傅里葉變換基礎(chǔ)知識1。傅里葉級數(shù)展開最簡單有最常用的信號是諧波信號，一般周期信號利用傅里葉級數(shù)展開成多個乃至無窮多個不同頻率的諧波信號，即一般周期信號是由多個乃至無窮多個不同頻率的諧波信號線性疊加而成。1。1周期信號的傅里葉級數(shù)在有限區(qū)間上，任何周期信號X(t)只要滿足狄利克雷(dirichlet)條件，都可以展開成傅里葉級數(shù)。1.1。1狄利克雷(dirichlet)條件狄利克雷(dirichlet)條件為：信號x(t)在一個周期內(nèi)只有有限個第一類間斷點(diǎn)(當(dāng)t從左或右趨向于這個間斷點(diǎn)時，函數(shù)有左極限值和右極限值)；信號x(t)在一周期內(nèi)只有有限個極大值和極小值；信號在一個周期內(nèi)是絕對可積分的，即j矽x(t)dt應(yīng)為有限值。-T/21.1.2間斷點(diǎn)°在非連續(xù)函數(shù)y=f(x)中某點(diǎn)處為處有中斷現(xiàn)象，那么，x就稱為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)。第一類間斷點(diǎn)(有限型間斷點(diǎn))：°可去間斷點(diǎn):函數(shù)在該點(diǎn)左極限、右極限存在且相等，但不等于該點(diǎn)函數(shù)值或函數(shù)在該點(diǎn)無定義(x令分母為零時等情況)；跳躍間斷點(diǎn)：函數(shù)在該點(diǎn)左極限、右極限存在但不相等(y=1x1/X°在點(diǎn)X=°處等情況)。第二類間斷點(diǎn):除第一類間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)。1。1。3傅里葉級數(shù)三角函數(shù)表達(dá)式傅里葉級數(shù)三角函數(shù)表達(dá)式為TOC\o"1-5"\h\zx(t)=a+￡(acosn①t+bsinn①t)

°n°n°式中：a為信號的常值分量；a為信號=的余弦信號幅值;b為信號的正弦信號幅值。a、°a、b分別表示為："^°nna=上』T>/2x(t)dt°T-T/200a=~jT>/2x(t)cosn?tdtnT-T/2°°°b=~jT>/2x(t)sinn①tdt°°式中：T為信號的周期；?為信號的基頻，即角頻率，①=2兀/T，n=1,2,3...。合并同頻項(xiàng)也可表示為1°°x(t)=a+￡Acos(n①t+0)式中：信號的幅值A(chǔ)和初相位0分別為A=x(t)=a+￡Acos(n①t+0)1。1.4頻譜的相關(guān)概念（1）信號的頻譜（三角頻譜）：構(gòu)成信號的各頻率分量的集合，表征信號的幅值和相位隨頻率的變化關(guān)系,即信號的結(jié)構(gòu)，是A-o（或A-f）和9-①（或9-f）的統(tǒng)稱；（2）信號的幅頻譜:周期信號幅值A(chǔ)隨o（或f）的變化關(guān)系，用A-o（或A-f）nnn表示；（3）信號的相頻譜：周期信號相位氣隨o（或f）的變化關(guān)系，用9n-o（或9n-f）表示；（4）信號的頻譜分析:對信號進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，獲得頻譜的過程；（5）基頻：o或f，各頻率成分都是o或f的整數(shù)倍；（6）基波：o：或f0對應(yīng)的信號；00（7）n次諧波：0no（n=2,3,...）或nf（n=2,3,...）的倍頻成分Acos（not+中）或Acos（2兀nft+9）；1.1。5周期信喜的傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開?1..,.、cosot=—(e-jot+ejot)根據(jù)歐拉公式e土jo=cosot土jsinot（j=，一1），則2sinot=j(e-jot—ejot)2因此,傅里葉級數(shù)三角函數(shù)表達(dá)式x(t)=a+^(acosnot+bsinnot)可改寫成0n0n0a一jb-n2n=1根據(jù)歐拉公式e土jo=cosot土jsinot（j=，一1），a一jb-n2x(t)=疽n=1nejno>t+a+"ne-jno()t2C=a1C=2(a-jb)1x(t)=疽n=1C=2(a+jb)則x(t)=C0+ECejno0t+=1&emt=&x(t)=C0+ECejno0t+=1一nnnnn=1n=0n=1n=一1x（t）=2Cejno0n=0,±1,±2,…nn=一3這就是周期信號的傅里葉復(fù)指數(shù)形式的表達(dá)式。a=2JT0/2x(t)cosnotdt將<0T0/2代入C=L(a-jb)，則C=【jT0/2x(t)e-jn°0f-dtb—JT0/2x(t)sinnotdtn2nn孔-T0/2["T-T0/20在一般情況下C是復(fù)數(shù)，可以寫成C=C吹+jC廣|clej隊(duì)式中""狀”"|CI=VC2r+C2,

