第六章短期聚合風(fēng)險模型[知識要點]

1、

短期聚合風(fēng)險模型對于,其中N表示保險期內(nèi)所有承保保單發(fā)生索賠的次數(shù)隨機(jī)變量，Xi

表示第I次發(fā)生理賠時的理賠額隨機(jī)變量，S為保險期內(nèi)的理賠總額隨機(jī)變量。Xi對不同的i是獨立同分布的，N與各Xi是獨立的。稱此模型為短期聚合風(fēng)險模型。2、

理賠次數(shù)和理賠額的分布（1）

泊松分布的定義、分布列、期望與方差、矩母函數(shù)：（2）

負(fù)二項分布的定義、分布列、期望與方差、矩母函數(shù)。

負(fù)二項分布可以看作是泊松分布的一種推廣，假設(shè)泊松參數(shù)也是一個隨機(jī)變量，且有密度函數(shù)f(x)，由全概率公式有：

而：特別地，當(dāng)λ的密度為，x＞0時，N服從參數(shù)r=a,p=β/1+β的負(fù)二項分布。

（3）S的分布問題

假設(shè)S的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為F（x）和f(x),則：除用卷積方法之外，還可以用矩母函數(shù)法及逆轉(zhuǎn)公式來求S的分布，由矩母函數(shù)的定義有：其中X是與各Xi

同分布的隨機(jī)變量。也就是說，若知道Xi

和N的矩母函數(shù)，就可計算出S的矩母函數(shù)，而4、復(fù)合泊松分布在聚合風(fēng)險中，當(dāng)N服從泊松分布時，S的分布就稱為復(fù)合泊松分布。這樣：E（S）=E（X）?E（N）=λ?E（X）其中λ為泊松參數(shù)。關(guān)于復(fù)合泊松分布有如下的幾個定理和規(guī)律：（1）如果S1，S2，…，Sm是相互獨立的隨機(jī)變量，且Si服從參數(shù)為λi

的復(fù)合泊松分布，理賠額的分布為Pi(x),i=1,2,…,m,則服從參數(shù)為的復(fù)合泊松分布，且個別理賠額分布為：（2）對于一個復(fù)合泊松分布隨機(jī)，可以分解為：個別理賠額的分布列為：Xx1x2…xmPp1p2…pm則N1，N2，…，Nm相互獨立且Ni服從參數(shù)為λ

i=λpi的泊松分布，其中λ為S的泊松參數(shù)。對于此定理，若xi僅取正整數(shù)值，則理賠總額S的密度函數(shù)為：對于此定理，還有更普遍的推廣，也就是說在聚合風(fēng)險模型中，若理賠額只取正整數(shù)，理賠次數(shù)N的分布滿足：(n=1,2,…)（3）在復(fù)合泊松分布中，若保險標(biāo)的損失隨機(jī)變量為X，保險合同有一個免賠額d，即，X>d,X≤d是其真正的理賠額隨機(jī)變量，泊松參數(shù)為λ，則帶免賠的理賠總額S仍是復(fù)合泊松分布，泊松參數(shù)變?yōu)棣?/p>

?P（x>d),個別理賠額的分布密度函數(shù)為：5、聚合理賠量的近似模型（1）正態(tài)近似定理如果S是復(fù)合泊松分布，泊松參數(shù)為λ，個別理賠額的數(shù)學(xué)期望μ與方差σ

2有界，則：定理如果S服從復(fù)合負(fù)二項分布，參數(shù)為r,p,個別理賠額隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差分別為有界的μ與σ2，則：（2）平移伽馬近似定義

其中，g（x）為Γ(α,β)分布的概率密度函數(shù)，h（x）為相應(yīng)的平移x0個單位的平移伽馬分布的概率密度函數(shù)。由定義知平移伽馬分布有三個參數(shù)x0，α,β，如果能定出這三個參數(shù)，這個分布也就已知。求解下面的方程組可解決這一問題：[重點及難點解析]

本章的重點內(nèi)容是復(fù)合泊松分布，包括當(dāng)個別理賠額是正整數(shù)時的復(fù)合泊松分布，另外，理賠總額S分布的正態(tài)近似及平移伽馬近似也是本章的重點內(nèi)容。當(dāng)然，對重點內(nèi)容可以進(jìn)行引申，譬如當(dāng)索賠次數(shù)分布為負(fù)二項分布、幾何分布、超幾何分布、二項分布等；更簡單的還有二點分布，這時聚合風(fēng)險模型與個別風(fēng)險模型有相通之處。當(dāng)然，個別索賠額的分布形式更加多樣，特別是當(dāng)個別索賠額隨機(jī)變量的取值僅為正整數(shù)值時，是本章的難點。下面看幾個例子，以便讓讀者有一些感性認(rèn)識。例1一組一年期的定期壽險組合，每份保單的保險金額都相同為B個單位元，索賠次數(shù)N服從泊松分布，參數(shù)為λ，以下陳述中哪一項是不正確的？A、E(S)=E(N)?B=λBB、Var(S)=Var(N)?B2

