第五章習(xí)題解答5.1解如題5.1.1圖桿受理想約束，在滿足題意的約束條件下桿的位置可由桿與水平方向夾角山所唯一確定。桿的自由度為1,由平衡條件:即變換方程TOC\o"1-5"\h\zI. I.—sina1 o'--sinay匚=2rcos^sin比-2 =rsin22 ②故(11_ 2rcos2^-—/cos 3a2J③代回①式即( 1 \2rcosi7-—Zcosa6a-0I 2 J因在約束下是任意的，要使上式成立必須有：—COSCL

rcos2B-2 =0又由于cos值=2rcos2a= 2戶代回④式得c5.2解如題5.2.1圖三球受理想約束，球的位置可以由比確定，自由度數(shù)為1,故。X]=-2rsin，■=一口+『)而色町-2rsm，二口十r)sinax3=0為=1+7)CQS值%二口+r)cos電y&=Q4-r)cosd-2rcos產(chǎn)=一口+r)爾距-一口十廣)sinaSa:班=-口+產(chǎn))sin值百2^sm§字■氏史由虛功原理故耳齒1十鳥叁々十鳥加=0-(/+r)sin曳5曳一口+r)sin值5值-(1+r)sin@;5o1+2rsin ■白仃二。因」以在約束條件下是任意的，要使上式成立，必須-3口+『)￡tn以+2『sin6—=0' ' Sa故小比_2中sin產(chǎn)5尸3口+「)3m值②又由的二一%cos白用二又由的二一%cos白用二-口+r)cos函以得得:由②③可得tan§-3tanG解如題5.3.1圖，即，31圖

在相距2a的兩釘處約束反力垂直于虛位移，為理想約束。去掉繩代之以力T,且視為主動力后采用虛功原理，叫一確定便可確定ABCD的位置。因此自由度數(shù)為1。選色為廣義坐。由虛功原理：w酰-北氏+工/=0①xB=-1sin/工工=7sinR4=21g5a一厘cat比取變分得丞啟-Tcosq(5o;出口-Zcosa-da譏=-21sin值吊工二 6值sina代入①式得:W-21W-21sina貝計(jì)smato+&化簡得W-2Zsinfl4sintb=td=t因」以在約束條件下任意，欲使上式成立，須有:+277cos仃二。由此得T=限tan出解自由度日=1，質(zhì)點(diǎn)位置為舊））產(chǎn)值y)=產(chǎn)值y)=儲+/—戶=o由已知得故約束方程聯(lián)立②③可求得又由于七*尤十2/h-0用42秒=0②2, 2 2]③支二0y=±^R二千用5.5解如題5.5.1圖題531題531圖按題意僅重力作用，為保守系。因?yàn)橐阎?二門，故可認(rèn)為自由度為1.選廣義坐標(biāo)日二寸，在球面坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的動能：北《港仔+&悔+/小鳥用國中成表指標(biāo)&u?由于所以Ts=td=又由于日二0

L-T1匚-2cicos6T12叱/sin266J乎+Q1=sin3日）+2m2a2sin3的

取Ox為零勢，體系勢能為:V——2g□（%+掰2）CO￡日故力學(xué)體系的拉氏函數(shù)為：L=T-V=陽］別聲+Q3sm2旬+2m2=陽］別聲+Q3sm2旬+2m2a2皿。日也"5.6解如題5.6.1圖.題5b.i圖⑴平面運(yùn)動，一個自由度.⑵選廣義坐標(biāo)為弓二日，廣義速度⑶因未定體系受力類型，由一般形式的拉格朗日方程U-Ci牝①I麗二I麗二Z%%=QgS=L3-1廣義力代入①得:dpT\_3T_^出1。@）羽②在極坐標(biāo)系下:

+2a+2a1 ( 口 口=—m4ci2tEJ2cos2—十4M⑦0852一十/J將以上各式代入②式得ma&-2ma向sin6+網(wǎng)高Gsin&+^sin0=05.7解如題5.7.1圖又由于所以7二15/=工附

