精度直接觀測值的精度

第7節(jié)第5章測量誤差的基本知識第1節(jié)概述49第5章測量誤差的基本知識重點：中誤差的計算難點：誤差傳播定律第5章測量誤差的基本知識重點：50第1節(jié)概述通過一定的儀器、工具和方法對某量進(jìn)行量測，稱為測量，測量獲得的數(shù)據(jù)稱為觀測值。一、測量與觀測值二、觀測值的分類（一）等精度觀測和不等精度觀測；（二）直接觀測和間接觀測；（三）獨立觀測和非獨立觀測。第1節(jié)概述通過一定的儀器、工具和方法對某量進(jìn)行量51第1節(jié)概述（一）測量誤差的定義

內(nèi)角和觀測值：

3595900內(nèi)角和觀測值1800050觀測值與真值之差，稱為真誤差。如:四邊形內(nèi)角和誤差=－1′

三角形內(nèi)角和誤差=＋50″（二）測量誤差的反映

測量誤差通過“多余觀測”產(chǎn)生的差異反映出來。三、測量誤差及其來源第1節(jié)概述（一）測量誤差的定義內(nèi)角和觀測值：內(nèi)角和觀測52第1節(jié)概述1.測量儀器2.觀測者3.外界環(huán)境影響觀測條件：儀器、觀測者、外界環(huán)境統(tǒng)稱為觀測條件。（三）測量誤差的來源第1節(jié)概述1.測量儀器（三）測量誤差的來源53第2節(jié)測量誤差的種類測量誤差可分為三類：1.粗差2.系統(tǒng)誤差3.偶然誤差。

第2節(jié)測量誤差的種類測量誤差可分為三類：541.粗差：

概念：也稱錯誤

處理方法：剔除第2節(jié)測量誤差的種類1.粗差：第2節(jié)測量誤差的種類55第2節(jié)測量誤差的種類2.系統(tǒng)誤差：在一定的觀測條件下進(jìn)行一系列觀測，如果誤差的符號與大小保持不變或按一定的規(guī)律變化，這類誤差稱為系統(tǒng)誤差。如：i角誤差、2C誤差、指標(biāo)差、度盤偏心差、標(biāo)尺零點差、鋼尺尺長誤差、……特性：對測量成果的影響有累積性第2節(jié)測量誤差的種類2.系統(tǒng)誤差：56第2節(jié)測量誤差的種類系統(tǒng)誤差的處理方法：（一）加上改正數(shù)法（二）采取對稱觀測（盤左盤右觀測、前后視距相等）（三）檢校儀器工具第2節(jié)測量誤差的種類系統(tǒng)誤差的處理方法：57第2節(jié)測量誤差的種類3、偶然誤差在一定的觀測條件下進(jìn)行一系列觀測，如果觀測誤差的大小和符號呈現(xiàn)出偶然性，即沒有一定的規(guī)律，這類誤差稱偶然誤差。如：氣泡居中誤差，估讀誤差，瞄準(zhǔn)誤差，環(huán)境影響。第2節(jié)測量誤差的種類3、偶然誤差在一定的觀測條件下進(jìn)行一58偶然誤差的特性(參見表5-1)：（1）絕對值不超過一定的范圍；（2）小誤差出現(xiàn)的機(jī)率多于大誤差；（3）正負(fù)誤差出現(xiàn)機(jī)率大致相等；（4）當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時，偶然誤差的 平均值的極限趨向于0。

