直角三角形同步練習(xí)一.選擇題（共9小題）1.（2016?昆明校級模擬）如圖，BD平分ZABC,CD丄BD,D為垂足，ZC=55。，則ZABC的度數(shù)是（）A.35°B.55°C.60°D.70°2.（2016?石家莊校級模擬）如圖，ZAOB=40°,OC平分ZAOB,直尺與OC垂直，則Z1等于（）A.60°B.70°C.50°D.40°3.（2016春?湘潭期末）如圖，RtAABC中，ZACB=90°,ZA=55°,將其折疊，使點A落在邊CB上A，處，折痕為CD,則ZAQB=（）A.40°B.30°C.20°D.10°4.（2016春?高青縣期中）如圖，ZACB=90°,CD丄AB,垂足為D,下列結(jié)論錯誤的是（）A?圖中有三個直角三角形B.Z1=Z2C.Z1和ZB都是ZA的余角D.Z2=ZA

5.（2016春東臺市期中）如圖，△ABC中，ZACB=90。，沿CD折疊△CBD，使點B恰好落在AC邊上的點E處，若ZA=25°，則ZBDC等于（）A.44。B.60°C.67°D.70°將一副直角三角尺如圖放置，若ZAOD=20°,貝9ZBOC的大小為（）A.140°B.160°C.170°D.150°如果一個三角形的一個頂點是它的三條高的交點，那么這個三角形是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形如圖，已知△ABC中，ZACB=90°,CD為AB邊上的高，ZABC的平分線BE分別交CD、CA于點F、E,則下列結(jié)論正確的有（）①ZCFE=ZCEF；②ZFCB=ZFBC，③ZA=ZDCB:④ZCFE與ZCBF互余.A.①③④B.②③④C.①②④D.①②③9.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,ACMAB,AD是斜邊BC上的高，DE丄AC，DF丄AB，垂足分別為E、F,則圖中與ZC（ZC除外）相等的角的個數(shù)是（）A.3個B.4個C.5個D.6個二.填空題（共10小題）

10.如圖，AABC中，ZACB=9010.如圖，AABC中，ZACB=90。，CD丄AB于D,若ZA=30°,則Zl=度，Z2=度，ZB=度.11.如圖，在RtAABC中，ZC=90。，ED丄AB.求證：ZAED=ZB.證明：在RtAABC中，ZA+ZB=90。（根據(jù)是在RtAADE中，ZA+ZAED=90。（根據(jù)是所以ZAED=ZB（根據(jù)是CD丄AB，DE丄AC,則圖中共有.個直角三角形.占13.所以ZAED=ZB（根據(jù)是CD丄AB，DE丄AC,則圖中共有.個直角三角形.占13.直角三角形中兩個銳角的差為20°，則兩個銳角的度數(shù)分別是14.在厶ABC中，AB邊上的中線CD=3，AB=6，BC+AC=8,貝VAABC的面積為.如圖，AABC中，ZC=90°,ZB=30。，AD是ZBAC的平分線，DE丄AB,垂足為E,則Z15.16.（2016春?平定縣期中）已知點D是RtAABC斜邊AB上的中點，ZB=65。，那么ZACD=度.17.（2016春?郴州校級月考）直角三角形的兩直角邊分別為12和24,則斜邊上的中線長為斜邊上的高為18.（2015秋南京期中）如圖，在厶ABC中，ZACB=90。，ZCAB=30°.以AB長為一邊作△ABD,且AD=BD,ZADB=90°,取AB中點E,連DE、CE、CD.貝^ZEDC=CDEACAA且AD=BD,ZADB=90°,取AB中點E,連DE、CE、CD.貝^ZEDC=CDEACAA口巧OF圖121.19.如圖，點E是RtAABC、RtAABD的斜邊AB的中點，AC=BC,ZDBA=20°，那么ZDCE三.解答題（共10小題）板DEF的長直角邊DE重合.問題解決將圖1中的等腰直角三角板ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)30°,點C落在BF上.AC與BD交于點O,連接CD,如圖2.(1)若DF=4,求BF的長;（2）求證：ACDO是等腰三角形.的度數(shù)是.將一副直角三角板如圖（1）擺放，能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC的斜邊BC與含30°角的直角三角閱讀理解:20.