計(jì)算方法最佳一致逼近多項(xiàng)式-切比雪夫多項(xiàng)式計(jì)算方法最佳一致逼近多項(xiàng)式-切比雪夫多項(xiàng)式1內(nèi)容函數(shù)逼近的基本概念切比雪夫多項(xiàng)式最佳一致逼近多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式在函數(shù)逼近中的應(yīng)用利用切比雪夫多項(xiàng)式的0點(diǎn)構(gòu)造最佳逼近多項(xiàng)式的例子內(nèi)容函數(shù)逼近的基本概念2函數(shù)逼近的基本概念函數(shù)逼近的基本概念3§1函數(shù)逼近的基本概念第3章函數(shù)逼近與曲線擬合一、函數(shù)逼近與函數(shù)空間實(shí)際應(yīng)用需要使用簡(jiǎn)單函數(shù)逼近已知復(fù)雜函數(shù)。BA§1函數(shù)逼近的基本概念第3章函數(shù)逼近與曲線擬合一、函4定理1具有重要的理論意義；Bernstan多項(xiàng)式收斂到f(x)較慢，不常用。定理1具有重要的理論意義；5xyy=L(x)一致逼近的幾何意義Homexyy=L(x)一致逼近的幾何意義Home6切比雪夫多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式7由三角表達(dá)式定義的多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式在逼近理論中有重要的應(yīng)用。切比雪夫(Chebyshev)多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式的0點(diǎn)可以用于構(gòu)造具有最佳一致逼近性質(zhì)的插值多項(xiàng)式。切比雪夫多項(xiàng)式的(簡(jiǎn)單)定義：稱(chēng)為切比雪夫多項(xiàng)式。(2.10)…由三角表達(dá)式定切比雪夫多項(xiàng)式在逼近理論中有重要的應(yīng)用。切比雪8課堂練習(xí)：推出T4(x)切比雪夫多項(xiàng)式的前幾項(xiàng)：切比雪夫多項(xiàng)式的表達(dá)式課堂練習(xí)：推出T4(x)切比雪夫多項(xiàng)式的前幾項(xiàng)：切比雪夫多項(xiàng)9切比雪夫多項(xiàng)式的性質(zhì)（1）基本遞推關(guān)系切比雪夫多項(xiàng)式的性質(zhì)（1）基本遞推關(guān)系10（2）正交性（2）正交性11當(dāng)m≠n:當(dāng)m=n≠0當(dāng)m=n=0根據(jù)積化和差公式：當(dāng)m≠n:當(dāng)m=n≠0當(dāng)m=n=0根據(jù)積化和差公式：12利用數(shù)學(xué)歸納法證明：（3）奇偶性利用數(shù)學(xué)歸納法證明：（3）奇偶性13計(jì)算方法最佳一致逼近多項(xiàng)式-切比雪夫多項(xiàng)式專(zhuān)題培課件14（4）切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)………（4）切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)………15接近-1和1的地方越密。過(guò)這些0點(diǎn)作平行于y軸的直線，這些直線與上半單位元的交點(diǎn)形成了一個(gè)關(guān)于圓弧的等距的點(diǎn)的集合。圖為T(mén)11(x)的零點(diǎn)，一共有11個(gè)…接近-1和1的地方越密。過(guò)這些0點(diǎn)作平行于y軸的直線，這些直16（5）切比雪夫多項(xiàng)式的極值點(diǎn)……（5）切比雪夫多項(xiàng)式的極值點(diǎn)……17T1(x)T2(x)T3(x)T4(x)T3(x)有3個(gè)0值點(diǎn)，4個(gè)極值點(diǎn)1-11-1T1(x)T2(x)T3(x)T4(x)T3(x)有3個(gè)0值18總結(jié)：Tn(x)具有很好的性質(zhì)。Tn(x)是n階多項(xiàng)式，具有n個(gè)0點(diǎn)，n+1個(gè)極值點(diǎn)；有界[-1,1]；T1(x),T3(x),…只含x的奇次項(xiàng)，是奇函數(shù)，T2(x),T4(x),…只含x的偶次項(xiàng)，是偶函數(shù)。xyHome總結(jié)：Tn(x)具有很好的性質(zhì)。Tn(x)是n階多項(xiàng)式，具19最佳一致逼近多項(xiàng)式最佳一致逼近多項(xiàng)式20§3最佳一致逼近多項(xiàng)式一、基本概念及其理論目的：求一個(gè)能夠按照絕對(duì)值逼近f(x)的最佳n次多項(xiàng)式不超過(guò)n次的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體HnC[a,b]§3最佳一致逼近多項(xiàng)式一、基本概念及其理論目的：求一個(gè)21偏差的定義確定的Pn(x)對(duì)所有的Pn(x)?Hn偏差的定義確定的對(duì)所有的22計(jì)算方法最佳一致逼近多項(xiàng)式-切比雪夫多項(xiàng)式專(zhuān)題培課件23最佳一致逼近多項(xiàng)式的存在性定理p(x)的系數(shù){an}…………Home最佳一致逼近多項(xiàng)式的存在性定理p(x)的系數(shù){an}…………24切比雪夫多項(xiàng)式在函數(shù)逼近中的應(yīng)用切比雪夫多項(xiàng)式在函數(shù)逼近中的應(yīng)用25三、切比雪夫多項(xiàng)式在函數(shù)逼近中的應(yīng)用希望構(gòu)造最高次冪xn系數(shù)為1的多項(xiàng)式：…三、切比雪夫多項(xiàng)式在函數(shù)逼近中的應(yīng)用希望構(gòu)造最高次冪xn系26三、切比雪夫多項(xiàng)式在函數(shù)逼近中的應(yīng)用證明比較復(fù)雜，省略。這個(gè)定理的結(jié)論非常重要三、切比雪夫多項(xiàng)式在函數(shù)逼近中的應(yīng)用證明比較復(fù)雜，省略。這個(gè)27怎樣才能使得拉格朗日插值多項(xiàng)式成為最佳逼近？偏差估計(jì)…怎樣才能使得拉格朗日插值多項(xiàng)式成為最佳逼近？偏差估計(jì)…28最佳一致逼近0的多項(xiàng)式而上式成立的充分必要條件是x0,x1,…xn是切比雪夫多項(xiàng)式的0點(diǎn)?！罴岩恢卤平?的多項(xiàng)式而上式成立的充分必要條件是x0,x129證明：…已知|Tn(x)|<=1證明：…已知30計(jì)算方法最佳一致逼近多項(xiàng)式-切比雪夫多項(xiàng)式專(zhuān)題培課件31對(duì)任意區(qū)間[a,b]，不能直接使用定理7。例如：為將[0,1][-1,1]，可以令：則針對(duì)g(t)使用定理7對(duì)任意區(qū)間[a,b]，不能直接使用定理7。例如：為將[0,32最佳逼近拉格朗日插值多項(xiàng)式的構(gòu)造步驟Home最佳逼近拉格朗日插值多項(xiàng)式的構(gòu)造步驟Home33利用切比雪夫多項(xiàng)式的0點(diǎn)構(gòu)造最佳逼近多項(xiàng)式的例子利用切比雪夫多項(xiàng)式的0點(diǎn)構(gòu)造最佳逼近多項(xiàng)式的例子34解：利用定理7，構(gòu)造所求的L4(x)；令：tk例4.求f(x)=ex在[0,1]上的4次最佳一致逼近

