復變函數(shù)

第3講本文件可從網(wǎng)址http://math.shekou上下載1復變函數(shù)

第3講本文件可從網(wǎng)址1§5復變函數(shù)2§5復變函數(shù)21.復變函數(shù)的定義定義設(shè)G是一個復數(shù)z=x+iy的集合,如果有一個確定的法則存在,按照這一法則,對于集合G中的每一個復數(shù)z,就有一個或幾個復數(shù)w=u+iv與之對應,則稱復變數(shù)w是復變數(shù)z的函數(shù)(簡稱復變函數(shù)),記作

w=f(z)如果z的一個值對應著w的一個值,則函數(shù)f(z)是單值的;否則就是多值的.集合G稱為f(z)的定義集合,對應于G中所有z對應的一切w值所成的集合G*,稱為函數(shù)值集合.31.復變函數(shù)的定義定義設(shè)G是一個復數(shù)z=x+iy的集合在以后的討論中,定義集合G常常是一個平面區(qū)域,稱之為定義域,并且,如無特別聲明,所討論的函數(shù)均為單值函數(shù).

由于給定了一個復數(shù)z=x+iy就相當于給定了兩個實數(shù)x和y,而復數(shù)w=u+iv亦同樣地對應著一對實數(shù)u和v,所以復變函數(shù)w和自變量z之間的關(guān)系w=f(z)相當于兩個關(guān)系式:

u=u(x,y),v=v(x,y),

它們確定了自變量為x和y的兩個二元實變函數(shù).4在以后的討論中,定義集合G常常是一個平面區(qū)域,稱之為定義例如,考察函數(shù)

w=z2

令z=x+iy,w=u+iv,則

u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi,

因而函數(shù)w=z2對應于兩個二元函數(shù):

u=x2-y2,v=2xy5例如,考察函數(shù)

w=z2

令z=x+iy,w=u+iv2.映射的概念如用z平面上的點表示自變量z的值,而用另一個平面w平面上的點表示函數(shù)w的值,則函數(shù)w=f(z)在幾何上就可以看做是把z平面上的一個點集G(定義集合)變到w平面上的一個點集G*(函數(shù)值集合)的映射(或變換).這個映射通常簡稱為由函數(shù)w=f(z)所構(gòu)成的映射.如果G中的點z被映射w=f(z)映射成G*中的點w,則w稱為z的象(映象),而z稱為w的原象.62.映射的概念如用z平面上的點表示自變量z的值,而用另一設(shè)函數(shù)w=z,xyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w27設(shè)函數(shù)w=z,xyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w2a設(shè)函數(shù)w=z2,xyOuvOz1z2w2z3w3aw182a設(shè)函數(shù)w=z2,xyOuvOz1z2w2z3w3aw1由于函數(shù)w=z2對應于兩個二元實變函數(shù):

u=x2-y2,v=2xy. (1.5.1)

因此,它把z平面上的兩族分別以直線y=x和坐標軸為漸近線的等軸雙曲線

x2-y2=c1, 2xy=c2

分別映射成w平面上的兩族平行直線

u=c1, v=c2,9由于函數(shù)w=z2對應于兩個二元實變函數(shù):

u=x2-y2,101-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-1010101-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-函數(shù)w=z2對應于兩個二元實變函數(shù):

u=x2-y2,v=2xy. (1.5.1)

如果確定直線x=l(常數(shù))與y=m(常數(shù)),

直線x=l的象的參數(shù)方程為

u=l2-y2,v=2ly,

消去參數(shù)y得直角坐標方程為

v2=4l2(l2-u)

同理可得直線y=m的象的方程為

v2=4m2(m2+u)11函數(shù)w=z2對應于兩個二元實變函數(shù):

u=x2-y2,uy=1y=25-5-224-4vx=1x=212uy=1y=25-5-224-4vx=1x=212假定函數(shù)w=f(z)的定義集合為z平面上的集合G,函數(shù)值集合為w平面上的集合G*,則G*中的每個點w必將對應著G中的一個(或幾個)點.按照函數(shù)的定義,在G*上就確定了一個單值(或多值)函數(shù)z=j(w),它稱為函數(shù)w=f(z)的反函數(shù),也稱為映射w=f(z)的逆映射.