操作發(fā)現(xiàn)8如圖1,在△ABC的邊AB上取一點P,連接CP,可以把△ABC分成兩個三角形，如果這兩個三角形都是等腰三角形，我們就稱點P是厶ABC的邊AB上的和諧點.解決問題:(1)如圖2,AABC中，ZACB=90。，試找出邊AB上的和諧點P,并說明理由.(2)已知ZA=40°「，AABC的頂點B在射線1上(圖3)，點P是邊AB上的和諧點，請在圖3中畫出所有符合條件的B點，并寫出相應(yīng)的ZB的度數(shù).畫出所有符合條件的B點，并寫出相應(yīng)的ZB的度數(shù).A圖222.如圖，ZABC=90°，D、E分別在BC、AC上,AD丄DE，且AD=DE，點F是AE的中點，F(xiàn)D與AB相交于點M.(1)求證：ZFMC=ZFCM；(2)AD與MC垂直嗎？并說明理由.23.(2016岑溪市一模)如圖，在△ABC中，AB=CB，ZABC=90°，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE=BD，連結(jié)AE、DE、DC.①求證：△ABE9ACBD；②若ZCAE=33。，求ZBDC的度數(shù).AAC于點E,ZBAD=ZFCD.24．已知：如圖，△ABC中，ZACB=45。,AD丄BC于D,CF交AD于點F,連接BF并延長交ECB25SDCDAfC求證：(1)AABD9ACFD；(2)BE丄AC.EC、DB的中點.求證：MN丄BD.26.如圖，在△ABC中，點D在AB上，且CD=CB,點E為BD的中點，點F為AC的中點，連結(jié)EF交CD于點M,連接AM.(1)求證：EF=^AC.(2)若ZBAC=45°，求線段AM、DM、BC之間的數(shù)量關(guān)系.A27.如圖，在四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,O為BD的中點，ZOAC和ZOCA相等嗎?如圖，直線a、b相交于點A,C、E分別是直線b、a上兩點且BC丄a,DE丄b,點M、N是請說明理由.28.如圖，AABC中，AD是邊BC上的高，CF是邊AB上的中線，且DC=BF,DE丄CF于E.(1)E是CF的中點嗎？試說明理由;(2)試說明：ZB=2ZBCF.29.(2016春深圳校級期中)如圖，在△ACB中，ZACB=90°,CD丄AB于D.求證：ZACD=ZB；若AF平分ZCAB分別交CD、BC于E、F,求證：ZCEF=ZCFE.直角三角形同步練習(xí)參考答案與試題解析一?選擇題（共9小題）11.（2016?昆明校級模擬）如圖，BD平分ZABC,CD丄BD,D為垂足，ZC=55。，則ZABC的度數(shù)是（）A60°D.70°【解答】解：TCD丄BD,ZC=55。,.??ZCBD=90。-55°=35°,VBD平分ZABC,AZABC=2ZCBD=2X35°=70°.故選D.2.（2016?石家莊校級模擬）如圖，ZAOB=40°,OC平分ZAOB,直尺與OC垂直，則Z1等于（）A.60°B.70°C.50°D.40°【解答】解：如圖所示：根據(jù)題意得：Z1=Z2=Z3,TOC平分ZAOB,.?.ZAOC丄ZAOB=20°,2???Z3=90°-20°=70°,.Z1=70°；

3.（2016春?湘潭期末）如圖，RtAABC中，Z3.（2016春?湘潭期末）如圖，RtAABC中，ZACB=90°,ZA=55。,將其折疊，使點A落在邊CB上A，處，折痕為CD,則ZAQB=（）°C.20°D.10°【解答】解：在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=55。,AZB=180°-90°-55°=35°,由折疊可得：ZCA'D=ZA=55°,又TZCAQA，BD的外角，.??ZCA'D=ZB+ZA'DB,則ZA'DB=55。-35°=20°.故選：C.4.（2016春?高青縣期中）如圖，ZACB=90°,CD丄AB,垂足為D,F列結(jié)論錯誤的是（）A?圖中有三個直角三角形B.Z1=Z2C.Z1和ZB都是ZA的余角D.Z2=ZA【解答】解：?.?ZACB=90°,CD丄AB,垂足為D,

