專題專題8××立體幾何命題趨勢(shì)命題趨勢(shì)高考當(dāng)中立體幾何的考查分選擇題、填空題和解答題．其中選擇題、填空題的考查主要為：（1）空間幾何體的三視圖結(jié)合幾何量（線段長(zhǎng)度、表面積、體積等）計(jì)算以及利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面、與面面判定定理與性質(zhì)定理對(duì)命題真假的判斷．（2）多面體的內(nèi)切球與外接球的考查．解答題的考查主要為線線、線面、與面面平行和垂直關(guān)系的判斷與證明以及多面的體積，點(diǎn)到面，線到面的距離為主．考點(diǎn)清單考點(diǎn)清單1．空間幾何體的表面積與體積（1）多面體的表面積S棱柱表=S棱柱側(cè)+2（2）旋轉(zhuǎn)體的表面積①圓柱：S表=2πr(r+l)，其中r為底面半徑，②圓錐：S表=πr(r+l)，其中r為底面半徑，③圓臺(tái)：S表=π(r'2+r④球體：S球=4π（3）幾何體的體積公式①柱體：V柱體=Sh，其中S為底面面積，②椎體：，其中S為底面面積，h為高；③臺(tái)體：，其中S'、S分別為上、下底面面積，h為高；④球體：，其中r為球的半徑．2．空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（1）平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．公理2：過不同在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論1：經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．公理4：平行于同一直線的兩條直線平行．3．直線、平面平行的判定及其性質(zhì)（1）直線與平面平行的判定定理文字語言：平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行．符號(hào)語言：a?α，b?α，a//圖形語言：如下圖．（2）直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行．符號(hào)語言：a//α，a?β，圖形語言：如下圖．（3）平面與平面平行的判定定理文字語言：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行．符號(hào)語言：a?β，b?β，a∩b=P，a//α，圖形語言：如下圖．（4）平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語言：如果兩個(gè)平行的平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．符號(hào)語言：α//β，γ∩α=a，圖形語言：如下圖．4．直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)（1）直線與平面垂直的判定定理文字語言：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．符號(hào)語言：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b=P?圖形語言：如下圖．（2）直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言：垂直于同一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行．符號(hào)語言：a⊥α，b⊥圖形語言：如下圖．（3）平面與平面垂直的判定定理文字語言：如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直．符號(hào)語言：l?β，l⊥圖形語言：如下圖．（4）平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言：兩平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直．符號(hào)語言：α⊥β，α∩β=l，a?α，a⊥圖形語言：如下圖．

精題集訓(xùn)精題集訓(xùn)（70分鐘）經(jīng)典訓(xùn)練題經(jīng)典訓(xùn)練題一、選擇題．1．如圖，小方格是邊長(zhǎng)為1的小正方形，粗線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該四棱錐的外接球表面積為（）A．32π B．302π C．41π D2．已知平面α，β，直線l，m，且有l(wèi)⊥α，m?β，給出下列命題：①若，則l⊥m；②若，則α⊥β；③若α⊥β，則；④若l⊥m，則．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題．3．沿正三角形ABC的中線AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為2，若該正三角形邊長(zhǎng)為2，則四面體ABCD外接球表面積為______．