一、斯托克斯公式

定理1.

設(shè)光滑曲面的邊界是分段光滑曲線,(斯托克斯公式)個空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),

的側(cè)與

的正向符合右手法則,在包含在內(nèi)的一證:情形1.

與平行z

軸的直線只交于一點,

設(shè)其方程為為確定起見,不妨設(shè)取上側(cè)(如圖).則有簡介一、斯托克斯公式定理1.設(shè)光滑曲面的邊界是1則(利用格林公式)定理1則(利用格林公式)定理12因此同理可證三式相加,即得斯托克斯公式;定理1因此同理可證三式相加,即得斯托克斯公式;定理13情形2

曲面與平行z

軸的直線交點多于一個,則可通過作輔助線把

分成與z

軸只交于一點的幾部分,在每一部分上應(yīng)用斯托克斯公式,然后相加,由于沿輔助曲線方向相反的兩個曲線積分相加剛好抵消,所以對這類曲面斯托克斯公式仍成立.注意:

如果是xOy

面上的一塊平面區(qū)域,則斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.證畢定理1情形2曲面與平行z軸的直線交點多于一個,則可4為便于記憶,斯托克斯公式還可寫作:或用第一類曲面積分表示:定理1為便于記憶,斯托克斯公式還可寫作:或用第一類曲面積分表示:5例1.

利用斯托克斯公式計算積分其中為平面x+y+z=1被三坐標面所截三角形的整解:記三角形域為,取上側(cè),則個邊界,方向如圖所示.利用對稱性例1.利用斯托克斯公式計算積分其中為平面x+y+6例2.

為柱面與平面y=z

的交線,從

z

軸正向看為順時針,解:設(shè)為平面z=y

上被

所圍橢圓域,且取下側(cè),利用斯托克斯公式得則其法線方向余弦公式其他形式計算例2.為柱面與平面y=z的交線,從z軸7*二、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理2.設(shè)G

是空間一維單連通域,具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則下列四個條件相互等價:(1)對G內(nèi)任一分段光滑閉曲線,有(2)對G內(nèi)任一分段光滑曲線,與路徑無關(guān)(3)在G內(nèi)存在某一函數(shù)u,使(4)在G內(nèi)處處有*二、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理2.設(shè)G是空間一8(2)對G內(nèi)任一分段光滑曲線,與路徑無關(guān)(3)在G內(nèi)存在某一函數(shù)u,使證:由斯托克斯公式可知結(jié)論成立;(自證)設(shè)函數(shù)則定理2(2)對G內(nèi)任一分段光滑曲線,與路徑無關(guān)(3)在9(3)在G內(nèi)存在某一函數(shù)u,使(4)在G內(nèi)處處有同理可證故有若(3)成立,則必有因P,Q,R一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),故有同理證畢定理2(3)在G內(nèi)存在某一函數(shù)u,使(4)在G內(nèi)處處有同理10與路徑無關(guān),解:

令積分與路徑無關(guān),因此例3.

驗證曲線積分定理2并求函數(shù)與路徑無關(guān),解:令積分與路徑無關(guān),因此例3.驗證曲11*三、環(huán)流量與旋度斯托克斯公式設(shè)曲面的法向量為曲線的單位切向量為則斯托克斯公式可寫為*三、環(huán)流量與旋度斯托克斯公式設(shè)曲面的法向量為曲線12令,引進一個向量記作向量rotA

稱為向量場A的稱為向量場A定義:沿有向閉曲線的環(huán)流量.或①于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.rotation令,引進一個向量記作向量rotA稱為向量場A的13設(shè)某剛體繞定軸l

轉(zhuǎn)動,M為剛體上任一點,建立坐標系如圖,則角速度為,點M

的線速度為(此即“旋度”一詞的來源)旋度的力學(xué)意義:設(shè)某剛體繞定軸l轉(zhuǎn)動,M為剛體上任一點,建立坐標系如14向量場A

產(chǎn)生的旋度場穿過的通量注意與的方向形成右手系!

向量場A沿

的環(huán)流量斯托克斯公式①的物理意義:例4.求電場強度的旋度.解:(除原點外)這說明,在除點電荷所在原點外,整個電場無旋.向量場A產(chǎn)生的旋度場注意與的方向形成右手15的外法向量,計算解:

例5.設(shè)的外法向量,計算解:例5.設(shè)16內(nèi)容小結(jié)1.斯托克斯公式也可寫成:其中A

的旋度A在

的切向量上投影在

的法向量n

上投影內(nèi)容小結(jié)1.斯托克斯公式也可寫成:其中A的旋度A在17在內(nèi)與路徑無關(guān)在內(nèi)處處有在內(nèi)處處有2.空間曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件設(shè)P,Q,R在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則在內(nèi)與路徑無關(guān)在內(nèi)處處有在內(nèi)處處有2.空間曲線183.場論中的三個度設(shè)

梯度:散度:旋度:則3.場論中的三個度設(shè)梯度:散度:旋度:則19思考與練習(xí)則提示:三式相加即得思考與練習(xí)則提示:三式相加即得20作業(yè)P243*2(1),(4);

*3(1),(3);*4(1);

*5(2);*7補充題:證明

習(xí)題課作業(yè)P243*2(1),(4);*3(21斯托克斯(1819-1903)英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家.他是19世紀英國數(shù)學(xué)物理學(xué)派的重要代表人物之一,其主要興趣在于尋求解重要數(shù)學(xué)物理問題的有效且一般的新方法,在1845年他導(dǎo)出了著名的粘性流體運動方程(后稱之為納維–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收斂的概念.他提出的斯托克斯公式是向量分析的基本公式.他一生的工作先后分五卷出版.斯托克斯(1819-1903)英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家.他是19世22一、斯托克斯公式

定理1.