多項(xiàng)式L4(x),并且估計(jì)誤差。解：利用定理7，構(gòu)造所求的L4(x)；令：tk例4.求f(3501234x0.975530.793900.50.206110.02447ex2.652572.212011.648721.228891.0247701234x0.975530.793900.50.2061136Lagrange插值多項(xiàng)式為經(jīng)過(guò)比較復(fù)雜的計(jì)算，得：Lagrange插值多項(xiàng)式為經(jīng)過(guò)比較復(fù)雜的計(jì)算，得：37誤差估計(jì)：注意到變換x=?(t+1)這說(shuō)明，在區(qū)間[0,1]上使用多項(xiàng)式L4(x)逼近ex

的絕對(duì)值誤差非常小，避免了龍格現(xiàn)象。T5(t)最高次冪系數(shù)為24誤差估計(jì)：注意到變換x=?(t+1)這說(shuō)明，在區(qū)間[03801234x0.975530.793900.50.206110.02447ex2.652572.212011.648721.228891.02477現(xiàn)在試圖用Newton插值多項(xiàng)式逼近01234x0.975530.793900.50.2061139xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3，xi+4

]x0f(x0)x1f(x1)f[x0,x1]x2f(x2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]x3f(x3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]x4f(x4)f[x3,x4]f[x2,x3,x4]f[x1,x2,x3,x4]f[x0,x1,x2,x3,x4]xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,40xif(xi)f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3，xi+4

]0.97552.65260.79392.2122.42620.51.64871.91661.07170.20611.22891.42840.83060.31340.02451.02481.12390.64040.24720.0696xif(xi)f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,41計(jì)算方法最佳一致逼近多項(xiàng)式-切比雪夫多項(xiàng)式專(zhuān)題培課件42這個(gè)結(jié)果和使用拉格朗日插值法所得到的結(jié)果稍有誤差，由具體計(jì)算的小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)引起。這個(gè)結(jié)果和使用拉格朗日插值法所得到的結(jié)果稍有誤差，由具體計(jì)算43例5.求f(x)=1/(1+x2)

在[-5,5]上的10次最佳

一致逼近多項(xiàng)式L10(x),并且估計(jì)誤差。解：在[-1,1]上的切比雪夫多項(xiàng)式T11(x)的0點(diǎn)

為做變換x=5t,當(dāng)t?[-1,1]的時(shí)候，x?[-5,5]例5.求f(x)=1/(1+x2)在[-5,5]上的144xyy=L10(x)-55xyy=L10(x)-5545總結(jié)最佳逼近：設(shè)有函數(shù)類(lèi)A，若存在函數(shù)類(lèi)B?A。對(duì)函數(shù)f(x)?A，若存在函數(shù)φ*(x)?B，使得在某種范數(shù)下||f-φ*||<=||f-φ||,φ?B成立。HnC[a,b]特別地，取A=C[a,b]，B=Hn，為不超過(guò)n次的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的集合。對(duì)某函數(shù)f(x)?C[a,b]，若存在P*(x)?Hn，使得||f-P*||∞<=||f-P||∞,P(x)?Hn，則稱(chēng)P*(x)一致地最佳逼近f(x).BA總結(jié)最佳逼近：設(shè)有函數(shù)類(lèi)A，若存在函數(shù)類(lèi)B?A。對(duì)函數(shù)f(46結(jié)論：f(x)要充分光滑，插值節(jié)點(diǎn)選取也很特別?？偨Y(jié)(續(xù))結(jié)論：f(x)要充分光滑，插值節(jié)點(diǎn)選取也很特別?？偨Y(jié)(續(xù))47作業(yè)