2 2-2最b,二?牌X+——X3十的工1—m2取坐標(biāo)原點(diǎn)為零勢面拉氏函數(shù)3L…——=0代入保守系拉格朗日方程成I3L…——=0代入保守系拉格朗日方程成I數(shù)1班得代入保守系拉格朗日方程ddL—=0ddL—=0宓（一汨（一汨1H ；Aa.&X 2 工色+ —7- x+ms,—=04? 2a5.8解：如圖5.8.1圖.題3,題3,乩1國(1)由于細(xì)管以勻角速⑦轉(zhuǎn)動，因此5=6可以認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)的自由度為1.⑵取廣義坐標(biāo)x=J⑶根據(jù)極坐標(biāo)系中的動能T二;制（非+尸鏟）=（/+工口0°取初始水平面為零勢能面，勢能：V-mgxsm（改）拉氏函數(shù)(4)代入拉氏方程■當(dāng)一■dt員赤得：mx一蹬涼x=-mgsin（戡）⑸先求齊次方程的解.E—G?=。②X=國+%白一戰(zhàn)特解為故①式的通解為了二匚聲提舟一了二匚聲提舟一在￡=。時:2G⑤聯(lián)立④⑤得口妥+沙卷將門巴代回式③可得方程的解為:5.9解如題5.9.1圖.按題意為保守力系質(zhì)點(diǎn)被約束在圓錐面內(nèi)運(yùn)動，故自有度數(shù)為2.（1），（2）選廣義坐標(biāo)辦二，將門巴代回式③可得方程的解為:5.9解如題5.9.1圖.按題意為保守力系質(zhì)點(diǎn)被約束在圓錐面內(nèi)運(yùn)動，故自有度數(shù)為2.（1），（2）選廣義坐標(biāo)辦二，在柱坐標(biāo)系中:r=尸cotQ以°蒙面為零勢能面，則:V-mgrcotor拉氏函數(shù)所以目為循環(huán)坐標(biāo)，即（4）因?yàn)椤瓴伙@含9更=-常 常數(shù)②對另一廣義坐標(biāo)代入保守系拉氏方程有網(wǎng)產(chǎn)4辟婢cot2or-朋產(chǎn)媛+mgcotOf=0游-府柒2%+嚶汕值C0￡生二。④所以此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程為㈤他加水。5出=口（工為常數(shù)）所以T二;喇12：+Hi一友1tan日］+；飛君5.10解如題5.10.1圖.（1）體系自由度數(shù)為2.（2）選廣義坐標(biāo)處二句國口二町?（3）質(zhì)點(diǎn)的速度4n君劈的速度T=TT=Ti+%=;網(wǎng)體系勢能：信+/：）+!以久面為零勢面，其中q為劈勢能.拉氏函數(shù)L=T-V=口㈣+（左1_/Jtan2日卜工啊考-m1g（X]-x2）tan8-C22 」2 ①（4）az

dx、

dL=一叫g(shù)az

dx、

dL=一叫g(shù)tan8響/]_+叫（X_花ytan2&代入拉格郎日方程得：的&(1+t血口藥-刑遙㈤的&(1+t血口藥-刑遙㈤*+啊gtanH=0②3L兩=-m1(—x2)tan2日+%￡口代入拉格郎日方程得—啊芯t一日+啊易Ui?日+々，廠啊gt旭日。。③聯(lián)立②，③得5.11解如題5.11.1聯(lián)立②，③得5.11解如題5.11.1圖（1）本系統(tǒng)內(nèi)雖有摩擦力，但不做功，故仍是保守系中有約束的平面平行運(yùn)動，自由度品二1（2）選取廣義坐標(biāo)0=1（3）根據(jù)剛體力學(xué)T=-Mv^+-1^+工酬得二之冊為2+25戶疔2172c 2 4其中繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量Ic=g■朋戶，丁c=r&,vs=2vc選仍為零勢面，體系勢能：V=C-2mgr&