設(shè)光滑曲面的邊界是分段光滑曲線,(斯托克斯公式)個空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),

的側(cè)與

的正向符合右手法則,在包含在內(nèi)的一證:情形1.

與平行z

軸的直線只交于一點,

設(shè)其方程為為確定起見,不妨設(shè)取上側(cè)(如圖).則有簡介一、斯托克斯公式定理1.設(shè)光滑曲面的邊界是23則(利用格林公式)定理1則(利用格林公式)定理124因此同理可證三式相加,即得斯托克斯公式;定理1因此同理可證三式相加,即得斯托克斯公式;定理125情形2

曲面與平行z

軸的直線交點多于一個,則可通過作輔助線把

分成與z

軸只交于一點的幾部分,在每一部分上應(yīng)用斯托克斯公式,然后相加,由于沿輔助曲線方向相反的兩個曲線積分相加剛好抵消,所以對這類曲面斯托克斯公式仍成立.注意:

如果是xOy

面上的一塊平面區(qū)域,則斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.證畢定理1情形2曲面與平行z軸的直線交點多于一個,則可26為便于記憶,斯托克斯公式還可寫作:或用第一類曲面積分表示:定理1為便于記憶,斯托克斯公式還可寫作:或用第一類曲面積分表示:27例1.

利用斯托克斯公式計算積分其中為平面x+y+z=1被三坐標面所截三角形的整解:記三角形域為,取上側(cè),則個邊界,方向如圖所示.利用對稱性例1.利用斯托克斯公式計算積分其中為平面x+y+28例2.

為柱面與平面y=z

的交線,從

z

軸正向看為順時針,解:設(shè)為平面z=y

上被

所圍橢圓域,且取下側(cè),利用斯托克斯公式得則其法線方向余弦公式其他形式計算例2.為柱面與平面y=z的交線,從z軸29*二、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理2.設(shè)G

是空間一維單連通域,具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則下列四個條件相互等價:(1)對G內(nèi)任一分段光滑閉曲線,有(2)對G內(nèi)任一分段光滑曲線,與路徑無關(guān)(3)在G內(nèi)存在某一函數(shù)u,使(4)在G內(nèi)處處有*二、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理2.設(shè)G是空間一30(2)對G內(nèi)任一分段光滑曲線,與路徑無關(guān)(3)在G內(nèi)存在某一函數(shù)u,使證:由斯托克斯公式可知結(jié)論成立;(自證)設(shè)函數(shù)則定理2(2)對G內(nèi)任一分段光滑曲線,與路徑無關(guān)(3)在31(3)在G內(nèi)存在某一函數(shù)u,使(4)在G內(nèi)處處有同理可證故有若(3)成立,則必有因P,Q,R一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),故有同理證畢定理2(3)在G內(nèi)存在某一函數(shù)u,使(4)在G內(nèi)處處有同理32與路徑無關(guān),解:

令積分與路徑無關(guān),因此例3.

驗證曲線積分定理2并求函數(shù)與路徑無關(guān),解:令積分與路徑無關(guān),因此例3.驗證曲33*三、環(huán)流量與旋度斯托克斯公式設(shè)曲面的法向量為曲線的單位切向量為則斯托克斯公式可寫為*三、環(huán)流量與旋度斯托克斯公式設(shè)曲面的法向量為曲線34令,引進一個向量記作向量rotA

稱為向量場A的稱為向量場A定義:沿有向閉曲線的環(huán)流量.或①于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.rotation令,引進一個向量記作向量rotA稱為向量場A的35設(shè)某剛體繞定軸l

轉(zhuǎn)動,M為剛體上任一點,建立坐標系如圖,則角速度為,點M

的線速度為(此即“旋度”一詞的來源)旋度的力學(xué)意義:設(shè)某剛體繞定軸l轉(zhuǎn)動,M為剛體上任一點,建立坐標系如36向量場A

產(chǎn)生的旋度場穿過的通量注意與的方向形成右手系!

向量場A沿

的環(huán)流量斯托克斯公式①的物理意義:例4.求電場強度的旋度.解:(除原點外)這說明,在除點電荷所在原點外,整個電場無旋.向量場A產(chǎn)生的旋度場注意與的方向形成右手37的外法向量,計算解:

例5.設(shè)的外法向量,計算解:例5.設(shè)38內(nèi)容小結(jié)1.斯托克斯公式也可寫成:其中A

的旋度A在

的切向量上投影在

的法向量n

上投影內(nèi)容小結(jié)1.斯托克斯公式也可寫成:其中A的旋度A在39在內(nèi)與路徑無關(guān)在內(nèi)處處有在內(nèi)處處有2.空間曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件設(shè)P,Q,R在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則在內(nèi)與路徑無關(guān)在內(nèi)處處有在內(nèi)處處有2.空間曲線403.場論中的三個度設(shè)

梯度:散度:旋度:則3.場論中的三個度設(shè)梯度:散度:旋度:則41思考與練習(xí)則提示:三式相加即得思考與練習(xí)則提示:三式相加即得42作業(yè)P243*2(1),(4);

*3(1),(3);*4(1);

*5(2);*7補充題:證明

習(xí)