第三方差分析第三方差分析1（優(yōu)選）第三方差分析（優(yōu)選）第三方差分析2第一節(jié)方差分析的基本原理[例3-1]第一節(jié)方差分析的基本原理[例3-1]3第一節(jié)方差分析的基本原理不同肥料處理對苗木高度的影響[例3-2]總差異組內差異組間差異抽樣誤差處理誤差第一節(jié)方差分析的基本原理不同肥料處理對苗木高度的影響[例4總變異（Totalvariation）全部測量值與總均數間的差異組間變異（betweengroupvariation）各組的均數與總均數間的差異組內變異（withingroupvariation)每組的每個測量值與該組均數的差異YijYij第一節(jié)方差分析的基本原理YijYij第一節(jié)方差分析的基本原理5第一節(jié)方差分析的基本原理將所有測量值間的總變異按照其變異的來源分解為多個部分，然后進行比較，評價由某種因素所引起的變異是否具有統計學意義。第一節(jié)方差分析的基本原理將所有測量值間的總變異按照其變異6組間變異總變異組內變異第一節(jié)方差分析的基本原理組間變異總變異組內變異第一節(jié)方差分析的基本原理7

ANOVA由英國統計學家首創(chuàng)，為紀念Fisher，以F命名，故方差分析又稱F檢驗（Ftest）。用于推斷多個總體均數有無差異第一節(jié)方差分析的基本原理ANOVA由英國統計學家首創(chuàng)，為紀念Fisher，8

將總變異分解為處理間變異和處理內變異，就是要將總均方分解為處理間均方和處理內均方?？傠x均差平方和，簡稱為總平方和，剖分成處理間平方和與處理內平方和兩部分；總自由度，剖分成處理間自由度與處理內自由度兩部分來實現的。第一節(jié)方差分析的基本原理將總變異分解為處理間變異和處理內變異，就是要將總均方9三種“變異”之間的關系離均差平方和分解：第一節(jié)方差分析的基本原理三種“變異”之間的關系第一節(jié)方差分析的基本原理10不同秩次距p下的最小顯著極差變幅比較大，為此，D.1建立數表：將處理視為因素A，將因變量值對應輸入。H14種肥料處理的苗高均數不相等或不全等。即否定H0，承認H1。若以列梯形表法表示，則成下表。若實際計算的F值大于，則F值在α=0.（65）01(3,18)=5.第三節(jié)

多重比較

----多重比較結果表示方法如查附表5，當df1=3，df2=18時，第一節(jié)方差分析的基本原理19，查F表當V1=4，V2=15時，F0.附表5是專門為檢驗代表的總體方差是否比代表的總體方差大而設計的。————>需要進一步作多重比較。56為顯著，MSe=8.總平方和的剖分反映全部觀測值總變異的總平方和是各觀測值xij與總平均數的離均差平方和，記為SST。即因為

其中第一節(jié)方差分析的基本原理不同秩次距p下的最小顯著極差變幅比較大，為此，D.總平方和的11所以（61）式中，為各處理平均數與總平均數的離均差平方和與重復數n的乘積，反映了重復n次的處理間變異，稱為處理間平方和，記為SSA，即（62）式中，為各處理內離均差平方和之和，反映了各處理內的變異即誤差，稱為處理內平方和或誤差平方和，記為SSe，即（63）第一節(jié)方差分析的基本原理所以12則有SST=SSa+SSe（64）(64)是單因素試驗結果總平方和、處理間平方和、處理內平方和的關系式。這個關系式中三種平方和的簡便計算公式如下

（65）其中，C為矯正數。第一節(jié)方差分析的基本原理則有SST=SSa+SSe13總自由度的剖分在計算總平方和時，資料中的各個觀測值要受這一條件的約束，故總自由度等于資料中觀測值的總個數減一，即an1?？傋杂啥扔洖閐fT，即dfT=an1。在計算處理間平方和時，各處理均數要受這一條件的約束，故處理間自由度為處理數減一，即a1。處理間自由度記為dft，即dfA=a1。在計算處理內平方和時，要受a個條件的約束，即（i=1,2,…,a）。故處理內自由度為資料中觀測值的總個數減a，即ana。處理內自由度記為dfe，即dfe=ana=a(n1)第一節(jié)方差分析的基本原理總自由度的剖分第一節(jié)方差分析的基本原理14因為所以

綜合以上各式得

第一節(jié)方差分析的基本原理因為第一節(jié)方差分析的基本原理15

均方差，均方(meansquare，MS)變異程度除與離均差平方和的大小有關外，還與其自由度有關，由于各部分自由度不相等，因此各部分離均差平方和不能直接比較，須將各部分離均差平方和除以相應自由度，其比值稱為均方差，簡稱均方(meansquare，MS)。組間均方和組內均方的計算公式為:

總均方一般不等于處理間均方加處理內均方。MS總≠MS組間+MS組內第一節(jié)方差分析的基本原理均方差，均方(meansquare，MS)變異程度除與16該法在科技論文中常常出現。01，推斷這個試驗的處理平均數間是有極顯著差異的。H14種肥料處理的苗高均數不相等或不全等。H0多個樣本總體均數相等。q測驗因是根據極差抽樣分布原理，其各個比較都可保證同一個顯著水平。05顯著水平，大寫字母表示=0.將平均數按大小順序排列，以第1個平均數為標準與以后各平均數比較，在平均數下方把差異不顯著的平均數用橫線連接起來，依次以第2，…，a1個平均數為標準按上述方法進行。同理，可進行4個在1％水平上的顯著性測驗，結果列于下表。01(3,18)=5.第一節(jié)方差分析的基本原理用于推斷多個總體均數有無差異誤差(處理內)自由度DFe=a(n1)=4×(61)=20查F表當V1=3，V2=20時，F0.不同肥料處理對苗木高度的影響第三節(jié)

多重比較ANOVA由英國統計學家首創(chuàng)，為紀念Fisher，以F命名，故方差分析又稱F檢驗（Ftest）。由附表4，12時，t0.不同肥料處理對苗木高度的影響不同肥料處理對苗木高度的影響(dm)F分布與F測驗（一）F分布設想我們作這樣的抽樣試驗，即在一正態(tài)總體N（μ，σ2）中隨機抽取樣本含量為n的樣本a個。此時所謂的各處理沒有真實差異，各處理只是隨機分的組。因此，和都是誤差方差的估計量。以為分母，為分子，求其比值。統計學上把兩個均方之比值稱為F值。即