???△ACDs^CBDABC.A、，：圖中有三個直角三角形RtAACD、RtACBD、RtAABC；故本選項正確；B、應(yīng)為Z1=ZB>Z2=ZA；故本選項錯誤；C、：Z1=ZB、Z2=ZA，而ZB是ZA的余角，?Z1和ZB都是ZA的余角；故本選項正確；D、：Z2=ZA；故本選項正確.故選B.5.（2016春東臺市期中）如圖，△ABC中，ZACB=90°，沿CD折疊△CBD，使點B恰好落在AC邊上的點E處，若ZA=25°，則ZBDC等于（）5iAA.44。B.60°C.67。D.70°【解答】解：?.?△ABC中，ZACB=90°,ZA=25°,.??ZB=90°-ZA=65°，由折疊的性質(zhì)可得：ZCED=ZB=65°,ZBDC=ZEDC,.??ZADE=ZCED-ZA=40°，.?.ZBDC令(180°-ZADE)=70°.故選D.將一副直角三角尺如圖放置，若ZAOD=20°，貝9ZBOC的大小為()A.140°B.160°C.170°D.150°【解答】解：?：將一副直角三角尺如圖放置，ZAOD=20°,.??ZCOA=90°-20°=70°，???ZBOC=90°+70°=160°.故選：B.如果一個三角形的一個頂點是它的三條高的交點，那么這個三角形是（）A、銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形【解答】解：A、銳角三角形，三條高線交點在三角形內(nèi)，故錯誤；B、因為直角三角形的直角所在的頂點正好是三條高線的交點，所以可以得出這個三角形是直角三角形，故正確；C、鈍角三角形，三條高線不會交于一個頂點，故錯誤；D、等邊三角形，三條高線交點在三角形內(nèi)，故錯誤.故選B.如圖，已知△ABC中，ZACB=90。，CD為AB邊上的高，ZABC的平分線BE分別交CD、CA于點F、E,則下列結(jié)論正確的有（）①ZCFE=ZCEF；②ZFCB=ZFBC，③ZA=ZDCB:④ZCFE與ZCBF互余.A.①③④B.②③④C.①②④D.①②③【解答】解：如圖所示,.??Z5=Z6,VZ3+Z4=90°，ZA+Z3=90°，.°.ZA=Z4,VZ1=ZA+Z6,Z2=Z4+Z5,Z1=Z2,故ZCFE=ZCEF,所以①正確；若ZFCB=ZFBC，即Z4=Z5,由（1）可知：ZA=Z4,?°.ZA=Z5=Z6,VZA+Z5+Z6=180°,.??ZA=30。，即只有當(dāng)ZA=30°時，ZFCB=ZFBC而已知沒有這個條件，故②錯誤；VZ3+Z4=90°,ZA+Z3=90°,.°.ZA=Z4,即ZA=ZDCB,故③正確；VZ1=Z2,Z1+Z5=90°,.??Z2+Z5=90。，即：ZCFE與ZCBF互余，故④正確.故選A.9.如圖，在△ABC中，ZBAC=90。，ACMAB,AD是斜邊BC上的高，DE丄AC,DF丄AB,垂足分別為E、F,則圖中與ZC（ZC除外）相等的角的個數(shù)是（）A.3個B.4個C.5個D.6個【解答】解：如圖，TAD是斜邊BC上的高，DE丄AC,DF丄AB,AZC+ZB=90°,ZBDF+ZB=90°,ZBAD+ZB=90°,AZC=ZBDF=ZBAD,VZDAC+ZC=90°,ZDAC+ZADE=90°,AZC=ZADE,圖中與ZC（除之C外）相等的角的個數(shù)是3,故選：A.二.填空題（共10小題）10.如圖，AABC中，ZACB=90°,CD丄AB于D,若ZA=30°,則Z1=60度，Z2=30度,ZB=60度.【解答】解：?.?ZACB=90。，CD丄AB于D,ZA=30°???Z1=90。-30°=60°；Z2=90°-Z1=30°；ZB=90°-ZA=60°.11.如圖，在RtAABC中，ZC=90。，ED丄AB.求證：ZAED=ZB.證明：在RtAABC中，ZA+ZB=90。（根據(jù)是直角三角形兩銳角互余）在RtAADE中，ZA+ZAED=90。（根據(jù)是-直角三角形兩銳角互余）所以ZAED=ZB（根據(jù)是.等量代換）在RtAABC和RtAADE中，由直角三角形兩銳角互余可得到ZA+ZB=90°和ZA+ZAED=90。,再利用等量代換可得到ZAED=ZB，故答案為：直角三角形兩銳角互余；直角三角形兩銳角互余；等量代換.12.如圖，RtAABC中，ZACB=90。，CD丄AB,DE丄AC,則圖中共有5個直角三角形.【解答】解：?.?ZACB=90。，CD丄AB,DE丄AC,.?.△abc,aadc,acdb,aced,aaed為直角三角形，???共有五個直角三角形.直角三角形中兩個銳角的差為20°,則兩個銳角的度數(shù)分別是55°、35°.【解答】解：設(shè)一個銳角為x,則另一個銳角為x-20°,則x+x-20°=90°,解得，x=55°,x-20°=35°故答案為：55。