地球物理計算方法

地球物理與信息技術學院課堂情況反饋復習問題（常微分方程）數(shù)值方法（方程組與高階方程、邊值問題）誤差分析（收斂性+穩(wěn)定性）上節(jié)課講了些什么？什么是收斂性？4復習什么是穩(wěn)定性？5復習

來討論.顯式歐拉格式：

條件穩(wěn)定隱式歐拉格式：

絕對穩(wěn)定復習復習問題（方程求根）數(shù)值方法（二分法、迭代法）誤差分析（壓縮映像原理）上節(jié)課講了些什么？8

取初值，用顯示公式計算得數(shù)列：

迭代法基本過程如下：

復習92.迭代格式應該滿足什么條件才能保證收斂？3.如何判斷迭代收斂的速度,建立收斂快的迭代格式？1.迭代函數(shù)

如何構造？問題復習

壓縮映象原理

復習迭代結束的條件（事后誤差估計法）

滿足精度要求的最大迭代次數(shù)（事先誤差估計法）L越小收斂越快復習控制誤差ε的方法：(1)先計算滿足誤差要求的迭代次數(shù)n，再迭代。由可得(2)事后誤差估計法。由于因而可用|xn+1-xn|≤ε來控制迭代過程。13算法流程圖xyy=xxyy=xx*x*y=φ(x)y=φ(x)x0p0x1p1x0p0x1p1迭代過程如的幾何意義

xyy=xxyy=xx*x*y=φ(x)y=φ(x)x0p0x1p1x0p0x1p1

17例

用迭代法求方程，在x=1.5附近的一個根（有根區(qū)間[1,2]）

（1）封閉性（2）壓縮性18在區(qū)間[2,3]上有實根，則下列迭代格式中收斂的是：ABC提交單選題2分注：壓縮映像原理是一個充分非必要條件，即在迭代函數(shù)定義域內(nèi)若滿足原理中的封閉性條件及壓縮性條件可保證迭代法收斂到非線性方程的唯一實根，此時迭代初值的選擇是任意的；

但是，若迭代函數(shù)在整個定義域上不滿足壓縮映像原理，并不代表迭代法無效，此時，如果在迭代函數(shù)的某個局部鄰域內(nèi)滿足封閉性條件及壓縮性條件，仍可保證在此鄰域內(nèi)可以通過迭代法收斂到唯一實根，此時迭代初值的選擇不是任意的，而是必須在此鄰域內(nèi)。4、迭代過程的局部收斂性

（1）對初值的要求比較高，x*未知，如何求；

（用近似）（2）如果迭代過程是整體收斂的，則一定局部收斂；反之

則不成立壓縮性封閉性壓縮映像原理局部收斂定理適用區(qū)間[a,b]（可擴展至（-∞，+∞））壓縮性條件(近似)封閉性條件∈[a,b]自然成立（見證明過程）結論[a,b]區(qū)間內(nèi)任意初值x0均收斂x0在x*鄰域內(nèi)收斂（或在初值x0附近收斂）

解：令

，則

24255、迭代過程的收斂速度迭代法是一種逐次逼近法，除了保證迭代收斂，迭代格式收斂速度也需要考慮。

需要對不同方法構造的迭代函數(shù)收斂速度進行評價。定義：如果迭代誤差ek=x*-xk，當時成立則迭代過程p階收斂，p=1,線性收斂，p=2，平方收斂；26特別:27根據(jù)微分中值定理:所以這樣可以得到:線性收斂此結論可作為壓縮映像原理的一個推論：在滿足封閉性與壓縮性條件的前提下，有28根據(jù)泰勒展開:所以這樣可以得到:平方收斂29二分法迭代方法的收斂性迭代法的加速牛頓方法弦截法1、迭代過程的加速31假設xk是根x*某一個的近似值，用迭代公式校正一次：如果該迭代函數(shù)的斜率(L)在xk附近變化不大，且能夠容易計算

,那么：得到解x*：32將該值作為下一次迭代的初值來提高收斂速度，所以迭代公式：迭代：校正：或合并為：優(yōu)點：加速迭代速度缺點：需要每次計算迭代函數(shù)的斜率L：xyy=xy=

φ(x)x*x0P(x0,x1)x1P(x1,x2)P(,)34352、埃特金加速算法36xyy=xy=

φ(x)x*x0P(x0,x1)x1x2P(x1,x2)P(,)38上述迭代校正方法為埃特金加速迭代方法迭代：迭代：校正：39二分法迭代方法的收斂性迭代法的加速牛頓方法弦截法401、牛頓公式函數(shù)線性化整理得到：作為f(x)=0的新的近似根xk+1單根迭代函數(shù)1．是否收斂于方程的根或什么條件下收斂？2.迭代函數(shù)有什么特性？

則有如下著名的牛頓公式：相應的迭代函數(shù)是牛頓迭代法的幾何解釋幾何意義：過點作函數(shù)y=f(x)的切線l：以切線l與x軸的交點作為的新近似值k+1次近似根：過Pk切線與x軸的交點。幾何意義：牛頓迭代法的幾何解釋Newton法又稱為Newton切線法或切線法

牛頓迭代法的計算流程例

用牛頓迭代法求x=e-x的根,ε=10-5解：因f(x)=xex–1,f′(x)=ex(

x+1)建立迭代公式

取x0=0.5,逐次計算得x1=0.571021,x2=0.567156