F具有兩個自由度第一節(jié)方差分析的基本原理該法在科技論文中常常出現。F分布與F測驗F具有兩個自由度第一17若在給定的a和n的條件下，繼續(xù)從該總體進行一系列抽樣，則可獲得一系列的F值。這些F值所具有的概率分布稱為F分布（Fdistribution）。F分布密度曲線是隨自由度df1、df2的變化而變化的一簇偏態(tài)曲線，其形態(tài)隨著df1、df2的增大逐漸趨于對稱，如圖61所示。第一節(jié)方差分析的基本原理若在給定的a和n的條件下，繼續(xù)從該總體進行一系列抽樣，則可獲18附表5列出的是不同df1和df2下，P（F≥）=0.05和P（F≥）=0.01時的F值，即右尾概率α=0.05和α=0.01時的臨界F值，一般記作，。如查附表5，當df1=3，df2=18時，F0.05(3,18)=3.16，F0.01(3,18)=5.09，表示如以df1=dft=3，df2=dfe=18在同一正態(tài)總體中連續(xù)抽樣，則所得F值大于3.16的僅為5%，而大于5.09的僅為1%。第一節(jié)方差分析的基本原理第一節(jié)方差分析的基本原理19F檢驗附表5是專門為檢驗代表的總體方差是否比代表的總體方差大而設計的。若實際計算的F值大于，則F值在α=0.05的水平上顯著，我們以95%的可靠性(即冒5%的風險)推斷代表的總體方差大于代表的總體方差。這種用F值出現概率的大小推斷兩個總體方差是否相等的方法稱為F檢驗(Ftest)。在方差分析中所進行的F檢驗目的在于推斷處理間的差異是否存在，檢驗某項變異因素的效應方差是否為零。因此，在計算F值時總是以被檢驗因素的均方作分子，以誤差均方作分母。第一節(jié)方差分析的基本原理F檢驗第一節(jié)方差分析的基本原理20實際進行F檢驗時，是將由試驗資料所算得的F值與查附表5所得的臨界F值，相比較作出統計推斷的。若F＜，各處理間差異不顯著，在F值的右上方標記“ns”，或不標記符號；若≤F＜，各處理間差異顯著，在F值的右上方標記“*”；若F≥，各處理間差異極顯著，在F值的右上方標記“**”。第一節(jié)方差分析的基本原理實際進行F檢驗時，是將由試驗資料所算得的F值與查附表5所得的21第一節(jié)方差分析的基本原理第一節(jié)方差分析的基本原理22a:水平數n:每個處理測定重復數第一節(jié)方差分析的基本原理a:水平數n:每個處理測定重復數第一節(jié)方差分析23第一節(jié)方差分析的基本原理第一節(jié)方差分析的基本原理24這樣各平均數間，凡有一個相同標記字母的即為差異不顯著，凡沒有相同標記字母的即為差異顯著。[例37]的差異顯著性(新復極差測驗)第一節(jié)方差分析的基本原理各平均數經多重比較后，應以簡潔明了的形式將結果表示出來。即否定H0，承認H1。三種“變異”之間的關系H04種肥料處理苗高總體均數相等。處理B與A、D與B、A與C無極顯著差異；[例38]LSR值的計算(新復極差測驗)89，現實得F=11.第二節(jié)

單向分組資料的方差分析

----組內觀察值數目不等的單向分組資料的方差分析01(3,18)=5.H04種肥料處理苗高總體均數相等。01(3，16)=5.第一節(jié)方差分析的基本原理總平方和理論上，此時的組間變異與組內變異應相等，兩者的比值即統計量F為1；第三節(jié)

多重比較

----SSR檢驗法第二節(jié)

單向分組資料的方差分析第一節(jié)方差分析的基本原理這些F值所具有的概率分布稱為F分布（Fdistribution）。方差分析的基本思想根據研究目的和設計類型，將總變異中的離均差平方和SS及其自由度分別分解成相應的若干部分，然后求各相應部分的變異；再用各部分的變異與組內（或誤差）變異進行比較，得出統計量F值；最后根據F值的大小確定P值，作出統計推斷。第一節(jié)方差分析的基本原理這樣各平均數間，凡有一個相同標記字母的即為差異不顯著，凡沒有25整個方差分析的基本步驟（1）建立檢驗假設；

H0多個樣本總體均數相等。

H1多個樣本總體均數不相等或不全等。

檢驗水準為0.05。（2）計算檢驗統計量F值；（3）確定P值并作出推斷結果。第一節(jié)方差分析的基本原理整個方差分析的基本步驟第一節(jié)方差分析的基本原理26方差分析的檢驗假設H0為各樣本來自均數相等的總體，H1為各總體均數不等或不全相等。

若不拒絕H0時，可認為各樣本均數間的差異是由于抽樣誤差所致，而不是由于處理因素的作用所致。理論上，此時的組間變異與組內變異應相等，兩者的比值即統計量F為1；由于存在抽樣誤差，兩者往往不恰好相等，但相差不會太大，統計量F應接近于1。若拒絕H0，接受H1時，可認為各樣本均數間的差異，不僅是由抽樣誤差所致，還有處理因素的作用。此時的組間變異遠大于組內變異，兩者的比值即統計量F明顯大于1。在實際應用中，當統計量F值遠大于1且大于某界值時，拒絕H0，接受H1，即意味著各樣本均數間的差異，不僅是由抽樣誤差所致，還有處理因素的作用。第一節(jié)方差分析的基本原理方差分析的檢驗第一節(jié)方差分析的基本原理27欲比較毛白楊4個無性系的生長量，每個無性系隨機抽查3株，結果如下表，試判斷4個無性系間是否存在差異。[例3-3]課堂練習第一節(jié)方差分析的基本原理欲比較毛白楊4個無性系的生長量，每個無性系隨機抽查3株28不同肥料處理對苗木高度的影響[例3-2]第一節(jié)方差分析的基本原理不同肥料處理對苗木高度的影響[例3-2]第一節(jié)方差分析的291.建立檢驗假設

H04種肥料處理苗高總體均數相等。

H14種肥料處理的苗高均數不相等或不全等。2.計算檢驗統計量F值（1）自由度和平方和的分解

總變異自由度DFT=na1=6×41=23

處理間自由度DFa=a1=41=3

誤差(處理內)自由度DFe=a(n1)=4×(61)=20第一節(jié)方差分析的基本原理1.建立檢驗假設第一節(jié)方差分析的基本原理30第一節(jié)方差分析的基本原理第一節(jié)方差分析的基本原理31方差分析第一節(jié)方差分析的基本原理方差分析第一節(jié)方差分析的基本原理32（2）F測驗查F表當V1=3，V2=20時，F0.01=4.94，現實得F=8.46＞F0.01

3.作出結論推斷出這個試驗的處理平均數間是有極顯著差異的。即否定H0，承認H1。第一節(jié)方差分析的基本原理（2）F測驗第一節(jié)方差分析的基本原理33作一水稻施肥的盆栽試驗，設5個處理，A和B系分別施用兩種不同工藝流程的氨水，C施碳酸氫銨，D施尿素，E不施氮肥。每處理4盆(施肥處理的施肥量每盆皆為折合純氮1.2克)，共5×4=20盆，隨機放置于同一網室中，其稻谷產量(克/盆)列于表6.11，試測驗各處理平均數的差異顯著性。[例3-4]第一節(jié)方差分析的基本原理作一水稻施肥的盆栽試驗，設5個處理，A和B系分別施用34

