本次課程要點：1、掌握定點加減運算。2、掌握補碼運算溢出與檢測方法。3、掌握不同碼制的移位運算。4、掌握原碼乘法運算。第3章數(shù)值運算及運算器本次課程要點：1、掌握定點加減運算。第3章數(shù)值運算及運算器1第3章數(shù)值運算及運算器1、原碼加減運算

2、反碼加減運算

3、補碼加減運算二、定點加減運算第3章數(shù)值運算及運算器1、原碼加減運算

2、反碼加減運算

21、原碼加減運算例：7+（-5）

0111+110101000010

注：用原碼表示的數(shù)在進行加減運算時，符號位不參與運算。參與運算的是兩個操作數(shù)的絕對值，運算結果的符號與絕對值較大的操作數(shù)保持一致。×√1、原碼加減運算×√32、反碼加減運算

運算規(guī)則：參加運算的操作數(shù)用反碼表示，符號位參加運算。當操作碼為加運算時，兩數(shù)直接相加；當操作碼為減運算時，將減數(shù)連同符號位一起求反與被減數(shù)相加。如果符號位產(chǎn)生進位，則在末位加1，即循環(huán)進位。運算結果為反碼表示。2、反碼加減運算4第3章數(shù)值運算及運算器3、補碼加減運算（1）補碼加法兩個補碼表示的數(shù)相加，符號位參加運算，且兩數(shù)和的補碼等于兩數(shù)補碼之和，即：

[X+Y]補=[X]補+[Y]補第3章數(shù)值運算及運算器3、補碼加減運算（1）補碼加法5例1：A=0.1011，B=-0.1110，求A+B

∵[A]補=0.1011[B]補=1.00100.1011[A]補

+1.0010[B]補

1.1101[A+B]補

∴[A+B]補=1.1101A+B=-0.0011第3章數(shù)值運算及運算器例1：A=0.1011，B=-0.1110，求A+B第3章6根據(jù)補碼加法公式可推出：

[X-Y]補=[X+(-Y)]補=[X]補+[-Y]補從補碼減法公式可以看出，只要求得[-Y]補，就可以變減法為加法。不管Y的真值為正或為負，已知[Y]補求[-Y]補的方法是：將[Y]補連同符號位一起求反，末尾加“1”

。

[-Y]補被稱為[Y]補的機器負數(shù)，由[Y]補求[-Y]補的過程稱為對[Y]補變補，表示為[-Y]補=[[Y]補]變補第3章數(shù)值運算及運算器（2）補碼減法根據(jù)補碼加法公式可推出：第3章數(shù)值運算及運算器（7注意：區(qū)別“某數(shù)的補碼表示”與“變補”兩個不同的概念。

例1：Y=-0.0110，

[Y]原=1.0110，

[Y]補=1.1010，

[-Y]補=0.0110

一個負數(shù)由原碼轉換成補碼時，符號位是不變的，僅對數(shù)值位各位變反，末位加“1”。而變補則不論這個數(shù)的真值是正是負，連同符號位一起變反，末位加“1”。

[Y]補表示的真值如果是正數(shù)，則變補后[-Y]補所表示的真值變?yōu)樨摂?shù)，反之亦然。第3章數(shù)值運算及運算器例2：Y=0.0110，[Y]原=0.0110，[Y]補=0.0110，[-Y]補=1.1010注意：區(qū)別“某數(shù)的補碼表示”與“變補”兩個不同的概念。8例2：A=0.1011，B=-0.0010，求A-B

∵[A]補=0.1011[B]補=1.1110[-B]補=0.00100.1011[A]補

+0.0010[-B]補

0.1101[A-B]補

∴[A-B]補=0.1101A-B=0.1101第3章數(shù)值運算及運算器例2：A=0.1011，B=-0.0010，求A-B第3章9補碼加減運算流程第3章數(shù)值運算及運算器操作數(shù)用補碼表示符號位參與運算X補+Y補X補+（-Y）補ADDSUB運算結果為補碼表示符號位指示結果正負補碼加減運算流程第3章數(shù)值運算及運算器操作數(shù)用補碼表示X10溢出的產(chǎn)生當機器字長與數(shù)據(jù)表示方法確定后，數(shù)據(jù)的表示范圍也就確定了。一旦運算結果超出數(shù)據(jù)表示范圍，就會產(chǎn)生溢出。