nnCn=2(a+jb)可表示為中=arctan=2(a+jb)可表示為nR由C=CR+jC]=|clejR，C=2(a-jb)，C

C=2(a由C=CR+jC]=|clejR，C=§(a+jb)=|C|-e-j%變?yōu)閯tx(t)=￡Cejn^tn=0,±1,±2,…nn=一3x(t)=C+ECejn%t+￡Ce-jn%t=C+工「|C|ej(""+中，)+|C|ej(-""wn)

0n-n0L00-變?yōu)閚=1n=1n=1由此可見，周期信號用復(fù)指數(shù)形式展開，相當(dāng)于在復(fù)平面內(nèi)用一系列旋轉(zhuǎn)矢量|Clejgt士隊(duì))來描述，但是，負(fù)頻率的出現(xiàn)，僅僅是數(shù)學(xué)推導(dǎo)的結(jié)果，并無實(shí)際物理意義。01。1。6傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)與三角函數(shù)展開關(guān)系由C=2(a-jb)，C=C.r+jCj=|C|e<可知:C=a/2CnR=-b>/2綜合A=*a2+b2,|C|=i，'C2nnR\cI=<C2nnR+CT表示為+C2nInI=\，'(a/2綜合A=*a2+b2,|C|=i，'C2nnR\cI=<C2nnR+C2nInn由9=arctan—nr，C=a/2，C=—b/2可知:nCnRnnIn9=arctan(b/a)三角函數(shù)展開表達(dá)式復(fù)指數(shù)展開表達(dá)式常值分量a=C復(fù)指數(shù)常量C=a余弦分量幅值00a=2C復(fù)數(shù)C的實(shí)部00C=a/2正弦分量幅值nnRb=—2Cn復(fù)數(shù)C的虛部nRnC=-b/2振幅A=2idn復(fù)數(shù)C的模C」=a"/2相位0=arctan(—b/a)n相位9=arctan(-b/a)2傅里葉變換出準(zhǔn)周期函數(shù)之外的非周期信號稱為一般周期信號，也就是瞬態(tài)信號.瞬態(tài)信號具有瞬變性，例如錘子敲擊力的變化、承載纜繩斷裂的應(yīng)力變化、熱電偶插入加熱的液體中溫度的變化過程等信號均屬于瞬態(tài)信號。瞬態(tài)信號是非周期信號，可以看作一個周期的周期信號，即周期TF。因此，可以把瞬態(tài)信號看作周期趨于無窮大的周期信號.