水稻施肥盆栽試驗的產量結果第一節(jié)方差分析的基本原理水稻施肥盆栽試驗的產量結果第一節(jié)方差分析的基本原35分析步驟1.建立檢驗假設

H05種肥料處理水稻產量總體均數相等。

H15種肥料處理水稻產量均數不相等或不全等。2.計算檢驗統計量F值(1)自由度和平方和的分解

總變異自由度DFT=na1=5×41=19

處理間自由度DFA=k1=51=4

誤差(處理內)自由度DFe=a(n1)=5×(41)=15第一節(jié)方差分析的基本原理分析步驟第一節(jié)方差分析的基本原理36第一節(jié)方差分析的基本原理第一節(jié)方差分析的基本原理37第一節(jié)方差分析的基本原理第一節(jié)方差分析的基本原理38(2)F測驗將上述結果錄入上表,計算處理間均方對誤差均方的比率，算得F=75.3/6.73=11.19，查F表當V1=4，V2=15時，F0.01=4.89，現實得F=11.19＞F0.01

，推斷這個試驗的處理平均數間是有極顯著差異的。即否定H0，承認H1。第一節(jié)方差分析的基本原理(2)F測驗第一節(jié)方差分析的基本原理39

某林業(yè)研究所為了比較四種肥料對某一苗木施肥效果，選取了條件基本相同的苗木20株，隨機分成四組，施用不同肥料，經五個月試驗以后，各株苗木增長的結果列于下表。[例3-5]施用4種肥料對苗木高度增長量的影響第一節(jié)方差分析的基本原理某林業(yè)研究所為了比較四種肥料對某一苗木施肥效果，40這是一個單因素試驗，處理數a=4，重復數n=5。各項平方和及自由度計算如下矯正數總平方和

處理間平方和處理內平方和第一節(jié)方差分析的基本原理這是一個單因素試驗，處理數a=4，重復數n=5。各項平方和及41總自由度處理間自由度處理內自由度用SSa、SSe分別除以dfa和dfe便得到處理間均方MSa及處理內均方MSe。第一節(jié)方差分析的基本原理總自由度第一節(jié)方差分析的基本原理42因為F=MSa/MSe=38.09/5.34=7.13；根據df1=dft=3，df2=dfe=16查附表5，得F＞F0.01(3，16)=5.29,

表明四種肥料對苗高的增長效果差異極顯著。在方差分析中，通常將變異來源、平方和、自由度、均方和F值歸納成一張方差分析表。表中的F值應與相應的被檢驗因素齊行。因為經F檢驗差異極顯著，故在F值7.13右上方標記“**”。在實際進行方差分析時，只須計算出各項平方和與自由度，各項均方的計算及F值檢驗可在方差分析表上進行。第一節(jié)方差分析的基本原理因為F=MSa/MSe=38.09/5.34=7.43第三章不同肥料處理對苗木高度的影響[例3-2]第二節(jié)

單向分組資料的方差分析比較例3-2、3-6有什么不同----組內觀察值數目相等的單向分組資料的方差分析第三章不同肥料處理對苗木高度的影響[例3-2]第二節(jié)

單44每處理4盆(施肥處理的施肥量每盆皆為折合純氮1.第一節(jié)方差分析的基本原理此時所謂的各處理沒有真實差異，各處理只是隨機分的組。第三節(jié)

多重比較

最小顯著差數法（LSD法）4Options——Descriptive——meansplot——Excludecasesanalysisbyanalysis式中，為各處理平均數與總平均數的離均差平方和與重復數n的乘積，反映了重復n次的處理間變異，稱為處理間平方和，記為SSA，即01(3，16)=5.該資料=7+6+8+7=28

故用SSa、SSe分別除以dfa和dfe便得到處理間均方MSa及處理內均方MSe。在計算處理內平方和時，要受a個條件的約束，即這樣各平均數間，凡有一個相同標記字母的即為差異不顯著，凡沒有相同標記字母的即為差異顯著?？傋杂啥扔洖閐fT，即dfT=an1。該法在科技論文中常常出現。總均方一般不等于處理間均方加處理內均方。(64)是單因素試驗結果總平方和、處理間平方和、處理內平方和的關系式。標準差（standarddeviation）是隨機誤差的代表，是隨機誤差絕對值的統計均值。不同秩次距p下的最小顯著極差變幅比較大，為此，D.[例38]

試以LSD法測驗各種藥劑處理的苗高平均數間的差異顯著性。LSD0.不同肥料處理對苗木高度的影響(dm)第二節(jié)

單向分組資料的方差分析[例3-6]----組內觀察值數目不等的單向分組資料的方差分析每處理4盆(施肥處理的施肥量每盆皆為折合純氮1.不同肥料處理45組內觀察值數目相等的單向分組資料的方差分析在a組處理中，每處理皆含有n個供試單位的資料。n1=n2=n3=n4=…ni=n第二節(jié)

單向分組資料的方差分析組內觀察值數目不等的單向分組資料的方差分析若a個處理中的觀察值數目不等，分別為n1，n2，…，na，在方差分析時有關公式因ni不相同而需作相應改變。

組內觀察值數目相等的單向分組資料的方差分析第二節(jié)

單向46若a個處理中的觀察值數目不等，分別為n1，n2，…，na，在方差分析時有關公式因ni不相同而需作相應改變。主要區(qū)別點如下

自由度和平方和的分解第二節(jié)

單向分組資料的方差分析

----組內觀察值數目不等的單向分組資料的方差分析

總變異自由度組間變異自由度組內變異自由度若a個處理中的觀察值數目不等，分別為n1，n2，…，na，在47第二節(jié)

單向分組資料的方差分析

----組內觀察值數目不等的單向分組資料的方差分析

第二節(jié)

單向分組資料的方差分析

----組內觀察值數目不48不同肥料處理對苗木高度的影響(dm)第二節(jié)

單向分組資料的方差分析

----組內觀察值數目不等的單向分組資料的方差分析

[例3-6]不同肥料處理對苗木高度的影響(dm)第二節(jié)

單向分組資49建立檢驗假設

H04種肥料處理苗高總體均數相等。

H14種肥料處理的苗高均數不相等或不全等。第二節(jié)

單向分組資料的方差分析

----組內觀察值數目不等的單向分組資料的方差分析

建立檢驗假設第二節(jié)

單向分組資料的方差分析

----組內50矯正系數總平方和處理間平方和處理間平方和組內離均差平方和第二節(jié)

單向分組資料的方差分析

----組內觀察值數目不等的單向分組資料的方差分析

矯正系數總平方和處理間平方和處理間平方和組內離均51該資料=6+6+7+7=26

故總變異自由度DFT=Σni1=261=25不同肥料處理間自由度DFa=a1=41=3誤差自由度DFe=Σnik=253=22第二節(jié)