第3章數(shù)值運算及運算器（4）補碼運算的溢出與檢測溢出的產(chǎn)生第3章數(shù)值運算及運算器（4）補碼運算的溢出與檢測11例3：設：X=1011B=11D，Y=111B=7D

則

[X]補=0,1011，[Y]補=0,01110,1011 [X]補

+0,0111 [Y]補

1,0010 [X+Y]補∴[X+Y]補=1,0010X+Y=-1110B=-14D

兩正數(shù)相加結果為-14D，顯然是錯誤的。第3章數(shù)值運算及運算器例3：設：X=1011B=11D，Y=111B=7D第3章12例4：設：X=-1011B=-11D，Y=-111B=-7D

則

[X]補=1,0101[Y]補=1,10011,0101 [X]補

+1,1001 [Y]補

0,1110 [X+Y]補∴[X+Y]補=0,1110X+Y=1110B=14D

兩負數(shù)相加結果為14D，顯然也是錯誤的。第3章數(shù)值運算及運算器例4：設：X=-1011B=-11D，Y=-111B=-7D13

字長為n位的定點整數(shù)（最高位為符號位），采用補碼表示，當2n-1-1<運算結果或<-2n-1時，就產(chǎn)生溢出。字長為n位的定點小數(shù)（最高位為符號位），采用補碼表示，當1-2-（n-1）

<運算結果或<-1時，就產(chǎn)生溢出。當運算結果為正且大于所能表示的最大正數(shù)時，稱為正溢；

當運算結果為負且小于所能表示的最小負數(shù)時，稱為負溢。

第3章數(shù)值運算及運算器字長為n位的定點整數(shù)（最高位為符號位14

兩個異號數(shù)相加，實際上是做兩數(shù)相減，所以結果不會溢出。

當兩個同號數(shù)相加或兩個異號數(shù)相減時，才有可能產(chǎn)生溢出。[政史地]匯編第19次課課件15設：被操作數(shù)為：[X]補=Xs,X1X2…Xn

操作數(shù)為：[Y]補=Ys,Y1Y2…Yn

其和（差）為：[S]補=Ss,S1S2…Sn

(a)采用一個符號位當Xs=Ys=0，Ss=1時，產(chǎn)生正溢；當Xs=Ys=1，Ss=0時，產(chǎn)生負溢。

溢出判斷條件為

溢出=Ss﹢XsYs第3章數(shù)值運算及運算器（5）補碼的溢出檢測方法設：被操作數(shù)為：[X]補=Xs,X1X2…Xn第3章數(shù)值運16

(b)采用進位判斷兩數(shù)運算時，產(chǎn)生的進位為

Cs,C1C2…Cn，其中：Cs為符號位產(chǎn)生的進位，C1為最高數(shù)值位產(chǎn)生的進位。

兩正數(shù)相加，當最高有效位產(chǎn)生進位（C1=1）而符號位不產(chǎn)生進位（Cs=0）時，發(fā)生正溢；

兩負數(shù)相加，當最高有效位不產(chǎn)生進位（C1=0）而符號位產(chǎn)生進位（Cs=1）時，發(fā)生負溢。故溢出條件為

溢出=C1+Cs=Cs⊕C1

第3章數(shù)值運算及運算器(b)采用進位判斷第3章數(shù)值運算及運算器17

(c)采用變形補碼（雙符號位補碼）在雙符號位的情況下，把左邊的符號位S1叫做真符，兩個符號位都作為數(shù)的一部分參加運算。這種編碼又稱為變形補碼。例1:10+7001010+000111010001

第3章數(shù)值運算及運算器例2（-10）+（-7）

110110+111001101111S1S2(c)采用變形補碼（雙符號位補碼）第3章數(shù)值運算18雙符號位的含義如下：

S1S2=00結果為正數(shù)，無溢出

S1S2=01結果正溢

S1S2=10結果負溢

S1S2=11結果為負數(shù)，無溢出

當運算結果的兩個符號位的值不同時，表明產(chǎn)生溢出，溢出條件為溢出=S1⊕S2雙符號位的含義如下：19第3章數(shù)值運算及運算器1、邏輯移位三、移位運算按操作性質可分為三種類型：