其中C為常數(shù).拉氏函數(shù)L=T-^=-MPe2+2陰/鏟+2mgr3-C(4)而一'而一2代入保守系拉氏方程d￡\d&ji得:訪汨+4加戶百一2掰牛=0_Amg0四十日阿卜的二沖二」^3翻十如口 癡301=勿［= 3M+Zmmg-T—ma25.12解如題5.12.1圖.y B一嚇題5,12,1圖（1）棒作平面運(yùn)動，一個約束，故自由度￡=2.（2）選廣義坐標(biāo)%二元4=&（3）力學(xué)體系的動能

根據(jù)運(yùn)動合成+建即-TGsinn；=產(chǎn)+/熊+2948￡8設(shè)化為繞質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑，代入①得動能T--mi2+，掰M廬+maii^cos日+工次北］啟口②（4）r￡=（工+2W5in日，+23eg中由甌=日,詢*=￡艮&*=0③（其中用二陽口豆二貨則（5jy=F（（St+2岸cos電日）一mgasm459=嚴(yán)加+（2口尸cqs&-mgasm日）b日=0④因?yàn)槊?、百日在約束條件下任意且獨(dú)立，要使上式成立，必須：Qi=巴色二如FwG一網(wǎng)即即白⑤（5）代入一般形式的拉氏方程得:彌+將凸￡日-*H⑥——=-max日sm6as條=制（『啟+值/cog句+幽/日代入一般形式的拉氏方程得：加一日+-+一間=2曲C。--刑中2日⑦⑥、⑦兩式為運(yùn)動微分方程（6）若擺動角很小，則，代入式得：皿ST81css71,代入⑥⑦式得:￥+R自一Q鏟H——m砒■+（g。+1）由十改8二2e"防⑧又故代入⑧式得:（因?yàn)榘捉呛苄?，故可略去一以尹日?xiàng)）5.13解如題5.13.1圖（1）由于曲柄長度固定，自由度6=1.⑵選廣義坐標(biāo)中二巴受一力矩，重力忽略，故可利用基本形式拉格朗日方程:⑶系統(tǒng)動能（4）由定義式（5）代入①得:得(1)因體系作平面平行運(yùn)動，一個約束方程:5.14.解如題5.14.1圖.⑵體系自由度品二2,選廣義坐標(biāo)心二包巴二巴雖有摩擦，但不做功，為保守體系(3)體系動能:7二F輪平動動能+F輪質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能+$輪質(zhì)心動能+3輪繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能.以地面為零勢面，體系勢能+3輪繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能.以地面為零勢面，體系勢能V-mg{a+h)co￡8-\-Mga則保守系的拉氏函數(shù)

(1)因?yàn)?1)因?yàn)椤瓴伙@含w,得知中為循環(huán)坐標(biāo).故—+ 一雁金Qt+3)梟。￡日+ma2q)=常= 2 2 二常數(shù)③開始時：0=B-0則彳盤酎@十得掰￡8+；尚」產(chǎn).函一制R｛產(chǎn)+b)S8￡&=0又廣。時，代入”》又廣。時，&=(p=0所以5.15解如題5.15.1圖盧題11二】圖（1）本系統(tǒng)作平面平行運(yùn)動，干限制在球殼內(nèi)運(yùn)動，自由度x2；選廣義坐標(biāo)％工元外二白，體系摩擦力不做功，為保守力系，故可用保守系拉氏方程證明dL（2）體系動能二球殼質(zhì)心動能+球殼轉(zhuǎn)動動能+桿質(zhì)心動能+桿繞中心轉(zhuǎn)動動能T=CM^+二乙*+1功/+1心回2 2 2 ②其中_ x3COSGSUL白場啊.=一,斗=3