三、解答題．4．如圖，在三棱錐S-ABC中，已知ΔSAC是正三角形，G為ΔSAC的重心，D，E分別為SC，AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在AB上，且．（1）求證：平面SGF；（2）若平面平面ACB，，∠ACB=120°，求三棱錐的體積．5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，且AD⊥DC，，PD⊥平面ABCD，AD=4，BC=CD=2，點(diǎn)E為線段PA的靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)．（1）求證：平面BDE；（2）若異面直線PA與BC所成的角為45°，求多面體BCDEP的體積．6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，側(cè)面PBC是正三角形，E是PB的中點(diǎn)，且AE⊥平面PBC．（1）證明：平面ACE；（2）若AB⊥AP，PC=2，求點(diǎn)P到底面ABCD的距離．7．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，已知（1）求證：平面ABCD；（2）若平面BDD1B1⊥8．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，O為AC與BD的交點(diǎn)，AB⊥平面PAD，△PAD是正三角形，，AD=CD=2AB．（1）若點(diǎn)E為棱PA上一點(diǎn)，且平面PBC，求的值；（2）求證：平面PCD⊥平面PBC．高頻易錯(cuò)題高頻易錯(cuò)題一、選擇題．1．設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列說法正確的是（A．若l⊥m，m?α，則l⊥α B．若l⊥αC．若，，則m⊥α D．若，，則2．如圖，在正四棱錐中，，，分別是，，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③平面；④平面，其中恒成立的為（）A．①③ B．③④ C．①② D．②③④精準(zhǔn)預(yù)測(cè)題精準(zhǔn)預(yù)測(cè)題一、選擇題．1．如圖是一個(gè)正方體的表面展開圖，則圖中“0”在正方體中所在的面的對(duì)面上的是（）A．2 B．1 C．高 D．考2．若α，β，γ是空間中三個(gè)不同的平面，α∩β=l，α∩γ=m，γ∩β=n，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．如圖，某柱樁的底座由一個(gè)正六棱柱中間挖掉一個(gè)圓柱構(gòu)成．已知該正六棱柱每個(gè)側(cè)面是邊長(zhǎng)為30cm的正方形，所挖掉的圓柱的底面半徑為10cm．為了延長(zhǎng)底座的使用時(shí)長(zhǎng)，需將底座地面之上的部分（除與地面直接接觸的底面之外的表面）涂上防氧化層，則涂層的總面積為（A．27003+5400+500πcmC．13503+5400+500πcm4．如圖，將正四棱錐P-ABCD置于水平反射鏡面上，得一“倒影四棱錐”P-ABCD-Q．下列關(guān)于該“倒影四棱錐”的說法中，所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）①平面BCQ；②PQ⊥平面ABCD③若P，A，④若該“倒影四棱錐”存在外接球，則AB=PA．A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④二、填空題．5．已知一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)接于半球體，即正方體的上底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球面上，下底面的四個(gè)頂點(diǎn)在半球體的底面圓內(nèi)，則該半球體(包括底面)的表面積為_________．三、解答題．6．如圖三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是邊長(zhǎng)2為等邊三角形，ECE⊥FB（1）證明：EF⊥平面CEB（2）求三棱錐的體積．7．如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，ΔACD是直角三角形，∠ABD=∠（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；（2）設(shè)AB長(zhǎng)為1，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，求點(diǎn)D到平面ACE8．已知等腰梯形ADCE中，，EC=2AD=2AE=4，，B為EC的中點(diǎn)，如圖1，將三角形ABE沿AB折起到ABE'（E'?平面（1）點(diǎn)F為線段AE'的中點(diǎn)，判斷直線DF與平面（2）當(dāng)△BCE'9．如圖，已知四邊形ABCD為等腰梯形，，∠ABD=90°，四邊形ADMN為矩形，點(diǎn)G，H分別是線段MN，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)I在線段AD上．（1）探究：是否存在點(diǎn)I，使得平面平面ACN？并證明；（2）若，線段MN在平面ABCD內(nèi)的投影與線段AD重合，求多面體BC-ADMN的體積．