C、S的可能取值為0，B，2B，…

D、E(X)=B,Var(X)=B2E、P(S≤Bx)=P(N≤x)解由聚聚合風(fēng)險模型型有：E(S)=E(N)E（X）=λ?B所以A正確。Var(S)=E2（X））Var(N)+E（N）?Var(X)=B2?λ所以B正確。由于每次理賠賠額均為常數(shù)數(shù)B，所以在在保險期內(nèi)索索賠總額僅取取B的倍數(shù)，，所以C正確確。依題意有：P（X=B））=1所以E（X）=BM，Var(X)=0所以D錯誤。因為S=BN所以P（（S≤BX）=P（（BN≤BX）=P（（N≤X）所以E正確。所以選D。例2保保險人承保了了保險金額為為1萬元的一一年定期意外外險保險單1000份，，假設(shè)投保人人出險的概率率是獨立的，，每個被保險險人索賠的概概率為0.0002，求求索賠總額超超過12000元的概率率。以上兩道例題題有相似之處處，理賠額均均為常數(shù)，這這樣索賠總額額S的E（S）為：例3設(shè)設(shè)Si，i=1，2，…，n,是一系列列相互獨立的的且具有相同同分布的復(fù)合合負(fù)二項分布布，負(fù)二項分分布的參數(shù)分分別為K和P，個別索賠賠額的密度函函數(shù)為?(x),令：：，，下面有關(guān)S的陳述哪一一項是錯誤的？A、S仍是復(fù)復(fù)合負(fù)二項分分布B、S的個體體索賠額的密密度函數(shù)仍為為?(x)C、復(fù)合負(fù)二項分分布具有可加加性所以S的分布仍是是復(fù)合負(fù)二項項分布，參數(shù)數(shù)為nk和P，個別索賠賠額的密度函函數(shù)仍為?(x)，因因此A、B、、D正確。但是，上述結(jié)結(jié)果并不意味味著復(fù)合負(fù)二二項分布與復(fù)復(fù)合泊松分布布具有一樣的的可加性。如如果Si不獨立立同分分布，，S的的矩母母函數(shù)數(shù)為：：也就是是說，，如果果負(fù)二二項分分布參參數(shù)qi不一樣樣，即即使K、MX（t））對每每個Si都相同同，復(fù)復(fù)合負(fù)負(fù)二項項分布布也沒沒有可可加性性，但但是P和MX（t））對每每個Si都相同同，K參數(shù)數(shù)對每每個Si具有不不同的的ki時，復(fù)復(fù)合負(fù)負(fù)二項項分布布是具具有可可加性性的。。因為為所以，，綜合合以上上分析析，此此題的的答案案應(yīng)選選C。。例4保保險險人提提供具具有如如下情情形的的三種種保險險：對于每每一個個保險險標(biāo)的的，方方差和和期望望的索索賠金金額是是相等等的，，對于于每一一類型型的保保單，，保費費是按按（1+θ）倍的的期望望值收收取，，求θ，使總總索賠賠額超超過總總保費費的概概率為為0.05。解期期望的的總索索賠額額是：：種類保單數(shù)索賠概率期望索賠金額12350010005000.050.100.155105總索賠賠額的的方差差是：：這道題題可用用個別別風(fēng)險險模型型解決決，兩兩種方方法難難度相相當(dāng)；；由于于保單單數(shù)量量較多多，正正態(tài)分分布近近似總總是不不錯的的選擇擇。例5具具有有正整整數(shù)個個別索索賠額額的復(fù)復(fù)合泊泊松分分布的的總索索賠額額隨機(jī)機(jī)變量量的概概率密密度函函數(shù)如如下：：已知索索賠總總額的的數(shù)學(xué)學(xué)期望望為1.68，，求期期望的的索賠賠次數(shù)數(shù)。例6S是具具有下下列特特征的的復(fù)合合泊松松分布布；①個別索索賠額額為1，2或3；②E（S）=56；③Var（（S））=126；④④λ=29。決決定索索賠額額為2時的的期望望索賠賠次數(shù)數(shù)是多多少？？