邏輯移位、循環(huán)移位、算術移位。只有數(shù)碼位置的變化，而無數(shù)量的變化。左移：低位補0。右移：高位補0。例1：A寄存器的初值為10110101

邏輯右移一位后為01011010

邏輯左移一位后為01101010第3章數(shù)值運算及運算器1、邏輯移位三、移位運算按操作性質20第3章數(shù)值運算及運算器2、循環(huán)移位寄存器兩端觸發(fā)器有移位通路，形成閉合的移位環(huán)路。例2：A寄存器的初值為10011001循環(huán)右移一位后為11001100循環(huán)左移一位后為00110011第3章數(shù)值運算及運算器2、循環(huán)移位寄存器兩端觸發(fā)器有21第3章數(shù)值運算及運算器3、算術移位數(shù)的符號位不變，而數(shù)值位發(fā)生變化。左移一位將使數(shù)值擴大一倍（乘以2）右移一位則使數(shù)值縮小一倍（乘以1/2）第3章數(shù)值運算及運算器3、算術移位數(shù)的符號位不變，而數(shù)值位22第3章數(shù)值運算及運算器（1）正數(shù)：原碼、補碼、反碼左右移位時，空位均補入0例3：A寄存器初值：0.0110

左移一位：0.1100

右移一位：0.0011第3章數(shù)值運算及運算器（1）正數(shù)：例3：A寄存器初值：0.23第3章數(shù)值運算及運算器（2）負數(shù)：原碼：符號位不變（為1），空位補0。例4：初值為1.0110

算術左移一位：1.1100

算術右移一位：1.0011補碼：左移空位補0，右移空位補1。例5：初值：1.1011

左移一位：1.0110

右移一位：1.1101第3章數(shù)值運算及運算器（2）負數(shù)：24第3章數(shù)值運算及運算器

反碼：移位后的空位補1。例6：初值：1.1011

左移一位：1.0111

右移一位：1.1101第3章數(shù)值運算及運算器反碼：移位后的空位補1。25第3章數(shù)值運算及運算器四、乘法運算實現(xiàn)乘除運算的方案：1、軟件實現(xiàn)2、硬件實現(xiàn)

對數(shù)據(jù)的累加和移位陣列乘法器第3章數(shù)值運算及運算器四、乘法運算實現(xiàn)乘除運算的方案：26原碼一位乘法是從手算演變而來的。

乘積P=|X|×|Y|

符號Ps=Xs⊕Ys

式中：Ps為乘積的符號，Xs和Ys為被乘數(shù)和乘數(shù)的符號。第3章數(shù)值運算及運算器四、乘法運算1、原碼一位乘原碼一位乘法是從手算演變而來的。第3章數(shù)值27第3章數(shù)值運算及運算器原碼一位乘法的規(guī)則：⑴

參加運算的操作數(shù)取其絕對值；⑵

令乘數(shù)的最低位為判斷位，若為“1”，加被乘數(shù)，若為“0”，不加被乘數(shù)（加0）；⑶

累加后的部分積以及乘數(shù)右移一位；⑷

重復n次⑵和⑶；⑸

符號位單獨處理，同號為正，異號為負。第3章數(shù)值運算及運算器原碼一位乘法的規(guī)則：28通常，乘法運算需要3個寄存器。

被乘數(shù)存放在B寄存器中；

乘數(shù)存放在C寄存器中，運算結束后寄存器C中不再保留乘數(shù)，改為存放乘積的低位部分。

A寄存器用來存放部分積與最后乘積的高位部分，它的初值為0。

例7：已知：X=0.1101，Y=-0.1011，求：X×Y。

|X|=0.1101→B，

|Y|=0.1011→C，0→A第3章數(shù)值運算及運算器通常，乘法運算需要3個寄存器。第3章數(shù)值運算及運算器29

AC說明0.000010110.1101→0.01101101部分積右移一位1.0011+|X|0.1101C4=1，+|X|→0.10011110部分積右移一位+00.0000C4=0，+00.1001→0.01001111部分積右移一位+|X|0.1101C4=1，+|X|1.0001→0.10001111