tF代入②得—M+mx+—ma9i 、-i L ~i ■COSsillG十口加HcQSac0s日3以地面為零勢面，則勢能:叫即客￡加：口源+,（其中G為常數(shù)）i/s AiZ=7-r=——M+mx1+-ma2131 、Q1.2

cosa+-sin+

3*南加3-(mgacos值gs6+CJ⑶因?yàn)榱耸茄h(huán)坐標(biāo)，故常熟③aL弟aL羽代入①式得又由于當(dāng)8.0,則日：戶故常數(shù)二-阻（5M十常熟③aL弟aL羽代入①式得又由于當(dāng)8.0,則日：戶故常數(shù)二-阻（5M十3間5.16解如題圖5.16.1.-61圖（1）由已知條件可得系統(tǒng)自由度s=L聯(lián)立③、④可得（先由③式兩邊求導(dǎo)，再與④式聯(lián)立）⑤試乘滂并積分得:dL5 }2--M+mx+?日日3/3=-max啟cos①sin0+cos值win日部圖4cos2S+—sin2df+rnxcosiTcos9-部geos架in8"■ l '-I8—9aml：os'a'cos&(2)取廣義坐標(biāo)g=1.(3)根據(jù)剛體力學(xué)，體系動能:又TOC\o"1-5"\h\zI111-i?I'l/卞 卞.1^ /11Jr 5將以上各式代入①式得：1=5煙［汽一『］皆+—mr —='港伊一廳疔設(shè)原點(diǎn)Q為零勢能點(diǎn)，所以體系勢能體系的拉氏函數(shù)體系的拉氏函數(shù)L-T-V-得加(尺一『丫 一日cos日(1)因?yàn)轶w系只有重力勢能做工，因而為保守系，故可采用d(dLydLd(dLydL署=一他或&-v)￡in8=-mg[R一『)日(因?yàn)槲⒄饎樱亵扌?，所以sin日日9)代入③式得即代入③式得即5掰(尺-『y@十網(wǎng)虱民一產(chǎn))日二o嗚自二。（5）解方程得5.17解如題5.17.1圖（1）由題設(shè)知系統(tǒng)動能COS+/口4 +g/口&asin81十乙&sin埒「避+:也腐+S/Mc◎咽-％廠2 2 ①取K軸為勢能零點(diǎn)，系統(tǒng)勢能v=一場創(chuàng)］cos同一%或］cos司+白cosa）拉氏函數(shù)（2）體系只有重力做功，為保守系，故可采用保守系拉氏方程.

2=_河工區(qū)百包2=_河工區(qū)百包sin(Z +Mj0de11sin8]——=(21+區(qū) +MJJ我 _82)代入拉氏方程dLdtl、dLdtl、d&/3L人 =0得：M+圾啥十%格司8幽-幻-時川鳥如（4-耳旭-E）心耳務(wù)sm（A-%）+Wi+峪）魴sin日］=Q又Af］—M2=附工］=4=1,&=&-01