單向分組資料的方差分析

----組內觀察值數目不等的單向分組資料的方差分析

該資料=6+6+7+7=26

故第二節(jié)

52處理間均方處理內均方方差分析表第二節(jié)

單向分組資料的方差分析

----組內觀察值數目不等的單向分組資料的方差分析

處理間均方處理內均方方差分析表第二節(jié)

單向分組資料的方53標準差與標準誤標準差（standarddeviation）是隨機誤差的代表，是隨機誤差絕對值的統計均值。標準誤（standarderror）是在抽樣試驗中常用到的樣本平均數的標準差，也就是樣本平均數的標準誤，簡稱為標準誤。標準差表示個體間變異大小的指標，是衡量數據精密程度的指標。標準誤反映樣本均數對總體均數的變異程度，是度量結果精密度的指標。標準誤=Excel中只有計算standdeviation的公式（=stdev()），沒有計算standerror的函數。

標準差與標準誤標準差（standarddeviation）54第三方差分析課件55[例37]

某病蟲測報站，調查四種不同類型的水稻田28塊，每塊田所得稻縱卷葉螟的百叢蟲口密度列于下表，試問不同類型稻田的蟲口密度有否顯著差異？不同類型稻田縱卷葉螟的蟲口密度

第二節(jié)

單向分組資料的方差分析

----組內觀察值數目不等的單向分組資料的方差分析

[例37]

某病蟲測報站，調查四種不同類型的水稻田28塊，56該資料=7+6+8+7=28

故總變異自由度DFT=Σni1=281=27稻田類型間自由度DFa=a1=41=3誤差自由度DFe=Σnik=273=24第二節(jié)

單向分組資料的方差分析

----組內觀察值數目不等的單向分組資料的方差分析

該資料=7+6+8+7=28

故第二節(jié)

57制作多重比較表進行判斷19，查F表當V1=4，V2=15時，F0.第三節(jié)

多重比較

----多重比較結果表示方法第一節(jié)方差分析的基本原理將全部平均數從大到小順次排列，然后算出各平均數間的差數。01(3，16)=5.第一節(jié)方差分析的基本原理因為F=MSa/MSe=38.01時的F值，即右尾概率α=0.總自由度記為dfT，即dfT=an1。H04種肥料處理苗高總體均數相等?？傋杂啥扔洖閐fT，即dfT=an1。以為分母，為分子，求其比值。第一節(jié)方差分析的基本原理總自由度記為dfT，即dfT=an1。實際進行F檢驗時，是將由試驗資料所算得的F值與查附表5所得的臨界F值，相比較作出統計推斷的。誤差自由度DFe=Σnik=273=24附表5是專門為檢驗代表的總體方差是否比代表的總體方差大而設計的。01，即4塊麥田的蟲口密度間有極顯著差異。第一節(jié)方差分析的基本原理即否定H0，承認H1。SSaSSe=226.11-96.13=129.98第二節(jié)

單向分組資料的方差分析

----組內觀察值數目不等的單向分組資料的方差分析

制作多重比較表進行判斷SSaSSe=226.11-96.1358方差分析F=5.91＞F0.01，即4塊麥田的蟲口密度間有極顯著差異。F測驗顯著。4塊麥田的蟲口密度間是否兩兩都存在差異？---多重比較第二節(jié)

單向分組資料的方差分析

----組內觀察值數目不等的單向分組資料的方差分析

方差分析F=5.91＞F0.01，即4塊麥田的蟲口密度間有極59不拒絕H0，表示拒絕總體均數相等的證據不足

————>分析終止。拒絕H0，接受H1,表示總體均數不全相等哪兩兩均數之間相等？哪兩兩均數之間不等？

————>需要進一步作多重比較。

第三節(jié)

多重比較(Multiplecomparisons)

不拒絕H0，表示拒絕總體均數相等的證據不足 第三節(jié)

多重比60

第三節(jié)

多重比較定義對有些試驗來說，其目的不僅在于了解一組處理間總體上有無實質性差異，更在于了解哪些處理間存在真實差異，故需進一步做處理平均數間的比較。一個試驗中a個處理平均數間可能有a(a1)/2個比較，因而這種比較是復式比較亦稱為多重比較。 第三節(jié)

多重比較定義61最小顯著差數法：leastsignificantdifference，簡稱LSD最小顯著極差法：leastsignificantrange，簡稱LSR

第三節(jié)

多重比較q法SSR法最小顯著差數法：leastsignificantdif62

第三節(jié)

多重比較基本思路：尋找尺子，然后丈量處理間平均數的差異

63計算程序計算最小顯著差數標準（）由所具的自由度查t值表，獲得值，計算

制作多重比較表進行判斷將各處理平均數按大小順序排列，制作多重比較表。若顯著；否則，則不顯著。 第三節(jié)

多重比較

最小顯著差數法（LSD法）若兩處理樣本數相等計算程序 第三節(jié)

多重比較

最小顯著差數法（LSD法）若64

[例38]

試以LSD法測驗各種藥劑處理的苗高平均數間的差異顯著性。不同藥劑處理的苗高（cm） 第三節(jié)

多重比較

最小顯著差數法（LSD法）

[例38]

試以LSD法測驗各種藥劑處理的苗高平均數間的65 第三節(jié)

多重比較

最小顯著差數法（LSD法） 第三節(jié)

多重比較

最小顯著差數法（LSD法）66 第三節(jié)

多重比較

最小顯著差數法（LSD法）F=20.56為顯著，MSe=8.17，dfe=12，由附表4，12時，t0.05（12）=2.179，t0.01（12）

=3.055故LSD0.05=2.179×2.02=4.40(cm)；

LSD0.01=3.055×2.02=6.17(cm) 第三節(jié)

多重比較

最小顯著差數法（LSD法）F=20.67

q法，也稱Student-Newman-Keuls（S-N-K），是1953年提出的，根據q值的抽樣分布作出統計推論。

q測驗方法是將一組a個平均數由大到小排列后，根據所比較的兩個處理平均數的差數是幾個平均數間的極差分別確定最小顯著極差值。q測驗因是根據極差抽樣分布原理，其各個比較都可保證同一個顯著水平。第三節(jié)

多重比較

----q檢驗法q法，也稱Student-Newman-K68誤差(處理內)自由度DFe=a(n1)=4×(61)=20用于推斷多個總體均數有無差異29,表明四種肥料對苗高的增長效果差異極顯著。處理間自由度施用4種肥料對苗木高度增長量的影響第一節(jié)方差分析的基本原理[例38]的差異顯著性(新復極差測驗)第一節(jié)方差分析的基本原理組間變異（betweengroupvariation）各組的均數與總均數間的差異比較例3-2、3-6有什么不同（2）計算檢驗統計量F值；第一節(jié)方差分析的基本原理總平方和H14種肥料處理的苗高均數不相等或不全等。第一節(jié)方差分析的基本原理理論上，此時的組間變異與組內變異應相等，兩者的比值即統計量F為1；n1=n2=n3=n4=…ni=n該法在科技論文中常常出現。56為顯著，MSe=8.計算程序計算最小顯著差數標準（）由自由度查q值表，獲得值，計算