P9411Home作業(yè)P9411Home48計(jì)算方法最佳一致逼近多項(xiàng)式-切比雪夫多項(xiàng)式計(jì)算方法最佳一致逼近多項(xiàng)式-切比雪夫多項(xiàng)式49內(nèi)容函數(shù)逼近的基本概念切比雪夫多項(xiàng)式最佳一致逼近多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式在函數(shù)逼近中的應(yīng)用利用切比雪夫多項(xiàng)式的0點(diǎn)構(gòu)造最佳逼近多項(xiàng)式的例子內(nèi)容函數(shù)逼近的基本概念50函數(shù)逼近的基本概念函數(shù)逼近的基本概念51§1函數(shù)逼近的基本概念第3章函數(shù)逼近與曲線擬合一、函數(shù)逼近與函數(shù)空間實(shí)際應(yīng)用需要使用簡(jiǎn)單函數(shù)逼近已知復(fù)雜函數(shù)。BA§1函數(shù)逼近的基本概念第3章函數(shù)逼近與曲線擬合一、函52定理1具有重要的理論意義；Bernstan多項(xiàng)式收斂到f(x)較慢，不常用。定理1具有重要的理論意義；53xyy=L(x)一致逼近的幾何意義Homexyy=L(x)一致逼近的幾何意義Home54切比雪夫多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式55由三角表達(dá)式定義的多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式在逼近理論中有重要的應(yīng)用。切比雪夫(Chebyshev)多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式的0點(diǎn)可以用于構(gòu)造具有最佳一致逼近性質(zhì)的插值多項(xiàng)式。切比雪夫多項(xiàng)式的(簡(jiǎn)單)定義：稱(chēng)為切比雪夫多項(xiàng)式。(2.10)…由三角表達(dá)式定切比雪夫多項(xiàng)式在逼近理論中有重要的應(yīng)用。切比雪56課堂練習(xí)：推出T4(x)切比雪夫多項(xiàng)式的前幾項(xiàng)：切比雪夫多項(xiàng)式的表達(dá)式課堂練習(xí)：推出T4(x)切比雪夫多項(xiàng)式的前幾項(xiàng)：切比雪夫多項(xiàng)57切比雪夫多項(xiàng)式的性質(zhì)（1）基本遞推關(guān)系切比雪夫多項(xiàng)式的性質(zhì)（1）基本遞推關(guān)系58（2）正交性（2）正交性59當(dāng)m≠n:當(dāng)m=n≠0當(dāng)m=n=0根據(jù)積化和差公式：當(dāng)m≠n:當(dāng)m=n≠0當(dāng)m=n=0根據(jù)積化和差公式：60利用數(shù)學(xué)歸納法證明：（3）奇偶性利用數(shù)學(xué)歸納法證明：（3）奇偶性61計(jì)算方法最佳一致逼近多項(xiàng)式-切比雪夫多項(xiàng)式專(zhuān)題培課件62（4）切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)………（4）切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)………63接近-1和1的地方越密。過(guò)這些0點(diǎn)作平行于y軸的直線，這些直線與上半單位元的交點(diǎn)形成了一個(gè)關(guān)于圓弧的等距的點(diǎn)的集合。圖為T(mén)11(x)的零點(diǎn)，一共有11個(gè)…接近-1和1的地方越密。