第2節(jié)測量誤差的種類偶然誤差的特性(參見表5-1)：第2節(jié)測量誤差的種類59第2節(jié)測量誤差的種類偶然誤差分布曲線為正態(tài)分布。（見圖5-2）第2節(jié)測量誤差的種類偶然誤差分布曲線為正態(tài)分布。60第2節(jié)測量誤差的種類偶然誤差的處理:A、提高儀器的精度等級B、進(jìn)行多余觀測第2節(jié)測量誤差的種類偶然誤差的處理:A、提高儀器的精度等61判斷下列誤差屬性：鋼尺尺長誤差定直線誤差水準(zhǔn)尺傾斜誤差水準(zhǔn)管氣泡居中誤差讀數(shù)誤差水準(zhǔn)儀i角誤差照準(zhǔn)目標(biāo)誤差對中誤差豎盤指標(biāo)差視準(zhǔn)軸誤差地球曲率和大氣折光橫軸誤差瞄錯目標(biāo)讀錯數(shù)溫度變化風(fēng)大目標(biāo)不穩(wěn)定判斷下列誤差屬性：鋼尺尺長誤差定直線誤差水準(zhǔn)尺傾斜誤差水準(zhǔn)管62第2節(jié)測量誤差的種類對某觀測量進(jìn)行觀測時，為了避免錯誤提高精度往往要進(jìn)行多余觀測，通過多余觀測可以剔除粗差。對于一組剔除了粗差的觀測值，首先應(yīng)尋找、判斷和排除系統(tǒng)誤差，或?qū)⑾到y(tǒng)誤差控制在一定的范圍內(nèi)，然后根據(jù)偶然誤差的特性對該組觀測值進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，求出最接近未知量真值的估值，稱為最或是值；同時，評定觀測結(jié)果質(zhì)量的優(yōu)劣，即評定精度。這項工作在測量上稱為測量平差。第2節(jié)測量誤差的種類對某觀測量進(jìn)行觀測時63第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)精度:指一組觀測量的精確程度.也就是誤差分布的密集與離散程度。分布密集說明小誤差多,觀測質(zhì)量較好，分散說明大誤差多,觀測質(zhì)量低。第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)精度:指一組觀測量的精確程度64第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)評定觀測值精度的指標(biāo) 常用的有中誤差、相對中誤差、極限誤差或容許誤差四種。第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)評定觀測值精度的指標(biāo)65第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)一、中誤差

從圖中看出，愈小，曲線愈陡峭，表示誤差分布愈密集，精度越高，愈大，曲線愈平緩，表示誤差分布愈離散。可見，的大小可反映誤差分布的密集或離散的程度?！鳌嬲`差n—觀測次數(shù)第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)一、中誤差66第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)一、中誤差

一般情況下，中誤差越大，表示誤差的離散性大，觀測值精度越低，反之，精度越高。自乘求和平均開方第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)一、中誤差67第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)1、已知真值的情況計算中誤差

如：對一個三角形內(nèi)角重復(fù)觀測5次，觀測結(jié)果如下：180°00′30″，179°59′36″，180°00′36″，179°59′18″，180°00′48″求觀測值中誤差。一、中誤差第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)1、已知真值的情況計算中誤差68第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)

觀測值 真誤差△

△△

180°00′12″ ＋12″ 144″179°59′36″ －24 576180°00′30″ ＋30 900179°59′48″ －12 144180°00′06″ ＋06 36理論值:180° =1800 m=± =±19″(觀測值中誤差)第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo) 觀測值 真誤差△69第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)

有些觀測量的精度可以用中誤差來評定，但有些觀測量僅用中誤差評定是不能反映出精度的高低的。如距離測量的精度，若測量100米和200米中誤差都是±5㎝，但這兩段距離的精度并不一樣，顯然，200米的精度優(yōu)于100米精度。此時應(yīng)用相對誤差評定更為準(zhǔn)確。200m

±5㎝100m

±5㎝ABCD二、相對誤差第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)有些觀測量的精70第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)二、相對誤差

絕對誤差（中誤差，真誤差）的絕對值與相應(yīng)觀測量的比值，化成分子為一的形式，叫作相對誤差（相對中誤差，相對真誤差）。用K表示。

相對誤差分母越大，k值越小，精度越高反之，精度越低。第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)二、相對誤差絕71第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)

往返丈量一段距離，往測得250.015m,返測得250.005m.求這段距離丈量的相對誤差?解:D平=250.010m,往返較差m=0.01m,

則相對誤差

K=1/(250.01/0.01)=1/25000二、相對誤差第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)往返丈量一段距離，往72第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)三、極限誤差\容許誤差

因此，測量上一般取

或第3節(jié)衡量觀測值精度的指標(biāo)三、極限誤差\容許誤差73第4節(jié)誤差傳播定律誤差傳播:直接觀測量的誤差以一定的方式傳遞給間接觀測量。誤差傳播定律：是指各觀測值中誤差與函數(shù)中誤差之間的關(guān)系。

Z=f(x1,x2,…xn)廣泛用來計算和評定函數(shù)值（間接觀測量）的精度。第4節(jié)誤差傳播定律誤差傳播:74第4節(jié)誤差傳播定律如：三角形內(nèi)角和W=A＋B＋C