制作多重比較表進行判斷將各處理平均數按大小順序排列，制作多重比較表。若顯著；若則不顯著。 第三節(jié)

多重比較

q檢驗法誤差(處理內)自由度DFe=a(n1)=4×(61)=20計69式中2≤p≤a，p是所有比較的平均數按大到小順序排列所計算出的兩極差范圍內所包含的平均數個數(稱為秩次距)，SE為平均數的標準誤，可見在每一顯著水平下該法有a1個尺度值。平均數比較時，尺度值隨秩次距的不同而異。 第三節(jié)

多重比較

q檢驗法式中2≤p≤a，p是所有比較的平均數按大到小順序排列所計算出70

[例38]

以q法測驗各種藥劑處理的苗高平均數間的差異顯著性不同藥劑處理的苗高（cm） 第三節(jié)

多重比較

----q檢驗法

[例38]

以q法測驗各種藥劑處理的苗高平均數間的差異顯71

第三節(jié)

多重比較

----q檢驗法 第三節(jié)

多重比較

----q檢驗法72查附表7q值表，當DFe=12時，p=2，3，4的值，并計算出尺度值，列于下表。 第三節(jié)

多重比較

q檢驗法 第三節(jié)

多重比較

q檢驗法73值的計算(q測驗)第三節(jié)

多重比較

----q檢驗法單位：cm值的計算(q測驗)第三節(jié)

多重比較

74將平均數由大到小排序，=29cm，=23cm，=18cm，=14cm。由此可得到第三節(jié)

多重比較

----q檢驗法在平均數的差值后，標注**、*或ns是否簡便些？將平均數由大到小排序，=29cm，=23cm，75

不同秩次距p下的最小顯著極差變幅比較大，為此，D.B.Duncan(1955)提出了新復極差法，又稱最短顯著極差法。該法與q法相似，其區(qū)別在于計算最小顯著極差時不是查q表而是查SSR表，所得最小顯著極差值隨著k增大通常比q測驗時減小。查得后，有第三節(jié)

多重比較

----SSR檢驗法第三節(jié)

多重比較

76試對[例38]各平均數作新復極差測驗。已知=29cm，=23cm，=18cm，=14cm，MSe=8.17，n=4查附表8，得值，算得在p=2，3，4時的值，即為測驗不同p時的平均數間極差顯著性的尺度值。第三節(jié)

多重比較

----SSR檢驗法試對[例38]各平均數作新復極差測驗。第三節(jié)

多重比較77[例38]LSR值的計算(新復極差測驗)第三節(jié)

多重比較

----SSR檢驗法[例38]LSR值的計算(新復極差測驗)第三節(jié)

多重比78結論[例38]4個處理的苗高，除處理A與C差異不顯著外，其余處理間均達顯著差異，本例結果與上面介紹的q測驗法相同，但q法的要比新復極差法的大。第三節(jié)

多重比較

----SSR檢驗法結論[例38]4個處理的苗高，除處理A與C差異不顯著外，79第三節(jié)

多重比較

----多重比較方法的選擇第三節(jié)

多重比較

80a=2時，LSD、SSR、q測驗的顯著尺度完全相同，并且SSRa=qa。a>2時，三種方法的檢驗尺度不同，LSD最低，SSR居中，q最高。思考LSD尺度與SSR、q法尺度個數使用方法有何差異？第三節(jié)

多重比較

----多重比較方法的選擇a=2時，LSD、SSR、q測驗的顯著尺度完全相同，并且SS81各平均數經多重比較后，應以簡潔明了的形式將結果表示出來。常用的表示方法有(一)

列梯形表法將全部平均數從大到小順次排列，然后算出各平均數間的差數。凡達到α=0.05水平的差數在右上角標一個“*”號，凡達到α=0.01水平的差數在右上角標“**”號，凡未達到α=0.05水平的差數則不予標記。若以列梯形表法表示，則成下表。第三節(jié)

多重比較

----多重比較結果表示方法各平均數經多重比較后，應以簡潔明了的形式將結果表示出82[例37]的差異顯著性(新復極差測驗)該法十分直觀，但占篇幅較大，特別是處理平均數較多時。因此，在科技論文中少見。

第三節(jié)

多重比較

----多重比較結果表示方法[例37]的差異顯著性(新復極差測驗)該法十分直觀，但占篇幅83(二)

劃線法將平均數按大小順序排列，以第1個平均數為標準與以后各平均數比較，在平均數下方把差異不顯著的平均數用橫線連接起來，依次以第2，…，a1個平均數為標準按上述方法進行。這種方法稱劃線法。下面就是[例57]用劃線法標出0.01水平下平均數差異顯著性結果(q法)。該法直觀、簡單方便，所占篇幅也較少。

第三節(jié)

多重比較

----多重比較結果表示方法(二)

劃線法該法直觀、簡單方便，所占篇幅也較少。第三節(jié)84(三)

標記字母法首先將全部平均數從大到小依次排列；然后在最大的平均數上標上字母a；并將該平均數與以下各平均數相比，凡相差不顯著的，都標上字母a，直至某一個與之相差顯著的平均數則標以字母b(向下過程)；再以該標有b的平均數為標準，與上方各個比它大的平均數比，凡不顯著的也一律標以字母b(向上過程)；再以該標有b的最大平均數為標準，與以下各未標記的平均數比，凡不顯著的繼續(xù)標以字母b，直至某一個與之相差顯著的平均數則標以字母c。……如此重復進行下去，直至最小的一個平均數有了標記字母且與以上平均數進行了比較為止。這樣各平均數間，凡有一個相同標記字母的即為差異不顯著，凡沒有相同標記字母的即為差異顯著。

第三節(jié)

多重比較

----多重比較結果表示方法(三)

標記字母法第三節(jié)

多重比較

85在實際應用時，往往還需區(qū)分=0.05水平上顯著和=0.01水平上顯著。這時可以小寫字母表示=0.05顯著水平，大寫字母表示=0.01顯著水平。該法在科技論文中常常出現。試對[例57]測驗結果作出字母標記。在下表先將各平均數按大小順序排列，并在行上標a。由于與呈顯著差異，故上標b。然后以為標準與相比呈顯著差異，故標c。以為標準與比，無顯著差異，仍標c。同理，可進行4個在1％水平上的顯著性測驗，結果列于下表。第三節(jié)