參考答案參考答案經(jīng)典訓(xùn)練題經(jīng)典訓(xùn)練題一、選擇題．1．【答案】C【解析】根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示，且PH⊥平面ABCD，PH=4，H為AB的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，其邊長(zhǎng)為4．設(shè)O1為正方形ABCD的中心，O2為則外接球的球心O滿足OO1⊥平面ABCD，O所以，又HO2?平面PAB，故O所以四邊形HO在正方形ABCD中，HO在△PAB中，4-PO22故外接球半徑為，故外接球的表面積為，故選C．【點(diǎn)評(píng)】幾何體外接球的半徑的求法，關(guān)鍵是球心位置的確定，可用球心與各面的外接圓的圓心的連線與此面垂直來確定，如果球心的位置不確定，那么可用補(bǔ)體的方法來確定球心的位置．2．【答案】B【解析】對(duì)于①：因?yàn)?，l⊥α，所以l⊥β，又m?β，所以l⊥m對(duì)于②：因?yàn)椋琹⊥α，所以m⊥α，又m?β，所以α⊥β對(duì)于③：因?yàn)棣痢挺?，l⊥α，所以l與m可能平行或異面，故錯(cuò)誤；對(duì)于④：因?yàn)閘⊥m，l⊥α，所以或m?α，所以不一定成立，故錯(cuò)誤，故選B．【點(diǎn)評(píng)】判斷符號(hào)語言描述的空間中位置關(guān)系的命題的真假：（1）利用定理、定義、公理等直接判斷；（2）作出簡(jiǎn)單圖示，利用圖示進(jìn)行說明；（3）將規(guī)則幾何體作為模型，取其中的部分位置關(guān)系進(jìn)行分析．二、填空題．3．【答案】【解析】由題意，折疊后的四面體中，AD⊥CD，AD⊥DB，CD∩DB=D，AD⊥面BCD，且，在中，AD＝3，且BC＝2，設(shè)△BCD的外心為N，外接圓半徑r，過N作MN⊥平面BDC，過A作，則四邊形ADNM為矩形，，∵△BDC中，，BC＝2，故∠BDC＝90°，由正弦定理可得，，即，則可得外接球球心O在MN的中點(diǎn)，，四面體的外接球表面積，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間想象能力，計(jì)算能力；三棱柱上下底面中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等，說明中心就是外接球球心，是本題解題的關(guān)鍵，仔細(xì)觀察和分析題意，是解好數(shù)學(xué)題目的前提．三、解答題．4．【答案】（1）證明見解析；（2）1．【解析】（1）證明：連接AD，∵D為SC的中點(diǎn)，G為ΔSAC的重心，∴點(diǎn)G一定在AD上，且，∵E為AB的中點(diǎn)，∴，又，∴，即，∴，則，∵GF?平面SGF，DE?平面SGF，∴平面SGF．（2）解：延長(zhǎng)SG，交AC于H，由題設(shè)知，H為AC的中點(diǎn)，∵ΔSAC是正三角形，∴SH⊥∵平面平面ACB，平面SAC∩平面ACB=AC，SH?平面，∴平面ACB，即SH為三棱錐S-ABC的高，∵AC=2，∴SH=3又，，∴，故．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考了空間幾何體中，線面平行、線面垂直、面面垂直以及三棱錐的體積，難度適中．5．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE．因ABCD是直角梯形，且AD⊥DC，，AD=4，BC=2，所以△ADO和△CBO相似，且有，又點(diǎn)E為線段PA的靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，有，所以有，∴OE∥CP，又OE?平面BDE，所以PC∥平面BDE．（2）直線PA與BC所成的角為45°，，即∠PAD=45°，又，PD⊥平面ABCD，所以．計(jì)算得，．∴多面體體積．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判斷定理和多面體體積計(jì)算，解題的關(guān)鍵是通過三角形的相似成比例得出平行關(guān)系．6．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）連接BD角AC于點(diǎn)O，連接OE，因?yàn)榈酌鍭BCD是平行四邊形，所以O(shè)為BD中點(diǎn)，又E是PB的中點(diǎn)，所以，且，因?yàn)槠矫鍭CE，PD?平面ACE，所以平面ACE．（2）因?yàn)锳B⊥AP，PC=2，側(cè)面PBC是正三角形，E是PB的中點(diǎn)，所以，則AB=2，AE=1，又AE⊥平面PBC，CE?