而A、B、C的觀測都是有誤差的，它們的誤差引起內(nèi)角和W也有誤差，但函數(shù)的誤差并不是簡單的和關(guān)系。ABCMNh1h3h5h2h4hn第4節(jié)誤差傳播定律如：三角形內(nèi)角和W=A＋B＋CABC75第4節(jié)誤差傳播定律設(shè)函數(shù)Z=f(x1,x2,…xn),x1,x2,…

xn為獨立觀測值，——誤差傳播定律x1,x2,…

xn的中誤差為m1,m2,

…mn,那么函數(shù)Z的中誤差mZ呢？第4節(jié)誤差傳播定律設(shè)函數(shù)Z=f(x1,x2,…xn)76第4節(jié)誤差傳播定律應(yīng)用3）將系數(shù)代入誤差傳播定律即可求得函數(shù)值中誤差：式中，就是誤差傳播定律中的系數(shù)。求觀測值函數(shù)的精度時，可歸納為如下三步：1）按問題的要求寫出函數(shù)式：2）對函數(shù)式全微分，得出關(guān)系式：第4節(jié)誤差傳播定律應(yīng)用3）將系數(shù)代入誤差傳播定律即可求77第4節(jié)誤差傳播定律例：某建筑場地已劃定為長方形，獨立地測定其長和寬分別為a=30.000m、b=15.000m,其中誤差分別為ma=±0.005m、mb=±0.003m，求該場地面積A及其中誤差mA。1、列出函數(shù)關(guān)系式，并求函數(shù)值：2、對函數(shù)表達(dá)式取全微分：3、求函數(shù)值中誤差：解：第4節(jié)誤差傳播定律例：某建筑場地已劃定為長方形，獨立地78第4節(jié)誤差傳播定律表5-2簡單函數(shù)式的中誤差計算公式1）倍數(shù)函數(shù) Y=kX

函數(shù)中誤差my=kmx

2）和差函數(shù) Y=X1±X2±

X3±

X4±…±Xn

函數(shù)中誤差my2=m12＋m22＋

m32＋

m42＋

…＋mn2

3）線性函數(shù)Y=k1X1±k2X2±k3X3±k4X4±……±knXn

函數(shù)中誤差：my2=（k1m1）2＋（k2m2）2

＋（k3m3）2

＋（k4m4）2

＋……＋（knmn）2

若為等精度觀測，則m1=m2=m3=m4=mn=m第4節(jié)誤差傳播定律表5-2簡單函數(shù)式的中誤差計算公式79第4節(jié)誤差傳播定律

應(yīng)用誤差傳播定律的注意事項：應(yīng)用誤差傳播定律計算函數(shù)中誤差時，應(yīng)注意，列出的函數(shù)式，變量之間必須是相互獨立的，否則不能套用函數(shù)中誤差公式。第4節(jié)誤差傳播定律應(yīng)用誤差傳播定律的注意事項：80第4節(jié)誤差傳播定律1、對一段距離S進(jìn)行等精度觀測n次，每次觀測中誤差均為mS，求平均值中誤差MS=？第4節(jié)誤差傳播定律1、對一段距離S進(jìn)行等精度觀測n次，81第4節(jié)誤差傳播定律2、設(shè)對某三角形三個內(nèi)角進(jìn)行觀測，A角的中誤差為±30″，B角中誤差為±20″，C角中誤差為±10″，求三角形的內(nèi)角和的中誤差m=？解：內(nèi)角和W=A+B+CmW2=mA2+mB2＋mc2=302+202+102=1400″mW=±37.4″第4節(jié)誤差傳播定律2、設(shè)對某三角形三個內(nèi)角進(jìn)行觀測，A82第4節(jié)誤差傳播定律3、對一個三角形觀測了其中、兩個角，測角中誤差分別為

±3.5″，±6.2″，按公式=180°-

-求得另一個角。試求角的中誤差m第4節(jié)誤差傳播定律3、對一個三角形觀測了其中、兩個83第4節(jié)誤差傳播定律4、，觀測值D=225.85m±0.06m，

，求的中誤差第4節(jié)誤差傳播定律4、，觀測值D=2284

第5節(jié)等精度直接觀測值的最或是值一、求最或是值

對一個量進(jìn)行等精度重復(fù)觀測n次,假設(shè)真值為X，則每一次的真誤差為第5節(jié)等精度直接觀測值的最或是值一、求最或是值85

第5節(jié)等精度直接觀測值的最或是值當(dāng)觀測次數(shù)n趨于無窮時,平均值趨于真值.也就說當(dāng)不知道真值時，取觀測值的算術(shù)平均值為最或然值(即最可靠值),代替真值。但由于n不可能是無限大,所以平均值不等于真值,而是接近真值.第5節(jié)等精度直接觀測值的最或是值當(dāng)觀測次數(shù)n趨86

第5節(jié)等精度直接觀測值的最或是值

二、評定精度改正數(shù) 觀測值中誤差平均值