多重比較

----多重比較結果表示方法在實際應用時，往往還需區(qū)分=0.05水平上顯著和=0.01水86[例38]的差異顯著性(新復極差測驗)該試驗除A與C處理無顯著差異外，D與B及A、C處理間差異顯著性達到=0.05水平。處理B與A、D與B、A與C無極顯著差異；D與A、C，B與C呈極顯著差異。第三節(jié)

多重比較

----多重比較結果表示方法[例38]的差異顯著性(新復極差測驗)該試驗除A與C處理無87SPSS計算過程1建立數表：將處理視為因素A，將因變量值對應輸入。2ANALYZE——Comparemeans—OnewayanovaDependent(因變量）Factor（自變量）3PostHocmultiple—LSD、S-N-K、Duncan4Options——Descriptive——meansplot——Excludecasesanalysisbyanalysis第二節(jié)

單向分組資料的方差分析

以5-7為例SPSS計算過程第二節(jié)

單向分組資料的方差分析

以5-788

某林業(yè)研究所為了比較四種肥料對某一苗木施肥效果，選取了條件基本相同的苗木20株，隨機分成四組，施用不同肥料，經五個月試驗以后，各株苗木增長的結果列于下表。[例3-7]施用4種肥料對苗木高度增長量的影響第三節(jié)

多重比較

----例題某林業(yè)研究所為了比較四種肥料對某一苗木施肥效果，89第三節(jié)

多重比較

----例題試用LSD法、q法、SSR法分別對上述結果進行顯著性和極顯著性判斷。第三節(jié)

多重比較

90第三方差分析第三方差分析91（優(yōu)選）第三方差分析（優(yōu)選）第三方差分析92第一節(jié)方差分析的基本原理[例3-1]第一節(jié)方差分析的基本原理[例3-1]93第一節(jié)方差分析的基本原理不同肥料處理對苗木高度的影響[例3-2]總差異組內差異組間差異抽樣誤差處理誤差第一節(jié)方差分析的基本原理不同肥料處理對苗木高度的影響[例94總變異（Totalvariation）全部測量值與總均數間的差異組間變異（betweengroupvariation）各組的均數與總均數間的差異組內變異（withingroupvariation)每組的每個測量值與該組均數的差異YijYij第一節(jié)方差分析的基本原理YijYij第一節(jié)方差分析的基本原理95第一節(jié)方差分析的基本原理將所有測量值間的總變異按照其變異的來源分解為多個部分，然后進行比較，評價由某種因素所引起的變異是否具有統計學意義。第一節(jié)方差分析的基本原理將所有測量值間的總變異按照其變異96組間變異總變異組內變異第一節(jié)方差分析的基本原理組間變異總變異組內變異第一節(jié)方差分析的基本原理97

ANOVA由英國統計學家首創(chuàng)，為紀念Fisher，以F命名，故方差分析又稱F檢驗（Ftest）。用于推斷多個總體均數有無差異第一節(jié)方差分析的基本原理ANOVA由英國統計學家首創(chuàng)，為紀念Fisher，98

將總變異分解為處理間變異和處理內變異，就是要將總均方分解為處理間均方和處理內均方?？傠x均差平方和，簡稱為總平方和，剖分成處理間平方和與處理內平方和兩部分；總自由度，剖分成處理間自由度與處理內自由度兩部分來實現的。第一節(jié)方差分析的基本原理將總變異分解為處理間變異和處理內變異，就是要將總均方99三種“變異”之間的關系離均差平方和分解：第一節(jié)方差分析的基本原理三種“變異”之間的關系第一節(jié)方差分析的基本原理100不同秩次距p下的最小顯著極差變幅比較大，為此，D.1建立數表：將處理視為因素A，將因變量值對應輸入。H14種肥料處理的苗高均數不相等或不全等。即否定H0，承認H1。若以列梯形表法表示，則成下表。若實際計算的F值大于，則F值在α=0.（65）01(3,18)=5.第三節(jié)

多重比較

----多重比較結果表示方法如查附表5，當df1=3，df2=18時，第一節(jié)方差分析的基本原理19，查F表當V1=4，V2=15時，F0.附表5是專門為檢驗代表的總體方差是否比代表的總體方差大而設計的?！?gt;需要進一步作多重比較。56為顯著，MSe=8.總平方和的剖分反映全部觀測值總變異的總平方和是各觀測值xij與總平均數的離均差平方和，記為SST。即因為

其中第一節(jié)方差分析的基本原理不同秩次距p下的最小顯著極差變幅比較大，為此，D.總平方和的101所以（61）式中，為各處理平均數與總平均數的離均差平方和與重復數n的乘積，反映了重復n次的處理間變異，稱為處理間平方和，記為SSA，即（62）式中，為各處理內離均差平方和之和，反映了各處理內的變異即誤差，稱為處理內平方和或誤差平方和，記為SSe，即（63）第一節(jié)方差分析的基本原理所以102則有SST=SSa+SSe（64）(64)是單因素試驗結果總平方和、處理間平方和、處理內平方和的關系式。這個關系式中三種平方和的簡便計算公式如下

（65）其中，C為矯正數。第一節(jié)方差分析的基本原理則有SST=SSa+SSe103總自由度的剖分在計算總平方和時，資料中的各個觀測值要受這一條件的約束，故總自由度等于資料中觀測值的總個數減一，即an1?？傋杂啥扔洖閐fT，即dfT=an1。在計算處理間平方和時，各處理均數要受這一條件的約束，故處理間自由度為處理數減一，即a1。處理間自由度記為dft，即dfA=a1。在計算處理內平方和時，要受a個條件的約束，即（i=1,2,…,a）。故處理內自由度為資料中觀測值的總個數減a，即ana。處理內自由度記為dfe，即dfe=ana=a(n1)第一節(jié)方差分析的基本原理總自由度的剖分第一節(jié)方差分析的基本原理104因為所以

綜合以上各式得

第一節(jié)方差分析的基本原理因為第一節(jié)方差分析的基本原理105

均方差，均方(meansquare，MS)變異程度除與離均差平方和的大小有關外，還與其自由度有關，由于各部分自由度不相等，因此各部分離均差平方和不能直接比較，須將各部分離均差平方和除以相應自由度，其比值稱為均方差，簡稱均方(meansquare，MS)。組間均方和組內均方的計算公式為:

總均方一般不等于處理間均方加處理內均方。MS總≠MS組間+MS組內第一節(jié)方差分析的基本原理均方差，均方(meansquare，MS)變異程度除與106該法在科技論文中常常出現。01，推斷這個試驗的處理平均數間是有極顯著差異的。H14種肥料處理的苗高均數不相等或不全等。H0多個樣本總體均數相等。q測驗因是根據極差抽樣分布原理，其各個比較都可保證同一個顯著水平。05顯著水平，大寫字母表示=0.將平均數按大小順序排列，以第1個平均數為標準與以后各平均數比較，在平均數下方把差異不顯著的平均數用橫線連接起來，依次以第2，…，a1個平均數為標準按上述方法進行。同理，可進行4個在1％水平上的顯著性測驗，結果列于下表。01(3,18)=5.第一節(jié)方差分析的基本原理用于推斷多個總體均數有無差異誤差(處理內)自由度DFe=a(n1)=4×(61)=20查F表當V1=3，V2=20時，F0.不同肥料處理對苗木高度的影響第三節(jié)