從反函數(shù)的定義可知,對任意的wG*,有

w=f[j(w)],

當反函數(shù)為單值函數(shù)時,也有

z=j[f(z)],zG13假定函數(shù)w=f(z)的定義集合為z平面上的集合G,函數(shù)值集今后,我們不再區(qū)分函數(shù)與映射(變換).如果函數(shù)(映射)w=f(z)與它的反函數(shù)(逆映射)z=j(w)都是單值的,則稱函數(shù)(映射)w=f(z)是一一的.此時,我們也稱集合G與集合G*是一一對應的.14今后,我們不再區(qū)分函數(shù)與映射(變換).如果函數(shù)(映射)w§6復變函數(shù)的極限和連續(xù)性15§6復變函數(shù)的極限和連續(xù)性151.函數(shù)的極限

定義設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在z0的去心鄰域

0<|z-z0|<r內(nèi),如果有一確定的數(shù)A存在,對于任意給定的e>0,相應地必有一正數(shù)d(e)(0<d),使得當0<|z-z0|<d時有

|f(z)-A|<e,

則稱A為f(z)當z趨向于z0時的極限,記作或記作當zz0時,f(z)A161.函數(shù)的極限

定義設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在z0的去心鄰這個定義的幾何意義是:當變點z一旦進入z0的充分小的d鄰域時,它的象點f(z)就落A的預先給定的e鄰域中.應當注意,z趨向于z0的方式是任意的,無論以何種方式趨向于z0,f(z)都要趨向于同一常數(shù)A.xyOz0dzOuvAef(z)17這個定義的幾何意義是:當變點z一旦進入z0的充分小的d鄰域時極限示意xyOuvO18極限示意xyOuvO18定理一設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,則19定理一設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u證必要性:20證必要性:20充分性:21充分性:21定理二22定理二22例證明函數(shù) 當z0時的極限不存在

[證]令z=x+iy,則由此得23例證明函數(shù) 當z0時的極限不存在

[證]令z=x由此得讓z沿直線y=kx趨于零,我們有24由此得讓z沿直線y=kx趨于零,我們有24顯然,它隨k的不同而不同,所以不存在.雖然但根據(jù)定理一, 不存在.25顯然,它隨k的不同而不同,所以不存在.雖然但根據(jù)定理一此題也可以用另一種方法證明,令z=r(cosq+isinq),則當z沿著不同的射線argz=q趨于零時,f(z)趨于不同的值.例如,z沿正實軸argz=0趨于0時,f(z)1,z沿argz=p/2趨于0時,f(z)0.故不存在26此題也可以用另一種方法證明,令z=r(cosq+isinq2.函數(shù)的連續(xù)性

定義則說f(z)在z0處連續(xù).如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù),我們說f(z)在D內(nèi)連續(xù).定理三函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0處連續(xù)的充要條件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)處連續(xù).272.函數(shù)的連續(xù)性

定義則說f(z)在z0處連續(xù).如果f(例如,函數(shù)f(z)=ln(x2+y2)+i(x2-y2)在復平面內(nèi)除原點外處處連續(xù),因為u=ln(x2+y2)除原點外是處處連續(xù)的,而v=x2-y2是處處連續(xù)的.28例如,函數(shù)f(z)=ln(x2+y2)+i(x2-y2)在定理四

1)在z0連續(xù)的兩個函數(shù)f(z)與g(z)的和,差,積,商(分母在z0不為零)在z0處連續(xù);

2)如果函數(shù)h=g(z)在z0處連續(xù),函數(shù)w=f(h)在h0=g(z0)連續(xù),則復合函數(shù)w=f[g(z)]在z0處連續(xù).