部分積右移一位∵PS=XS⊕YS=0⊕1=1∴XY=-0.10001111

第3章數(shù)值運算及運算器+|X|0.1101C4=1，+|X|AC30圖1原碼一位乘法流程圖第3章數(shù)值運算及運算器EndYN|X|B,|Y|C0A,0CR→→→→Cn=1?CR+1→CRCR=n??

(A+0)A

CC??→→?

(A+B)A

CC??→→XS

YS

PS→YN⊕

圖1原碼一位乘法流程圖第3章數(shù)值運算及運算器EndYN31作業(yè)：課本77頁，3.1（1），（2）；3.2（1），（2）；3.4（2）

第3章數(shù)值運算及運算器作業(yè)：第3章數(shù)值運算及運算器32本次課程要點：1、掌握定點加減運算。2、掌握補碼運算溢出與檢測方法。3、掌握不同碼制的移位運算。4、掌握原碼乘法運算。第3章數(shù)值運算及運算器本次課程要點：1、掌握定點加減運算。第3章數(shù)值運算及運算器33第3章數(shù)值運算及運算器1、原碼加減運算

2、反碼加減運算

3、補碼加減運算二、定點加減運算第3章數(shù)值運算及運算器1、原碼加減運算

2、反碼加減運算

341、原碼加減運算例：7+（-5）

0111+110101000010

注：用原碼表示的數(shù)在進行加減運算時，符號位不參與運算。參與運算的是兩個操作數(shù)的絕對值，運算結果的符號與絕對值較大的操作數(shù)保持一致?！痢?、原碼加減運算×√352、反碼加減運算

運算規(guī)則：參加運算的操作數(shù)用反碼表示，符號位參加運算。當操作碼為加運算時，兩數(shù)直接相加；當操作碼為減運算時，將減數(shù)連同符號位一起求反與被減數(shù)相加。如果符號位產(chǎn)生進位，則在末位加1，即循環(huán)進位。運算結果為反碼表示。2、反碼加減運算36第3章數(shù)值運算及運算器3、補碼加減運算（1）補碼加法兩個補碼表示的數(shù)相加，符號位參加運算，且兩數(shù)和的補碼等于兩數(shù)補碼之和，即：

[X+Y]補=[X]補+[Y]補第3章數(shù)值運算及運算器3、補碼加減運算（1）補碼加法37例1：A=0.1011，B=-0.1110，求A+B

∵[A]補=0.1011[B]補=1.00100.1011[A]補

+1.0010[B]補

1.1101[A+B]補

∴[A+B]補=1.1101A+B=-0.0011第3章數(shù)值運算及運算器例1：A=0.1011，B=-0.1110，求A+B第3章38根據(jù)補碼加法公式可推出：

[X-Y]補=[X+(-Y)]補=[X]補+[-Y]補從補碼減法公式可以看出，只要求得[-Y]補，就可以變減法為加法。不管Y的真值為正或為負，已知[Y]補求[-Y]補的方法是：將[Y]補連同符號位一起求反，末尾加“1”

。

[-Y]補被稱為[Y]補的機器負數(shù)，由[Y]補求[-Y]補的過程稱為對[Y]補變補，表示為[-Y]補=[[Y]補]變補第3章數(shù)值運算及運算器（2）補碼減法根據(jù)補碼加法公式可推出：第3章數(shù)值運算及運算器（39注意：區(qū)別“某數(shù)的補碼表示”與“變補”兩個不同的概念。

例1：Y=-0.0110，

[Y]原=1.0110，

[Y]補=1.1010，

[-Y]補=0.0110

一個負數(shù)由原碼轉換成補碼時，符號位是不變的，僅對數(shù)值位各位變反，末位加“1”。而變補則不論這個數(shù)的真值是正是負，連同符號位一起變反，末位加“1”。