平面PBC，所以CE=22-所以△ABC是底邊為2，腰為2的等腰三角形，因此，設(shè)點(diǎn)P到底面ABC的距離為d，由，得，所以．因此點(diǎn)P到底面ABC的距離為，即點(diǎn)P到底面ABCD的距離為．【點(diǎn)評(píng)】求解空間中點(diǎn)P到平面的距離的方法：（1）空間向量的方法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，以及一條斜線的方向向量PA，根據(jù)，即可求出點(diǎn)到面的距離；（2）等體積法：先設(shè)所求點(diǎn)到面的距離，選幾何體不同的頂點(diǎn)，求出該幾何體對(duì)應(yīng)的體積，列出等量關(guān)系，即可求出點(diǎn)到面的距離．7．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】證明：（1）連接AC在平行六面體ABCD-A因?yàn)?，，所以四邊形ABC1D因?yàn)镺為平行四邊形BDD1B1的中心，所以O(shè)為BD因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)镺E?平面ABCD，AC?平面ABCD，所以平面ABCD（2）因?yàn)?，，所以AC⊥BD，因?yàn)槠矫鍮DD1B1⊥平面ABCD，平面BD所以AC⊥平面BDD1B1，所以因?yàn)镺B=OD1，所以【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，解題的關(guān)鍵是得出O為AC1的中點(diǎn)，證出8．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）∵平面PBC，OE?平面PAC，平面PAC∩平面PBC=PC，∴，∴AO:OC=AE:EP，∵，CD=2AB，∴AO:OC=AB:CD=1:2，∴．（2）取PD、PC的中點(diǎn)，分別為M、F，連接AM、BF、MF，∴，，∵，，∴且MF=AB，即四邊形為平行四邊形，∴，在正三角形PAD中，M為PD中點(diǎn)，∴AM⊥∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥又∵，∴CD⊥AM，∵，∴BF⊥PD，BF⊥CD又∵PD∩CD=D，PD、CD?平面PCD，∴BF⊥平面PCD，∵BF?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．【點(diǎn)評(píng)】已知條件為線面平行時(shí)，要注意考慮線面平行的性質(zhì)定理．要證明面面垂直，可通過證明線面垂直來證明．高頻易錯(cuò)題高頻易錯(cuò)題一、選擇題．1．【答案】C【解析】l⊥m，m?α，則l，α可能平行，故l⊥α，l⊥m，則m，α可能平行，也可能線l⊥α，，由線面平行的性質(zhì)可得m⊥α，故C，，l與m可能平行、相交、異面，故D不正確，故選C．【點(diǎn)評(píng)】空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，除了利用定理、公理、推理判斷外，還常采用畫圖（尤其是畫長(zhǎng)方體）、現(xiàn)實(shí)實(shí)物判斷法（如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價(jià)．2．【答案】A【解析】如圖所示，連接、相交于點(diǎn)，連接，．在①中：由正四棱錐，可得底面，，∴．∵，∴平面，∵，，分別是，，的中點(diǎn)，∴，，而，∴平面平面，∴平面，∴．故正確；在②中：由異面直線的定義可知：與是異面直線，不可能，因此不正確；在③中：由①可知平面平面，∴平面，因此正確；在④中：由①同理可得：平面，若平面，則，與相矛盾，因此當(dāng)與不重合時(shí)，與平面不垂直．即不正確，∴恒成立的結(jié)論是①③，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)需要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．精準(zhǔn)預(yù)測(cè)題精準(zhǔn)預(yù)測(cè)題一、選擇題．1．【答案】C【解析】將展開圖還原成正方體可知，“0”在正方體中所在的面的對(duì)面上的是“高”，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考了幾何體的展開圖，屬于基礎(chǔ)題．2．【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)平面ABB1A1為α，平面BCC1B直線為l，直線AA1為m，為n．若，m?平面γ，l?γ，所以，又l?β，β∩γ=n，所以，所以，即充分性成立；反之，若，m?平面α，n?α，所以又n?β，，所以，所以，即必要性成立，故是的充要條件，故選C．【點(diǎn)評(píng)】解決與線面關(guān)系有關(guān)的命題真假判斷及充分條件、必要條件判斷問題時(shí)，可采用構(gòu)造法，即構(gòu)造特殊幾何體，使幾何體中的棱、面符合題目條件，然后通過空間平行、垂直的判定定理及性質(zhì)定理判斷即可．