專題04平面向量問題【高考真題】1．(2022·全國乙理)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，|a－2b|＝3，則a·b＝()A．－2B．－1C．1D．22．(2022·全國乙文)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，則|a－b|＝()A．2B．3C．4D．53．(2022·全國甲理)設向量a，b的夾角的余弦值為eq\f(1,3)，且|a|＝1，|b|＝3，則(2a＋b)b＝________．4．(2022·全國甲文)已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)，若a⊥b，則m＝________．5．(2022·新高考Ⅰ)在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2DA．記eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(→))＝n，則eq\o(CB,\s\up6(→))＝()A．3m－2nB．－2m＋3nC．3m＋2nD．2m＋3n6．(2022·新高考Ⅱ)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若<a，c>＝<b，c>，則t＝()A．－6B．－5C．5D．67．(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，P為△ABC所在平面內的動點，且PC＝1，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是()A．[－5，3]B．[－3，5]C．[－6，4]D．[－4，6]【知識總結】1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底．2．向量a與b的夾角已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．當θ＝0時，a與b同向；當θ＝π時，a與b反向．如果a與b的夾角是eq\f(π,2)，我們說a與b垂直，記作a⊥b.3．平面向量的數(shù)量積(1)若a，b為非零向量，夾角為θ，則a·b＝|a||b|cosθ.(2)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.4．兩個非零向量平行、垂直的充要條件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則(1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.5．利用數(shù)量積求長度(1)若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).6．利用數(shù)量積求夾角設a，b為非零向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).【常用結論】1．“爪”子定理形式1：在△ABC中，D是BC上的點，如果|BD|＝m，|DC|＝n，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(m,m＋n)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(AB,\s\up7(→))，其中eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))知二可求一．特別地，若D為線段BC的中點，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))．形式2：在△ABC中，D是BC上的點，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))＋(1－λ)eq\o(AB,\s\up7(→))，其中eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))知二可求一．特別地，若D為線段BC的中點，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))．形式1與形式2中eq\o(AC,\s\up7(→))與eq\o(AB,\s\up7(→))的系數(shù)的記憶可總結為：對面的女孩看過來(歌名，原唱任賢齊)2．極化恒等式三角形模式如圖，在△ABC中，設D為BC的中點，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|AD|2－|BD|2．三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問題都是用它解決．記憶：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差．【同類問題】題型一向量的線性運算1．(2015·全國Ⅰ)設D為△ABC所在平面內一點，eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(CD,\s\up7(→))，則()A．eq\o(AD,\s\up7(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up7(→))B．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up7(→))C．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))D．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))2．(2014·全國Ⅰ)設D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝()A．eq\o(AD,\s\up7(→))B．eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))C．eq\o(BC,\s\up7(→))D．eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))3．(2018·全國Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則eq\o(EB,\s\up6(→))＝()A．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))4．在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，DE交AF于H，記eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))分別為a，b，則eq\o(AH,\s\up6(→))＝()A．eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)bB．eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)bC．－eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)bD．－eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)b5．(多選)在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，CA，AB的中點，AD，BE，CF交于點G，則()A．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))B．eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))D．eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝06．如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，則()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4)D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)7．(2013·江蘇)設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC．若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．8．如圖，在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ的值為()A．eq\f(8,9)B．eq\f(4,9)C．eq\f(8,3)D．eq\f(4,3)9．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC內一點，且∠DAB＝60°，設eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝()A．eq\f(2\r(3),3)B．eq\f(\r(3),3)C．3D．2eq\r(3)10．(2017·江蘇)如圖，在同一個平面內，向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))的模分別為1，1，eq\r(2)，eq\o(OA,\s\up7(→))與eq\o(OC,\s\up7(→))的夾角為α，且tanα＝7，eq\o(OB,\s\up7(→))與eq\o(OC,\s\up7(→))的夾角為45°．若eq\o(OC,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))(m，n∈R)，則m＋n＝__________．題型二平面向量的平行與垂直11．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________．12．(2018·全國Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________．13．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，c＝(2，3)，若a＋λb與c共線，則實數(shù)λ＝()A．eq\f(2,5)B．－eq\f(2,5)C．eq\f(3,5)D．－eq\f(3,5)14．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb與a－3b共線，則eq\f(m,n)＝________．15．已知O為坐標原點，點A(6，3)，若點P在直線OA上，且|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PA,\s\up6(→))|，P是OB的中點，則點B的坐標為_________．16．(2020·全國Ⅱ)已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是()A．a＋2bB．2a＋bC．a－2bD．2a－b17．(2021·全國乙)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，則λ＝________．18．(2020·全國Ⅱ)已知單位向量a，b的夾角為45°，ka－b與a垂直，則k＝________．19．(2018·北京)設向量a＝(1，0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，則m＝________．20．(2017·全國Ⅰ)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)．若向量a＋b與a垂直，則m＝________．題型三面向量數(shù)量積21．(2012·浙江)在△ABC中，M是BC的中點，AM＝3，BC＝10，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________．22．如圖，△AOB為直角三角形，OA＝1，OB＝2，C為斜邊AB的中點，P為線段OC的中點，則eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(OP,\s\up7(→))＝()A．1B．eq\f(1,16)C．eq\f(1,4)D．－eq\f(1,2)23．如圖所示，AB是圓O的直徑，P是上的點，M，N是直徑AB上關于點O對稱的兩點，且AB＝6，MN＝4，則eq\o(PM,\s\up7(→))·eq\o(PN,\s\up7(→))＝()A．13B．7C．5D．324．(2016·江蘇)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點．eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值為________．25．在梯形ABCD中，滿足AD∥BC，AD＝1，BC＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝2，則eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))的值為________．26．在三角形ABC中，D為AB中點，∠C＝90°，AC＝4，B