[Y]補表示的真值如果是正數(shù)，則變補后[-Y]補所表示的真值變?yōu)樨摂?shù)，反之亦然。第3章數(shù)值運算及運算器例2：Y=0.0110，[Y]原=0.0110，[Y]補=0.0110，[-Y]補=1.1010注意：區(qū)別“某數(shù)的補碼表示”與“變補”兩個不同的概念。40例2：A=0.1011，B=-0.0010，求A-B

∵[A]補=0.1011[B]補=1.1110[-B]補=0.00100.1011[A]補

+0.0010[-B]補

0.1101[A-B]補

∴[A-B]補=0.1101A-B=0.1101第3章數(shù)值運算及運算器例2：A=0.1011，B=-0.0010，求A-B第3章41補碼加減運算流程第3章數(shù)值運算及運算器操作數(shù)用補碼表示符號位參與運算X補+Y補X補+（-Y）補ADDSUB運算結果為補碼表示符號位指示結果正負補碼加減運算流程第3章數(shù)值運算及運算器操作數(shù)用補碼表示X42溢出的產(chǎn)生當機器字長與數(shù)據(jù)表示方法確定后，數(shù)據(jù)的表示范圍也就確定了。一旦運算結果超出數(shù)據(jù)表示范圍，就會產(chǎn)生溢出。

第3章數(shù)值運算及運算器（4）補碼運算的溢出與檢測溢出的產(chǎn)生第3章數(shù)值運算及運算器（4）補碼運算的溢出與檢測43例3：設：X=1011B=11D，Y=111B=7D

則

[X]補=0,1011，[Y]補=0,01110,1011 [X]補

+0,0111 [Y]補

1,0010 [X+Y]補∴[X+Y]補=1,0010X+Y=-1110B=-14D

兩正數(shù)相加結果為-14D，顯然是錯誤的。第3章數(shù)值運算及運算器例3：設：X=1011B=11D，Y=111B=7D第3章44例4：設：X=-1011B=-11D，Y=-111B=-7D

則

[X]補=1,0101[Y]補=1,10011,0101 [X]補

+1,1001 [Y]補

0,1110 [X+Y]補∴[X+Y]補=0,1110X+Y=1110B=14D

兩負數(shù)相加結果為14D，顯然也是錯誤的。第3章數(shù)值運算及運算器例4：設：X=-1011B=-11D，Y=-111B=-7D45

字長為n位的定點整數(shù)（最高位為符號位），采用補碼表示，當2n-1-1<運算結果或<-2n-1時，就產(chǎn)生溢出。字長為n位的定點小數(shù)（最高位為符號位），采用補碼表示，當1-2-（n-1）

<運算結果或<-1時，就產(chǎn)生溢出。當運算結果為正且大于所能表示的最大正數(shù)時，稱為正溢；

當運算結果為負且小于所能表示的最小負數(shù)時，稱為負溢。

第3章數(shù)值運算及運算器字長為n位的定點整數(shù)（最高位為符號位46

兩個異號數(shù)相加，實際上是做兩數(shù)相減，所以結果不會溢出。

當兩個同號數(shù)相加或兩個異號數(shù)相減時，才有可能產(chǎn)生溢出。[政史地]匯編第19次課課件47設：被操作數(shù)為：[X]補=Xs,X1X2…Xn