過(guò)這些0點(diǎn)作平行于y軸的直線，這些直64（5）切比雪夫多項(xiàng)式的極值點(diǎn)……（5）切比雪夫多項(xiàng)式的極值點(diǎn)……65T1(x)T2(x)T3(x)T4(x)T3(x)有3個(gè)0值點(diǎn)，4個(gè)極值點(diǎn)1-11-1T1(x)T2(x)T3(x)T4(x)T3(x)有3個(gè)0值66總結(jié)：Tn(x)具有很好的性質(zhì)。Tn(x)是n階多項(xiàng)式，具有n個(gè)0點(diǎn)，n+1個(gè)極值點(diǎn)；有界[-1,1]；T1(x),T3(x),…只含x的奇次項(xiàng)，是奇函數(shù)，T2(x),T4(x),…只含x的偶次項(xiàng)，是偶函數(shù)。xyHome總結(jié)：Tn(x)具有很好的性質(zhì)。Tn(x)是n階多項(xiàng)式，具67最佳一致逼近多項(xiàng)式最佳一致逼近多項(xiàng)式68§3最佳一致逼近多項(xiàng)式一、基本概念及其理論目的：求一個(gè)能夠按照絕對(duì)值逼近f(x)的最佳n次多項(xiàng)式不超過(guò)n次的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體HnC[a,b]§3最佳一致逼近多項(xiàng)式一、基本概念及其理論目的：求一個(gè)69偏差的定義確定的Pn(x)對(duì)所有的Pn(x)?Hn偏差的定義確定的對(duì)所有的70計(jì)算方法最佳一致逼近多項(xiàng)式-切比雪夫多項(xiàng)式專(zhuān)題培課件71最佳一致逼近多項(xiàng)式的存在性定理p(x)的系數(shù){an}…………Home最佳一致逼近多項(xiàng)式的存在性定理p(x)的系數(shù){an}…………72切比雪夫多項(xiàng)式在函數(shù)逼近中的應(yīng)用切比雪夫多項(xiàng)式在函數(shù)逼近中的應(yīng)用73三、切比雪夫多項(xiàng)式在函數(shù)逼近中的應(yīng)用希望構(gòu)造最高次冪xn系數(shù)為1的多項(xiàng)式：…三、切比雪夫多項(xiàng)式在函數(shù)逼近中的應(yīng)用希望構(gòu)造最高次冪xn系74三、切比雪夫多項(xiàng)式在函數(shù)逼近中的應(yīng)用證明比較復(fù)雜，省略。這個(gè)定理的結(jié)論非常重要三、切比雪夫多項(xiàng)式在函數(shù)逼近中的應(yīng)用證明比較復(fù)雜，省略。這個(gè)75怎樣才能使得拉格朗日插值多項(xiàng)式成為最佳逼近？偏差估計(jì)…怎樣才能使得拉格朗日插值多項(xiàng)式成為最佳逼近？偏差估計(jì)…76最佳一致逼近0的多項(xiàng)式而上式成立的充分必要條件是x0,x1,…xn是切比雪夫多項(xiàng)式的0點(diǎn)?！罴岩恢卤平?的多項(xiàng)式而上式成立的充分必要條件是x0,x177證明：…已知|Tn(x)|<=1證明：…已知78計(jì)算方法最佳一致逼近多項(xiàng)式-切比雪夫多項(xiàng)式專(zhuān)題培課件79對(duì)任意區(qū)間[a,b]，不能直接使用定理7。例如：為將[0,1][-1,1]，可以令：則針對(duì)g(t)使用定理7對(duì)任意區(qū)間[a,b]，不能直接使用定理7。例如：為將[0,80最佳逼近拉格朗日插值多項(xiàng)式的構(gòu)造步驟Home最佳逼近拉格朗日插值多項(xiàng)式的構(gòu)造步驟Home81利用切比雪夫多項(xiàng)式的0點(diǎn)構(gòu)造最佳逼近多項(xiàng)式的例子利用切比雪夫多項(xiàng)式的0點(diǎn)構(gòu)造最佳逼近多項(xiàng)式的例子82解：利用定理7，構(gòu)造所求的L4(x)；令：tk例4.求f(x)=ex在[0,1]上的4次最佳一致逼近