8￡（日1-嘮二1,汕）二日］（因?yàn)槭俏⒄饎樱┐肷鲜降?以尸耳+刑］。自;+2以川日1—0羽+通+2購=0③同理31寸二MJ次+MJJ摳co4西-%)O&2dL -, 『 、TT—=電電^島sin回一 Sin%照（4?冬）收_司）_（4?冬）收_司）_S1?2M，：工抬8￡(4一區(qū))一版一必iS1?2JtjStjJt 1.jitX '■X 上■?' JiXJiX■y心&&￡欣-日②)+/口g/2sin=0弧-M2=腐3-12=，A-g—Onsiti~%J0￡(2—%)=1代入上式得場+瑯+典：口④日］二代入③④式得：4②乎十2￡）+4洸=o4淺+4（￡才+目）=。欲使4,4有非零解，則須有2（M3+g）沅=QU2 ］才1+宮-解得才=-40士?」2土返~2P-S11」「-2千五［］'兄二zb---g人'）_周期5.18解如題5.18.1圖限5.1亂1寫（1）系統(tǒng)自由度日二1（2）取廣義坐標(biāo)七=元電二九陰二.廣義速度/二二.4二凡（3）因?yàn)槭俏⒄饎?，體系動能：COG日i巨C0￡%白L血日］口%就區(qū)法％I『二，2間/；掰（￡+?&『[(1+聞+⑷以◎耳為勢能零點(diǎn)，體系勢能/=-2mglcos白i-mglcos可拉氏函數(shù)ll二T-y二忌2+；4+(/+/&)+?同『+2相0C0￡西+掰磔C0￡弓(4)=2mx十煙（N十21）十疝/十f囪）十/自］f目匚、 .. ..——_4跳，十2波/司十/燃-0軌+2璃+碼=。①同理匹吃絲阻"--2mglsin%匹吃絲阻"--2mglsin%-港，（土十『a）十工十旭）十『口3￡耀3k+1自;）+如［（，+1自;）+屹

笈+2弭+成+2騁=。②同理5璃+泡+會”。③設(shè)x—?/二囪二工=達(dá)才/，，昌=4才”，電=4方都代入①②③式得4d無十24上加十兄口=0 "24方+24。1+/+4/下=0>+%［乩。+g)=0欲使兒右耳有非零解，必須4才 2?才 比2才2(?才+官)?對二口

j Ij?+g解之4成/+g^2+4g)=0又乂w0故可得周期5.19解如題5.19.1圖(1)體系自由度三二2(2)取廣義坐標(biāo)T-T-:掰+；5:1二;M(均一句)一寸廣義速度(3)體系動能體系勢能體系的拉氏函數(shù)(4)體系中只有彈力做功，體系為保守系，可用將以上各式代入①式得:網(wǎng)1藝］+上外-kx2+方修二。m2z2+后勺一七萬一出口二0先求齊次方程設(shè)代入③式得必須要使有非零,即叫叫才■!■陽］兄++加口下上二口通解為:X]=j4+%+G向&[+￡1)[x2=A4-C2sin(v￡+r)其中又存在特解有②③式可得加遙+煙1瑪=0勺二工+選+Csin（M4~￡）x2=A--Csin（y￡+s）式中式昌C及皆為積分常數(shù)上為倔強(qiáng)系數(shù)%= 解：以速度我廣義速度4二卡，根據(jù)定義3atip-——=洶+p-——=洶+gA-v的 ①根據(jù)公式（5.5.10）五二NPg?九-E（/v'十］A），v-（7一4中?十?A，v）+q華又有①得H--m=丁6洛7中

2m解取在轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系的速度為廣義速度「二甲，則在固定坐標(biāo)系中的速度：￥二干+口父「，自由質(zhì)點(diǎn)的動能2 ，設(shè)質(zhì)點(diǎn)勢能為‘，則質(zhì)點(diǎn)的拉氏函數(shù)

根據(jù)定義:在轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系中:=-mv2一幽-(Qxr)-p+—p2-Q(rxp)+,2 2m 2海上式中「為質(zhì)點(diǎn)的位矢，P=掰匕V為質(zhì)點(diǎn)相對于固定坐標(biāo)系的速度。解：取在廣義坐標(biāo)％二民初二.見二亞根據(jù)教材(3.9.21)和(3.9.19)式得動能:勢能：落或gsJ1為原點(diǎn)距離根據(jù)定義式因?yàn)楣仕?二a為第一積分.又得「產(chǎn)二冬為第二個第一積分.同理即得％二Q為第三個第一積分.5.23解如題5.23.1圖,§5,23.1圖由5.6題解得小球的動能根據(jù)定義得根據(jù)哈密頓函數(shù)的定義代入③式后可求得:由正則方程得:代入⑤得整理得24. 5.24如題5.24.1圖,⑴小球的位置可由8確定，故自由度日二1⑵選廣義坐標(biāo)@二日，廣義速度寸二J⑶小球動能又由u=卜+、猊^=—=°十△a代入①式得設(shè)小球勢能為V,取固定圓球中心O為零勢點(diǎn),則小球拉氏函數(shù)根據(jù)定義