操作數(shù)為：[Y]補=Ys,Y1Y2…Yn

其和（差）為：[S]補=Ss,S1S2…Sn

(a)采用一個符號位當Xs=Ys=0，Ss=1時，產(chǎn)生正溢；當Xs=Ys=1，Ss=0時，產(chǎn)生負溢。

溢出判斷條件為

溢出=Ss﹢XsYs第3章數(shù)值運算及運算器（5）補碼的溢出檢測方法設：被操作數(shù)為：[X]補=Xs,X1X2…Xn第3章數(shù)值運48

(b)采用進位判斷兩數(shù)運算時，產(chǎn)生的進位為

Cs,C1C2…Cn，其中：Cs為符號位產(chǎn)生的進位，C1為最高數(shù)值位產(chǎn)生的進位。

兩正數(shù)相加，當最高有效位產(chǎn)生進位（C1=1）而符號位不產(chǎn)生進位（Cs=0）時，發(fā)生正溢；

兩負數(shù)相加，當最高有效位不產(chǎn)生進位（C1=0）而符號位產(chǎn)生進位（Cs=1）時，發(fā)生負溢。故溢出條件為

溢出=C1+Cs=Cs⊕C1

第3章數(shù)值運算及運算器(b)采用進位判斷第3章數(shù)值運算及運算器49

(c)采用變形補碼（雙符號位補碼）在雙符號位的情況下，把左邊的符號位S1叫做真符，兩個符號位都作為數(shù)的一部分參加運算。這種編碼又稱為變形補碼。例1:10+7001010+000111010001

第3章數(shù)值運算及運算器例2（-10）+（-7）

110110+111001101111S1S2(c)采用變形補碼（雙符號位補碼）第3章數(shù)值運算50雙符號位的含義如下：

S1S2=00結果為正數(shù)，無溢出

S1S2=01結果正溢

S1S2=10結果負溢

S1S2=11結果為負數(shù)，無溢出

當運算結果的兩個符號位的值不同時，表明產(chǎn)生溢出，溢出條件為溢出=S1⊕S2雙符號位的含義如下：51第3章數(shù)值運算及運算器1、邏輯移位三、移位運算按操作性質可分為三種類型：

邏輯移位、循環(huán)移位、算術移位。只有數(shù)碼位置的變化，而無數(shù)量的變化。左移：低位補0。右移：高位補0。例1：A寄存器的初值為10110101

邏輯右移一位后為01011010

邏輯左移一位后為01101010第3章數(shù)值運算及運算器1、邏輯移位三、移位運算按操作性質52第3章數(shù)值運算及運算器2、循環(huán)移位寄存器兩端觸發(fā)器有移位通路，形成閉合的移位環(huán)路。例2：A寄存器的初值為10011001循環(huán)右移一位后為11001100循環(huán)左移一位后為00110011第3章數(shù)值運算及運算器2、循環(huán)移位寄存器兩端觸發(fā)器有53第3章數(shù)值運算及運算器3、算術移位數(shù)的符號位不變，而數(shù)值位發(fā)生變化。左移一位將使數(shù)值擴大一倍（乘以2）右移一位則使數(shù)值縮小一倍（乘以1/2）第3章數(shù)值運算及運算器3、算術移位數(shù)的符號位不變，而數(shù)值位54第3章數(shù)值運算及運算器（1）正數(shù)：原碼、補碼、反碼左右移位時，空位均補入0例3：A寄存器初值：0.0110

左移一位：0.1100

右移一位：0.0011第3章數(shù)值運算及運算器（1）正數(shù)：例3：A寄存器初值：0.55第3章數(shù)值運算及運算器（2）負數(shù)：原碼：符號位不變（為1），空位補0。例4：初值為1.0110

算術左移一位：1.1100

算術右移一位：1.0011補碼：左移空位補0，右移空位補1。例5：初值：1.1011

左移一位：1.0110

右移一位：1.1101第3章數(shù)值運算及運算器（2）負數(shù)：56第3章數(shù)值運算及運算器

反碼：移位后的空位補1。例6：初值：1.1011

左移一位：1.0111

右移一位：1.1101第3章數(shù)值運算及運算器反碼：移位后的空位補1。57第3章數(shù)值運算及運算器四、乘法運算實現(xiàn)乘除運算的方案：1、軟件實現(xiàn)2、硬件實現(xiàn)

對數(shù)據(jù)的累加和移位陣列乘法器第3章數(shù)值運算及運算器四、乘法運算實現(xiàn)乘除運算的方案：58原碼一位乘法是從手算演變而來的。

乘積P=|X|×|Y|

符號Ps=Xs⊕Ys

式中：Ps為乘積的符號，Xs和Ys為被乘數(shù)和乘數(shù)的符號。第3章數(shù)值運算及運算器四、乘法運算1、原碼一位乘原碼一位乘法是從手算演變而來的。第3章數(shù)值59第3章數(shù)值運算及運算器原碼一位乘法的規(guī)則：⑴

參加運算的操作