此例和和上例例也有有相似似之處處，對對于復(fù)復(fù)合泊泊松分分布、、λ（泊松松參數(shù)數(shù)）、、個別別索賠賠的正正整數(shù)數(shù)值及及對應(yīng)應(yīng)的概概率值值，這這兩個個量已已知，，所有有未知知的量量即可可求出出；或或知道道其余余的一一些量量就可可求出出另外外一些些量，，但此此題也也可推推廣到到其他他一些些情況況，譬譬如索索賠次次數(shù)分分布改改為負(fù)負(fù)二項項分布布或二二點分分布時時，λ已知改改為負(fù)負(fù)二項項分布布的參參數(shù)k與p已知知或二二項分分布的的參數(shù)數(shù)n與與p已已知，，再計計算本本題。。此方方面的的具體體題目目參見見本章章思考考題。。由于復(fù)復(fù)合分分布的的重要要性，，再看看如下下的例例子：：例7對對于泊泊松參參數(shù)λ為6的復(fù)復(fù)合泊泊松分分布，，個別別索賠賠額的的分布布為,另外外，還還已知知索賠賠總額的一一些如如下概概率值值：x124P1/31/31/3S…34567…P…0.01320.02150.0271P(6)0.0410…求P（（6））當(dāng)然此此題也也可在在沒有有P（（3））、P（4）、、P（（5））、P（7）的的值時時算出出，不不過那那要算算出P（0）、、P（（1））、P（2）、、P（（3））P（4）、、P（（5））的值值才能能求P（6）的的值。。當(dāng)然然這種種計算算讀者者會感感到很很無聊聊，如如果給給出一一些特特殊的的值，，此題題便立立刻具具有了了靈性性。例8設(shè)設(shè)復(fù)復(fù)合分分布，，其其中Xi相互獨獨立且且N與與Xi獨立，，問下面面選項項哪一一項是是正確確的？？①如果果個別別索賠賠額P(x)=e-x,x＞0,那么Var(S)=E(N2)；；②假設(shè)設(shè)Var(N)=E（N），，那么么Var(S)=P2?E（（N））；③E(S2)=E（N）E(X2)+P12E(N2)A、僅僅①正正確B、、僅②②正確確C、僅僅③正正確D、②②③③正確確E、、都都不對對例9對對復(fù)復(fù)合負(fù)負(fù)二項項分布布，參參數(shù)r=1，p=1/3，個個別索索賠額額服從從參數(shù)數(shù)為λ的指數(shù)數(shù)分布布，已已知Ms（1，，0））=3，求求λ。例10沒沒有有再保保險時時的總總索賠賠分布布為復(fù)復(fù)合泊泊松分分布,如果果用平平移伽伽馬分分布來來近似似,則則平移移伽馬馬分布布的參參數(shù)為為(α=2.0,β=5,x0=40).如果果有50％的比例例再保保險,也用用平移移伽馬馬分布布來近近似,求有有再保保險時時的平平移伽伽馬分分布的的有關(guān)關(guān)參數(shù)數(shù).A.x0=20,α=20,β=10B.x0=40,α=40,β=20C.x0=20,α=20,β=20D.x0=10,α=10,β=10E.x0=20,α=20,β=30解依依題在在沒有有再保保險時時有:在有50％的比例例再保保險時時,泊泊松參參數(shù)λ不會發(fā)發(fā)生改改變,個別別索賠賠額會會變?yōu)闉樵瓉韥淼?/2,再再保后后有:解得:x0R=20,aR=20,βR=10,其中中x0R,aR,βR為有再再保險險時的的平移伽伽馬分分布參參數(shù),所以以此題題答案案為A.例11某某保保險人人承保保了一一醫(yī)療療保險險,其其中包包括住住院費費和其其他費費用,個別別賠付付的特特征如如下:另外,住院院費用用和其其他賠賠付金金額的的協(xié)方方差為為100000.保險險人對對住院院花費費全部部保險險,對對其他他花費費保險險了損損失的的80％,索賠賠次數(shù)數(shù)服從從參數(shù)數(shù)為4的泊泊松分分布,求保保險人人賠付付總額額的方方差.種類平均值標(biāo)準(zhǔn)差住院其他1000500500300這是一一道沒沒有全全額賠賠付的的例題題,這這有點點像再再保險險情況況下的的一些些數(shù)字字特征征或分分布函函數(shù)的的有關(guān)關(guān)計算算,這這種例例子在在實務(wù)務(wù)中的的應(yīng)用用非常常普遍遍,下