多重比較ANOVA由英國統計學家首創(chuàng)，為紀念Fisher，以F命名，故方差分析又稱F檢驗（Ftest）。由附表4，12時，t0.不同肥料處理對苗木高度的影響不同肥料處理對苗木高度的影響(dm)F分布與F測驗（一）F分布設想我們作這樣的抽樣試驗，即在一正態(tài)總體N（μ，σ2）中隨機抽取樣本含量為n的樣本a個。此時所謂的各處理沒有真實差異，各處理只是隨機分的組。因此，和都是誤差方差的估計量。以為分母，為分子，求其比值。統計學上把兩個均方之比值稱為F值。即

F具有兩個自由度第一節(jié)方差分析的基本原理該法在科技論文中常常出現。F分布與F測驗F具有兩個自由度第一107若在給定的a和n的條件下，繼續(xù)從該總體進行一系列抽樣，則可獲得一系列的F值。這些F值所具有的概率分布稱為F分布（Fdistribution）。F分布密度曲線是隨自由度df1、df2的變化而變化的一簇偏態(tài)曲線，其形態(tài)隨著df1、df2的增大逐漸趨于對稱，如圖61所示。第一節(jié)方差分析的基本原理若在給定的a和n的條件下，繼續(xù)從該總體進行一系列抽樣，則可獲108附表5列出的是不同df1和df2下，P（F≥）=0.05和P（F≥）=0.01時的F值，即右尾概率α=0.05和α=0.01時的臨界F值，一般記作，。如查附表5，當df1=3，df2=18時，F0.05(3,18)=3.16，F0.01(3,18)=5.09，表示如以df1=dft=3，df2=dfe=18在同一正態(tài)總體中連續(xù)抽樣，則所得F值大于3.16的僅為5%，而大于5.09的僅為1%。第一節(jié)方差分析的基本原理第一節(jié)方差分析的基本原理109F檢驗附表5是專門為檢驗代表的總體方差是否比代表的總體方差大而設計的。若實際計算的F值大于，則F值在α=0.05的水平上顯著，我們以95%的可靠性(即冒5%的風險)推斷代表的總體方差大于代表的總體方差。這種用F值出現概率的大小推斷兩個總體方差是否相等的方法稱為F檢驗(Ftest)。在方差分析中所進行的F檢驗目的在于推斷處理間的差異是否存在，檢驗某項變異因素的效應方差是否為零。因此，在計算F值時總是以被檢驗因素的均方作分子，以誤差均方作分母。第一節(jié)方差分析的基本原理F檢驗第一節(jié)方差分析的基本原理110實際進行F檢驗時，是將由試驗資料所算得的F值與查附表5所得的臨界F值，相比較作出統計推斷的。若F＜，各處理間差異不顯著，在F值的右上方標記“ns”，或不標記符號；若≤F＜，各處理間差異顯著，在F值的右上方標記“*”；若F≥，各處理間差異極顯著，在F值的右上方標記“**”。第一節(jié)方差分析的基本原理實際進行F檢驗時，是將由試驗資料所算得的F值與查附表5所得的111第一節(jié)方差分析的基本原理第一節(jié)方差分析的基本原理112a:水平數n:每個處理測定重復數第一節(jié)方差分析的基本原理a:水平數n:每個處理測定重復數第一節(jié)方差分析113第一節(jié)方差分析的基本原理第一節(jié)方差分析的基本原理114這樣各平均數間，凡有一個相同標記字母的即為差異不顯著，凡沒有相同標記字母的即為差異顯著。[例37]的差異顯著性(新復極差測驗)第一節(jié)方差分析的基本原理各平均數經多重比較后，應以簡潔明了的形式將結果表示出來。即否定H0，承認H1。三種“變異”之間的關系H04種肥料處理苗高總體均數相等。處理B與A、D與B、A與C無極顯著差異；[例38]LSR值的計算(新復極差測驗)89，現實得F=11.第二節(jié)

單向分組資料的方差分析

----組內觀察值數目不等的單向分組資料的方差分析01(3,18)=5.H04種肥料處理苗高總體均數相等。01(3，16)=5.第一節(jié)方差分析的基本原理總平方和理論上，此時的組間變異與組內變異應相等，兩者的比值即統計量F為1；第三節(jié)

多重比較

----SSR檢驗法第二節(jié)

單向分組資料的方差分析第一節(jié)方差分析的基本原理這些F值所具有的概率分布稱為F分布（Fdistribution）。方差分析的基本思想根據研究目的和設計類型，將總變異中的離均差平方和SS及其自由度分別分解成相應的若干部分，然后求各相應部分的變異；再用各部分的變異與組內（或誤差）變異進行比較，得出統計量F值；最后根據F值的大小確定P值，作出統計推斷。第一節(jié)方差分析的基本原理這樣各平均數間，凡有一個相同標記字母的即為差異不顯著，凡沒有115整個方差分析的基本步驟（1）建立檢驗假設；

H0多個樣本總體均數相等。

H1多個樣本總體均數不相等或不全等。

檢驗水準為0.05。（2）計算檢驗統計量F值；（3）確定P值并作出推斷結果。第一節(jié)方差分析的基本原理整個方差分析的基本步驟第一節(jié)方差分析的基本原理116方差分析的檢驗假設H0為各樣本來自均數相等的總體，H1為各總體均數不等或不全相等。

若不拒絕H0時，可認為各樣本均數間的差異是由于抽樣誤差所致，而不是由于處理因素的作用所致。理論上，此時的組間變異與組內變異應相等，兩者的比值即統計量F為1；由于存在抽樣誤差，兩者往往不恰好相等，但相差不會太大，統計量F應接近于1。若拒絕H0，接受H1時，可認為各樣本均數間的差異，不僅是由抽樣誤差所致，還有處理因素的作用。此時的組間變異遠大于組內變異，兩者的比值即統計量F明顯大于1。在實際應用中，當統計量F值遠大于1且大于某界值時，拒絕H0，接受H1，即意味著各樣本均數間的差異，不僅是由抽樣誤差所致，還有處理因素的作用。第一節(jié)方差分析的基本原理方差分析的檢驗第一節(jié)方差分析的基本原理117欲比較毛白楊4個無性系的生長量，每個無性系隨機抽查3株，結果如下表，試判斷4個無性系間是否存在差異。[例3-3]課堂練習第一節(jié)方差分析的基本原理欲比較毛白楊4個無性系的生長量，每個無性系隨機抽查3株118不同肥料處理對苗木高度的影響[例3-2]第一節(jié)方差分析的基本原理不同肥料處理對苗木高度的影響[例3-2]第一節(jié)方差分析的1191.建立檢驗假設