2.1傅里葉變換設(shè)有一周期信號x(t),則其在［-T/2,T/2］區(qū)間內(nèi)的傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式的表達(dá)式為x(t)=￡CejnGt，式中n=-3式中C=1』T。0/x(t)e-jnG0tdtnT-T0/2當(dāng)T0—8時，積分區(qū)間［-T/2,T/2］-?［—8,8］；譜線間隔Ag=g=2兀/T—>dg，離散頻率n%-連續(xù)變量G，所以匕=TJTo/2x(t)e-y變?yōu)?-T0/2limC-T=j8x(t)e-.dtT—8n0-8該式積分后將是G的函數(shù)，且一般為復(fù)數(shù)，用X(jG)或X(G)表示為x(jG)=J8x(t)e-jGtdt式中:X(加)稱為信號x(t)的傅里葉積分變換或簡稱傅里葉變換(FouierTransform，F(xiàn)T)，是把非周期信號看成周期趨于無窮大的周期信號來處理的，顯然CX(j'G)=limC-T=lim—n~T0-8n0f-0f即X(jto)為單位頻寬上的諧波幅值，具有“密度”的含義，故把X(jG)稱為瞬態(tài)信號的“頻譜密度函數(shù)"，或簡稱“頻譜函數(shù)"。由X(jG)=lim

n0T0*CC-由X(jG)=lim

n0T0*f-0fX(jG)00代入x(t)登Cjt得n=-8x(t)=￡limX(jgejnG0tG—82兀n=-80當(dāng)T—8時，G0=2兀/T=dG,離散頻率nG0—連續(xù)變量G,求和￡—積分.則x(t)=里8X(jG)ejGtdG

2兀-8x(t)稱為X(jG)的傅里葉逆變換或反變換(InverseFourierTransform，IFT).X(jG)=j8x(t%-jGdt和x(t)=—j8X(jG?jGtdG構(gòu)成了傅立葉變換對-82兀-8FTx(t)oX(jG)IFTFT一般地，使用=或。表示信號之間的傅立葉變換及其逆變換之間的關(guān)系。由于IFTg=2兀f，所以X(加)」"x(t)e-河dt和x(t)=—「x(jQe河dG可變?yōu)?82兀-8X(jf)=Jr(t)e一削ftdtx(t)=4x(jf)-ej2兀ftdf

s這就避免了在傅里葉變換中出現(xiàn)1/2兀的常數(shù)因子，使公式形式簡化.由式X(jf)=「x(t)e-j2Kftdt可知，非周期信號能夠用傅里葉函數(shù)來表示，。而周期信號—3可由傅里葉級數(shù)x(t)=羅CejnO0來表示。X(jf)=f3x(t)e5dt是一般復(fù)數(shù)形式，可表示n-3n=-3為X(jf)=ReX(jf)+jImX(jf)=X(jf)|-ej^f)式中：ReX(jf)為X(jf)的實(shí)部；ImX(jf)為X(jf)的虛部；X(jf)|為信號x(t)的連續(xù)幅頻譜；Mjf)為信號x(t)的連續(xù)相頻譜。X(jf)|=\，[ReX(jf)]2+[ImX(jf)]2中(f)=arctan[ImX(jf)/ReX(jf)]比較周期信號和非周期信號的頻譜可知：首先，非周期信號幅值X(jf)|隨f變化時連續(xù)的，即為連續(xù)頻譜，而周期信號的幅值C|隨f變化時離散的，即為離散頻譜.其次，C|的nn量綱和信號幅值的量綱一致，而X(jf)|的量綱相當(dāng)于C|/f，為單位頻寬上的幅值，即為“頻n譜密度函數(shù)”。2。2傅里葉變換的主要性質(zhì)一個信號可以進(jìn)行時域描述和頻域描述。兩種描述通過傅里葉變換來確立彼此一一對應(yīng)的關(guān)系，因此，熟悉傅里葉變換的一些主要性質(zhì)十分必要。性質(zhì)時域頻域函數(shù)的奇偶虛實(shí)性實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)實(shí)奇函數(shù)虛奇函數(shù)虛偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)虛奇函數(shù)實(shí)奇函數(shù)線性疊加ax(t)+by(t)aX(jf)+bY(jf)對稱X(jt)X(-f)續(xù)尺度改變x(kt)1(f、扃?X以、時移x(t-t0