3．【答案】C【解析】S涂層=S正六棱柱上底面+S正六棱柱側(cè)面+S圓柱側(cè)面-S圓柱上底面=13503故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何體表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．4．【答案】D【解析】由題意四棱錐P-ABCD與四棱錐是兩個(gè)相同的正四棱錐，連接AC，BD相交于點(diǎn)O，連接由四棱錐P-ABCD為正四棱錐，則PO⊥平面ABCD根據(jù)題意四棱錐為正四棱錐，所以QO⊥平面ABCD．PO，OQ均垂直于平面ABCD，所以所以PQ⊥平面ABCD，故②由，根據(jù)題意，所以△APO與?CQO全等，所以∠所以，AP?平面QCB，所以平面BCQ，故①正確；當(dāng)P，A，根據(jù)對(duì)稱性，則Q點(diǎn)不在此球面上，故③不正確；若該“倒影四棱錐”存在外接球，根據(jù)對(duì)稱性則正方形ABCD的外接圓是該球的大圓，所以此時(shí)球的球心為正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，即點(diǎn)O設(shè)AB=2a，則OA=2a所以，所以④正確，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面的平行和垂直關(guān)系的判斷和幾何體的外接球的相關(guān)知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是由△APO與?CQO全等，得到∠PAO=∠OCQ，進(jìn)一步得出，若該“倒影四棱錐”存在外接球，根據(jù)對(duì)稱性則正方形ABCD二、填空題．5．【答案】【解析】作出半球和正方體的軸截面，如圖所示，設(shè)求得的半徑為R，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以正方體的對(duì)角線長(zhǎng)AB=2在直角△OBC中，，半球的表面積為，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何體外接球的相關(guān)計(jì)算，屬于中檔題．三、解答題．6．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】設(shè)AA因?yàn)?，所以AB=22a因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以EB=2所以EB12所以四邊形ABB1A因?yàn)镕為AA1的中點(diǎn)，所以所以FB12所以FB12因?yàn)槿庵酌妗鰽BC是等邊三角形，E為AB所以，又CE⊥FB1，AB與FB又EF?平面ABB1又CE∩EB1=E，所以EF（2）由（1）知：平面ABB1A1，所以CE為三棱錐C-，，，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是反復(fù)應(yīng)用勾股定理論證EF⊥EB7．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：如圖所示，取AC的中點(diǎn)O，連接BO∵ΔABC是等邊三角形，ΔABD與ΔCBD中，AB=BD=BC∴ΔABD是直角三角形，是斜邊，，，∴DO2+BO又DO∩AC=O，∴OB又OB?平面ABC，∴平面ACD⊥（2）設(shè)E是BD的中點(diǎn)，ΔABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為1，，，，，，，，，，點(diǎn)D到平面ACE的距離．【點(diǎn)評(píng)】本題第一問的關(guān)鍵是證明ΔABD?ΔCBD，第二問的關(guān)鍵是求△ACE8．【答案】（1）相交，詳見解析；（2）2．【解析】（1）直線DF與平面BCE因?yàn)镋'?平面ABCD，所以D?假設(shè)平面BCE'，設(shè)平面DCF∩平面BC則，顯然CM與CB不重合，又因?yàn)?，平面BCE'，且DF，AD相交，均在平面ADE所以平面平面BCE'，但E所以直線DF與平面BCE（2）證明：取AB的中點(diǎn)O，連接E'O，由等腰梯形ADCE中，AD//EC，EC=2AD=2AE=4，知△ABE是等邊三角形，四邊形ADCB是菱形，且∠C=60°即△ABD和△故E'O⊥AB，DO⊥AB，所以AB⊥平面E'OD又，所以E'D因?yàn)椤鰾CE'所以當(dāng)△BCE'所以E'C=E【點(diǎn)評(píng)】本題第一問解題關(guān)鍵在于利用反證法，先假設(shè)直線與平面平行，推出矛盾，即推翻假設(shè)，證得結(jié)論；第二問在于求得面積的關(guān)系式，探尋何時(shí)最大，確定關(guān)系再計(jì)算線段長(zhǎng)度．9．【答案】（1）當(dāng)點(diǎn)I為線段AD的中點(diǎn)時(shí)，平面平面ACN，證明見解析；（2）．【解析】（