、35°.在厶ABC中，AB邊上的中線CD=3,AB=6,BC+AC=8,貝9厶ABC的面積為7【解答】解：如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，?CD=3,AB=6,AD=DB=3,.??CD=AD=DB,?.Z1=Z2,Z3=Z4,VZ1+Z2+Z3+Z4=180°,/.Z1+Z3=90°,???△ABC是直角三角形，.??AC2+BC2=AB2=36,又?AC+BC=8,???AC2+2AC?BC+BC2=64,.??2AC?BC=64-(AC2+BC2)=64-36=28,

又丁又丁abc冷AC'BC,C3斗BjECD度2?S==7''*△ABC=15.如圖，AABC中，ZC=90°,ZB=30C3斗BjECD度2?S==7''*△ABC=15.如圖，AABC中，ZC=90°,ZB=30。，AD是ZBAC的平分線，DE丄AB,垂足為E,則ZADE的度數(shù)是60。【解答】解：?.?ZC=90°,ZB=30。,?ZBAC=60°，AD是ZBAC的平分線,?ZEADiZBAC=30。’?DE丄AB,.??ZADE=90。-30°=60°,故答案為：60°.16.（2016春?平定縣期中）已知點D是RtAABC斜邊AB上的中點，ZB=65。，那么ZACD=」5【解答】解：如圖，在Rt^ABC中，ZB=65。,則ZA=25°,??點D是Rt^ABC斜邊AB上的中點,?DA=DC,?ZACD=ZA=25°,故答案為：25.17.（2016春郴州校級月考）直角三角形的兩直角邊分別為12和24,則斜邊上的中線長為_6屆斜邊上的高為—蘭5【解答】解：由勾股定理得，斜邊長為Y去石異=121宅，則斜邊上的中線長為12“5=61’5，設(shè)斜邊上的高為h,則寺X121：5Xh令X12X24,解得h上5故答案為：6蔦；；亙.518.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,ZCAB=30。.以AB長為一邊作△ABD,且AD=BD,ZADB=90。，取AB中點E,連DE、CE、CD.則ZEDC=75°.【解答】解：???ZACB=90°,點E是AB中點,??EC=EA=EBpAB,AZECA=ZCAB=30°,.\ZCEB=60°,?AD=BD,點E是AB中點,.?.DE丄AB,即ZAED=90°,??ZADB=90°，點E是AB中點,DEAC20.操作發(fā)現(xiàn).??ZDEC=180。-90°-60。=30。,??gAB,.??ED=EC,?ZEDC=75°,故答案為：75.19.如圖，點E是RtAABC、RtAABD的斜邊AB的中點，AC=BC,ZDBA=20°，那么ZDCE的度數(shù)是25?！窘獯稹拷猓???點E是Rt^ABD的斜邊AB的中點,???ED=Eb3?ZEDB=ZDBA=20°,?ZDEA=ZEDB+ZDBA=40°,??點E是Rt^ABC的斜邊AB的中點，AC=BC,?EC冷AB,CE±AB，?ZDEC=130°,ED=EC,/.ZDCE=25°,故答案為：25°.三?解答題（共10小題）板DEF的長直角邊DE重合.問題解決將圖1中的等腰直角三角板ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)30。，點C落在BF上.AC與BD交于點O,連接CD,如圖2.若DF=4,求BF的長；求證：ACDO是等腰三角形.【解答】解：(1)7在RtADEF中,ZDEF=30°,ZEDF=90°,DF=4,???BF=8.(2)7在厶BDC中，BC=DE,AZBDC=ZBCD.7ZDEF=30。，AZBDC=ZBCD=75°,7ZACB=45。,???ZDOC=30°+45°=75°.AZDOC=ZBDC,???△CDO是等腰三角形.21.閱讀理解：如圖1,在AABC的邊AB上取一點P,連接CP,可以把△ABC分成兩個三角形，如果這兩個三角形都是等腰三角形，我們就稱點P是厶ABC的邊AB上的和諧點.解決問題：如圖2,AABC中，ZACB=90。，試找出邊AB上的和諧點P,并說明理由.已知ZA=40°,AABC的頂點B在射線1上(圖3),點P是邊AB上的和諧點，請在圖3中畫出所有符合條件的B點，并寫出相應(yīng)的ZB的度數(shù).