多項(xiàng)式L4(x),并且估計(jì)誤差。解：利用定理7，構(gòu)造所求的L4(x)；令：tk例4.求f(8301234x0.975530.793900.50.206110.02447ex2.652572.212011.648721.228891.0247701234x0.975530.793900.50.2061184Lagrange插值多項(xiàng)式為經(jīng)過(guò)比較復(fù)雜的計(jì)算，得：Lagrange插值多項(xiàng)式為經(jīng)過(guò)比較復(fù)雜的計(jì)算，得：85誤差估計(jì)：注意到變換x=?(t+1)這說(shuō)明，在區(qū)間[0,1]上使用多項(xiàng)式L4(x)逼近ex

的絕對(duì)值誤差非常小，避免了龍格現(xiàn)象。T5(t)最高次冪系數(shù)為24誤差估計(jì)：注意到變換x=?(t+1)這說(shuō)明，在區(qū)間[08601234x0.975530.793900.50.206110.02447ex2.652572.212011.648721.228891.02477現(xiàn)在試圖用Newton插值多項(xiàng)式逼近01234x0.975530.793900.50.2061187xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3，xi+4

]x0f(x0)x1f(x1)f[x0,x1]x2f(x2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]x3f(x3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]x4f(x4)f[x3,x4]f[x2,x3,x4]f[x1,x2,x3,x4]f[x0,x1,x2,x3,x4]xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,88xif(xi)f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3，xi+4

]0.97552.65260.79392.2122.42620.51.64871.91661.07170.20611.22891.42840.