H04種肥料處理苗高總體均數相等。

H14種肥料處理的苗高均數不相等或不全等。2.計算檢驗統計量F值（1）自由度和平方和的分解

總變異自由度DFT=na1=6×41=23

處理間自由度DFa=a1=41=3

誤差(處理內)自由度DFe=a(n1)=4×(61)=20第一節(jié)方差分析的基本原理1.建立檢驗假設第一節(jié)方差分析的基本原理120第一節(jié)方差分析的基本原理第一節(jié)方差分析的基本原理121方差分析第一節(jié)方差分析的基本原理方差分析第一節(jié)方差分析的基本原理122（2）F測驗查F表當V1=3，V2=20時，F0.01=4.94，現實得F=8.46＞F0.01

3.作出結論推斷出這個試驗的處理平均數間是有極顯著差異的。即否定H0，承認H1。第一節(jié)方差分析的基本原理（2）F測驗第一節(jié)方差分析的基本原理123作一水稻施肥的盆栽試驗，設5個處理，A和B系分別施用兩種不同工藝流程的氨水，C施碳酸氫銨，D施尿素，E不施氮肥。每處理4盆(施肥處理的施肥量每盆皆為折合純氮1.2克)，共5×4=20盆，隨機放置于同一網室中，其稻谷產量(克/盆)列于表6.11，試測驗各處理平均數的差異顯著性。[例3-4]第一節(jié)方差分析的基本原理作一水稻施肥的盆栽試驗，設5個處理，A和B系分別施用124

水稻施肥盆栽試驗的產量結果第一節(jié)方差分析的基本原理水稻施肥盆栽試驗的產量結果第一節(jié)方差分析的基本原125分析步驟1.建立檢驗假設

H05種肥料處理水稻產量總體均數相等。

H15種肥料處理水稻產量均數不相等或不全等。2.計算檢驗統計量F值(1)自由度和平方和的分解

總變異自由度DFT=na1=5×41=19

處理間自由度DFA=k1=51=4

誤差(處理內)自由度DFe=a(n1)=5×(41)=15第一節(jié)方差分析的基本原理分析步驟第一節(jié)方差分析的基本原理126第一節(jié)方差分析的基本原理第一節(jié)方差分析的基本原理127第一節(jié)方差分析的基本原理第一節(jié)方差分析的基本原理128(2)F測驗將上述結果錄入上表,計算處理間均方對誤差均方的比率，算得F=75.3/6.73=11.19，查F表當V1=4，V2=15時，F0.01=4.89，現實得F=11.19＞F0.01

，推斷這個試驗的處理平均數間是有極顯著差異的。即否定H0，承認H1。第一節(jié)方差分析的基本原理(2)F測驗第一節(jié)方差分析的基本原理129

某林業(yè)研究所為了比較四種肥料對某一苗木施肥效果，選取了條件基本相同的苗木20株，隨機分成四組，施用不同肥料，經五個月試驗以后，各株苗木增長的結果列于下表。[例3-5]施用4種肥料對苗木高度增長量的影響第一節(jié)方差分析的基本原理某林業(yè)研究所為了比較四種肥料對某一苗木施肥效果，130這是一個單因素試驗，處理數a=4，重復數n=5。各項平方和及自由度計算如下矯正數總平方和

處理間平方和處理內平方和第一節(jié)方差分析的基本原理這是一個單因素試驗，處理數a=4，重復數n=5。各項平方和及131總自由度處理間自由度處理內自由度用SSa、SSe分別除以dfa和dfe便得到處理間均方MSa及處理內均方MSe。第一節(jié)方差分析的基本原理總自由度第一節(jié)方差分析的基本原理132因為F=MSa/MSe=38.09/5.34=7.13；根據df1=dft=3，df2=dfe=16查附表5，得F＞F0.01(3，16)=5.29,

表明四種肥料對苗高的增長效果差異極顯著。在方差分析中，通常將變異來源、平方和、自由度、均方和F值歸納成一張方差分析表。表中的F值應與相應的被檢驗因素齊行。因為經F檢驗差異極顯著，故在F值7.13右上方標記“**”。在實際進行方差分析時，只須計算出各項平方和與自由度，各項均方的計算及F值檢驗可在方差分析表上進行。第一節(jié)方差分析的基本原理因為F=MSa/MSe=38.09/5.34=7.133第三章不同肥料處理對苗木高度的影響[例3-2]第二節(jié)

單向分組資料的方差分析比較例3-2、3-6有什么不同----組內觀察值數目相等的單向分組資料的方差分析第三章不同肥料處理對苗木高度的影響[例3-2]第二節(jié)

單134每處理4盆(施肥處理的施肥量每盆皆為折合純氮1.第一節(jié)方差分析的基本原理此時所謂的各處理沒有真實差異，各處理只是隨機分的組。第三節(jié)

多重比較

最小顯著差數法（LSD法）4Options——Descriptive——meansplot——Excludecasesanalysisbyanalysis式中，為各處理平均數與總平均數的離均差平方和與重復數n的乘積，反映了重復n次的處理間變異，稱為處理間平方和，記為SSA，即01(3，16)=5.該資料=7+6+8+7=28

故用SSa、SSe分別除以dfa和dfe便得到處理間均方MSa及處理內均方MSe。在計算處理內平方和時，要受a個條件的約束，即這樣各平均數間，凡有一個相同標記字母的即為差異不顯著，凡沒有相同標記字母的即為差異顯著。總自由度記為dfT，即dfT=an1。該法在科技論文中常常出現?？偩揭话悴坏扔谔幚黹g均方加處理內均方。(64)是單因素試驗結果總平方和、處理間平方和、處理內平方和的關系式。標準差（standarddeviation）是隨機誤差的代表，是隨機誤差絕對值的統計均值。不同秩次距p下的最小顯著極差變幅比較大，為此，D.[例38]

試以LSD法測驗各種藥劑處理的苗高平均數間的差異顯著性。LSD0.不同肥料處理對苗木高度的影響(dm)第二節(jié)

單向分組資料的方差分析[例3-6]----組內觀察值數目不等的單向分組資料的方差分析每處理4盆(施肥處理的施肥量每盆皆為折合純氮1.不同肥料處理135組內觀察值數目相等的單向分組資料的方差分析在a組處理中，每處理皆含有n個供試單位的資料。n1=n2=n3=n4=…ni=n第二節(jié)

單向分組資料的方差分析組內觀察值數目不等的單向分組資料的方差分析若a個處理中的觀察值數目不等，分別為n1，n2，…，na，在方差分析時有關公式因ni不相同而需作相應改變。

組內觀察值數目相等的單向分組資料的方差分析第二節(jié)

單向136若a個處理中的觀察值數目不等，分別為n1，n2，…，na，在方差分析時有關公式因ni不相同而需作相應改變。主要區(qū)