A圖2A圖2【解答】解：（1）AB邊上的和諧點為AB的中點；理由如下：TP是AB的中點，.?.pc4ab=pa=pb,2???△ACP和ABCP是等腰三角形；（2）所有符合條件的點B有3個，如圖3所示：ZB的度數(shù)為35。、50。、80°.22.如圖，ZABC=90。，D、E分別在BC、AC上,AD丄DE,且AD=DE,點F是AE的中點,FD與AB相交于點M.（1）求證：ZFMC=ZFCM；（2）AD與MC垂直嗎？并說明理由.【解答】（1）證明：?「△ADE是等腰直角三角形，F(xiàn)是AE中點,.?.DF丄AE,DF=AF=EF,又\,ZABC=90°,ZDCF,ZAMF都與ZMAC互余，?.ZDCF=ZAMF,在ADFC和AAFM中，'ZDCF=ZW“ZCFD=Zm,、DF=AF.?.△DFC9AAFM(AAS),.??CF=MF,?.ZFMC=ZFCM；(2)AD丄MC,理由：由(1)知，ZMFC=90。，F(xiàn)D=FA=FE,FM=FC,.??ZFDE=ZFMC=45。，ADE#CM,.AD丄MC.23.（2016岑溪市一模）如圖，在△ABC中，AB=CB,ZABC=90°,D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE=BD，連結(jié)AE、DE、DC.①求證：△ABE9ACBD；②若ZCAE=33°，求ZBDC的度數(shù).【解答】解：（1）TZABC=90。，D為AB延長線上一點,AZABE=ZCBD=90°,在厶ABE和厶CBD中,AB=CB?ZABE=ZCBD,;BE=BDr.?.△ABE9ACBD(SAS)；(2)TAB=CB,ZABC=90。,???△ABC為等腰直角三角形,.??ZCAB=45。,VZCAE=33°,/.ZBAE=ZCAB-ZCAE=12°.?.?△ABEmCBD,?ZBCD=ZBAE=12°,?ZBDC=78°答：ZBDC的度數(shù)為78°.24.已知：如圖，AABC中，ZACB=45。，AD丄BC于D,CF交AD于點F,連接BF并延長交AC于點E,ZBAD=ZFCD.求證：（1）AABD9ACFD；(2)BE丄AC.【解答】證明：(1)TAD丄BC,ZADC=ZFDB=90°.VZACB=45°,ZACB=ZDAC=45°,AD=CD,???在△ABD和ACFD中，rZADB=ZCDF、AD=CD,;Zbad=Zfcd

.?.△ABD9ACFD(ASA),(2)MABDmCFD,.??BD=FD,???ZFDB=90。，.??ZFBD=ZBFD=45。，VZACB=45°,.??ZBEC=90。，.?.BE丄AC.25.如圖，直線a、b相交于點A,C、E分別是直線b、a上兩點且BC丄a,DE丄b,點M、N是EC、DB的中點.求證：MN丄BD.【解答】證明：TBC丄a,DE丄b,點M是EC的中點，.?.dmAec,bmAec,22.??DM=BM,???點N是BD的中點，.MN丄BD.26.如圖，在△ABC中，點D在AB上，且CD=CB,點E為BD的中點，點F為AC的