29定理四

1)在z0連續(xù)的兩個函數(shù)f(z)與g(z)的和由以上定理,可以推得有理整函數(shù)(多項式)

w=P(z)=a0+a1z+a2z2+...+anzn

對復平面內(nèi)所有的z都是連續(xù)的,而有理分式函數(shù)其中P(z)和Q(z)都是多項式,在復平面分母不為零的點也是連續(xù)的30由以上定理,可以推得有理整函數(shù)(多項式)

w=P(z)還應指出,所謂函數(shù)f(z)在曲線C上z0點處連續(xù)的意義是指在閉曲線或包括曲線端點在內(nèi)的曲線段上連續(xù)的函數(shù)f(z)在曲線上是有界的.即存在一正數(shù)M,在曲線上恒有 |f(z)|M31還應指出,所謂函數(shù)f(z)在曲線C上z0點處連續(xù)的意義是指作業(yè)第34頁第26,27,29題32作業(yè)第34頁32復變函數(shù)

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第3講本文件可從網(wǎng)址1§5復變函數(shù)34§5復變函數(shù)21.復變函數(shù)的定義定義設(shè)G是一個復數(shù)z=x+iy的集合,如果有一個確定的法則存在,按照這一法則,對于集合G中的每一個復數(shù)z,就有一個或幾個復數(shù)w=u+iv與之對應,則稱復變數(shù)w是復變數(shù)z的函數(shù)(簡稱復變函數(shù)),記作

w=f(z)如果z的一個值對應著w的一個值,則函數(shù)f(z)是單值的;否則就是多值的.集合G稱為f(z)的定義集合,對應于G中所有z對應的一切w值所成的集合G*,稱為函數(shù)值集合.351.復變函數(shù)的定義定義設(shè)G是一個復數(shù)z=x+iy的集合在以后的討論中,定義集合G常常是一個平面區(qū)域,稱之為定義域,并且,如無特別聲明,所討論的函數(shù)均為單值函數(shù).

由于給定了一個復數(shù)z=x+iy就相當于給定了兩個實數(shù)x和y,而復數(shù)w=u+iv亦同樣地對應著一對實數(shù)u和v,所以復變函數(shù)w和自變量z之間的關(guān)系w=f(z)相當于兩個關(guān)系式:

u=u(x,y),v=v(x,y),

它們確定了自變量為x和y的兩個二元實變函數(shù).36在以后的討論中,定義集合G常常是一個平面區(qū)域,稱之為定義例如,考察函數(shù)

w=z2

令z=x+iy,w=u+iv,則

u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi,

因而函數(shù)w=z2對應于兩個二元函數(shù):

u=x2-y2,v=2xy37例如,考察函數(shù)

w=z2

令z=x+iy,w=u+iv2.映射的概念如用z平面上的點表示自變量z的值,而用另一個平面w平面上的點表示函數(shù)w的值,則函數(shù)w=f(z)在幾何上就可以看做是把z平面上的一個點集G(定義集合)變到w平面上的一個點集G*(函數(shù)值集合)的映射(或變換).這個映射通常簡稱為由函數(shù)w=f(z)所構(gòu)成的映射.如果G中的點z被映射w=f(z)映射成G*中的點w,則w稱為z的象(映象),而z稱為w的原象.382.映射的概念如用z平面上的點表示自變量z的值,而用另一設(shè)函數(shù)w=z,xyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w239設(shè)函數(shù)w=z,xyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w2a設(shè)函數(shù)w=z2,xyOuvOz1z2w2z3w3aw1402a設(shè)函數(shù)w=z2,xyOuvOz1z2w2z3w3aw1由于函數(shù)w=z2對應于兩個二元實變函數(shù):

u=x2-y2,v=2xy. (1.5.1)