n=p,e-L⑷根據(jù)正則方程瓦=普=霆W值十口也Q

技FC⑤對式兩邊求時間導(dǎo)得:5mg{c十占)sin日_5gsln6口癡pt6丫 lm[c4-Z?)2 %+3)故小球球心切向加速度5.25解根據(jù)第二章§2.3的公式有:根據(jù)泊松括號的定義:所以同理可知:由②得:同理可得：[，4__JF[4，JIT.-Jp解由題5.25可知人的表達(dá)式因?yàn)橥砜汕蟮?

國了」=4，［乙產(chǎn)」二一%［4/外.=一「胃n聲r.=。［/￡n2#.=%n［4,汽］=Q即H廣？1」二尸苫，口尸口」二Pr，〃3，/」二/］【幾，尸』二一［勺，中］二一「品，［4,戶"二一證取廣義坐標(biāo)二8？%:二H應(yīng)五=%/=L2?3…./因?yàn)榫?JP…外弼二即：+如R+加"（K+y；+4+乩/外+了?/?”+馬7裔）+47?，+白：+戶：）又因?yàn)?2cpi^bxiJ--=2邙2蛔厚％ 年％所以M二期小器層條才諒即'肛相小欣,=￡［（2碉+切立）（一M）—?。?斗淑+妣）+（2研+他J西一（2詔+加X—外力=2-1解如題5.28.1圖（1）小環(huán)的位置可以由角8唯一確定，因此體系的自由度呂=1,取廣義坐標(biāo)4二日，廣義速度寸：白。小球的動能：T--ma1d1+sin38出2 2以◎?yàn)閯菽芰泓c(diǎn)，則小環(huán)勢能V=mgacos&所以拉氏函數(shù)L=T-V=:掰/鏟 sin'6蘇-mgacos&（2）由哈密頓原理3/Ldt=04-was2sin9cos+mgasin=0所以又由于所以『信?4*sin&cos9+mgasin日—=0因?yàn)?日是任意的，所以有被積式為0,即冽/切口sin日二?！?+刈g』sin8-mc^8—0化簡得ma目-maaPsinHc凸s日+mgsin85.29解參考5.23題，設(shè)廠=0,體系的拉氏函數(shù)根據(jù)哈密頓原理故因?yàn)橛樁察o叫一曲*o*=-d-

dt1+msS2dt5.29解參考5.23題，設(shè)廠=0,體系的拉氏函數(shù)根據(jù)哈密頓原理故因?yàn)橛樁察o叫一曲*o*=-d-

dt1+msS2dt2dt所以又因?yàn)?（sine+日）；=（g§班日+』日）|：=0[is因?yàn)椤蝗帐侨我獾模杂邪偈?。工in日二05.30解如題5.30.1圖，復(fù)擺位置可由角度日唯一確定，自由度呂=1,取廣義坐標(biāo)守=日，設(shè)為復(fù)擺重心守與懸點(diǎn)◎之間的距離。復(fù)擺的動能:取久為勢能零點(diǎn)，則勢能：V=-mgicos&復(fù)擺的拉氏量：L-T-V——]0鏟+掰磔cos&2 ①由哈密頓原：「理由=0故又因?yàn)? =—1朋由-esedtdtv1『口初同：-j：?？谀渴?sin。既=0闞產(chǎn)現(xiàn)二0因?yàn)椤蝗盏娜我庑运杂?I^S-耀Hsin日二0根據(jù)已知日很小，sin9日日『滔+何日二。③可求得：其中W為初相位。周期5.31解如