因此,它把z平面上的兩族分別以直線y=x和坐標軸為漸近線的等軸雙曲線

x2-y2=c1, 2xy=c2

分別映射成w平面上的兩族平行直線

u=c1, v=c2,41由于函數(shù)w=z2對應于兩個二元實變函數(shù):

u=x2-y2,101-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-1042101-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-函數(shù)w=z2對應于兩個二元實變函數(shù):

u=x2-y2,v=2xy. (1.5.1)

如果確定直線x=l(常數(shù))與y=m(常數(shù)),

直線x=l的象的參數(shù)方程為

u=l2-y2,v=2ly,

消去參數(shù)y得直角坐標方程為

v2=4l2(l2-u)

同理可得直線y=m的象的方程為

v2=4m2(m2+u)43函數(shù)w=z2對應于兩個二元實變函數(shù):

u=x2-y2,uy=1y=25-5-224-4vx=1x=244uy=1y=25-5-224-4vx=1x=212假定函數(shù)w=f(z)的定義集合為z平面上的集合G,函數(shù)值集合為w平面上的集合G*,則G*中的每個點w必將對應著G中的一個(或幾個)點.按照函數(shù)的定義,在G*上就確定了一個單值(或多值)函數(shù)z=j(w),它稱為函數(shù)w=f(z)的反函數(shù),也稱為映射w=f(z)的逆映射.

從反函數(shù)的定義可知,對任意的wG*,有

w=f[j(w)],

當反函數(shù)為單值函數(shù)時,也有

z=j[f(z)],zG45假定函數(shù)w=f(z)的定義集合為z平面上的集合G,函數(shù)值集今后,我們不再區(qū)分函數(shù)與映射(變換).如果函數(shù)(映射)w=f(z)與它的反函數(shù)(逆映射)z=j(w)都是單值的,則稱函數(shù)(映射)w=f(z)是一一的.此時,我們也稱集合G與集合G*是一一對應的.46今后,我們不再區(qū)分函數(shù)與映射(變換).如果函數(shù)(映射)w§6復變函數(shù)的極限和連續(xù)性47§6復變函數(shù)的極限和連續(xù)性151.函數(shù)的極限

定義設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在z0的去心鄰域

0<|z-z0|<r內(nèi),如果有一確定的數(shù)A存在,對于任意給定的e>0,相應地必有一正數(shù)d(e)(0<d),使得當0<|z-z0|<d時有

|f(z)-A|<e,

則稱A為f(z)當z趨向于z0時的極限,記作或記作當zz0時,f(z)A481.函數(shù)的極限

定義設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在z0的去心鄰這個定義的幾何意義是:當變點z一旦進入z0的充分小的d鄰域時,它的象點f(z)就落A的預先給定的e鄰域中.應當注意,z趨向于z0的方式是任意的,無論以何種方式趨向于z0,f(z)都要趨向于同一常數(shù)A.xyOz0dzOuvAef(z)49這個定義的幾何意義是:當變點z一旦進入z0的充分小的d鄰域時極限示意xyOuvO50極限示意xyOuvO18定理一設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,則51定理一設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u證必要性:52證必要性:20充分性:53充分性:21定理二54定理二22例證明函數(shù) 當z0時的極限不存在

[證]令z=x+iy,則由此得55例證明函數(shù) 當z0時的極限不存在

[證]令z=x由此得讓z沿直線y=kx趨于零,我們有56由此得讓z沿直線y=kx趨于零,我們有24顯然,它隨k的不同而不同,所以不存在.雖然但根據(jù)定理一, 不存在.57顯然,它隨k的不同而不同,所以不存在.雖然但根據(jù)定理一此題也可以用另一種方法證明,令z=r(cosq+isinq),則當z沿著不同的射線argz=q趨于零時,f(z)趨于不同的值.例如,z沿正實軸argz=0趨于0時,f(z)1,z沿argz=p/2趨于0時,f(z)0.故不存在58此題也可以用另一種方法證明,令z=r(cosq+isinq2.函數(shù)的連續(xù)性

定義則說f(z)在z0處連續(xù).