小題專練·作業(yè)(十九)一、選擇題1．(2014·江南十校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若2a6＝6＋a7，則S9A．27 B．36C．45 D．54答案D解析由2a6＝6＋a7，得a5＝6，所以S9＝eq\f(9×a1＋a9,2)＝9a5＝54，故選D.2．(2014·北京海淀期中)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n(3n－13)，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的最小值是()A．S3 B．S4C．S5 D．S6答案B解析觀察an＝2n(3n－13)可知，隨n的增大，an＝2n(3n－13)由負(fù)數(shù)增大為正數(shù)，其中，a1，a2，a3，a4為負(fù)數(shù)，a5開始以后各項均為正數(shù)，所以數(shù)列{an}的前n項和Sn的最小值是S4，故選B.3．(2014·貴州遵義)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n＝1,2,3，…)，若當(dāng)首項a1和公差d變化時，a5＋a8＋a11是一個定值，則下列選項中為定值的是()A．S17 B．S18C．S15 D．S14答案C解析由a5＋a8＋a11＝3a8是定值，可知a8是定值，所以S15＝eq\f(15a1＋a15,2)＝15a8是定值．4．(2014·南昌調(diào)研)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sm＋3－Sm＋2＝8(Sm－Sm－1)(m>1，m∈N)，且a6＋4a1＝Seq\o\al(2,2)，則a1＝()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C．4 D．2答案C解析由8(Sm－Sm－1)＝Sm＋3－Sm＋2，得8am＝am＋3.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q3＝eq\f(am＋3,am)＝8，所以q＝2.又[eq\f(a11－22,2)]2＝a1·25＋4a1，解得a1＝4.5．(2014·安徽重點(diǎn)中學(xué)4月聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝51－3n，設(shè)Tn＝|an＋an＋1＋…＋an＋14|(n∈N*)，則當(dāng)Tn取得最小值時，n的值是()A．10 B．12C．15 D．17答案A解析由等差數(shù)列的性質(zhì)，可知Tn＝|eq\f(15an＋an＋14,2)|＝15|an＋7|≥0.因為an＝51－3n，所以a17＝0，故當(dāng)n＋7＝17，即n＝10時，Tn取得最小值0.6．(2014·上饒市質(zhì)檢Ⅱ)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若平面上的三點(diǎn)A，B，C共線，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a4eq\o(OB,\s\up6(→))＋a97eq\o(OC,\s\up6(→))，則S100＝()A．100 B．101C．50 D．51答案C解析因為平面上的三點(diǎn)A，B，C共線，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a4eq\o(OB,\s\up6(→))＋a97eq\o(OC,\s\up6(→))，所以a4＋a97＝1.又?jǐn)?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以S100＝eq\f(100,2)(a1＋a100)＝eq\f(100,2)(a4＋a97)＝50.故選C.7．(2014·南昌質(zhì)檢Ⅱ)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足a2014＝S2014＝2014，則數(shù)列{an}的公差為()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．2 D．－2答案C解析在等差數(shù)列{an}中，S2014＝eq\f(2014a1＋a2014,2)＝2014，所以a1＋a2014＝2.又a2014＝2014，所以a1＝2－a2014＝2－2014＝－2012，所以公差d＝eq\f(a2014－a1,2013)＝eq\f(2014－2012,2013)＝2.8．(2014·安徽安慶二模)已知Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，若對任意的n∈N*滿足an＋1＝an＋a2，且a3＝2，則S2014＝()A．1006×2013B．1006×2014C．1007×2013D．1007×2014答案C解析在an＋1＝an＋a2中，令n＝1，得a2＝a1＋a2，a1＝0；令n＝2，得a3＝2a2＝2，a2＝1，所以an＋1－an＝1，所以數(shù)列{an}的首項是0，公差是1的等差數(shù)列，所以S2014＝eq\f(2014×2013,2)＝1007×2013.9．(2014·遼寧鐵嶺一中期中)各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2，eq\f(1,2)a3，a1成等差數(shù)列，則eq\f(a4＋a5,a3＋a4)的值為()A.eq\f(\r(5)－1,2) B.eq\f(\r(5)＋1,2)C.eq\f(1－\r(5),2) D.eq\f(\r(5)－1,2)或eq\f(\r(5)＋1,2)答案B解析∵a3＝a2＋a1，∴q2＝q＋1，∵q>0，∴q＝eq\f(1＋\r(5),2)，∴eq\f(a4＋a5,a3＋a4)＝q＝eq\f(1＋\r(5),2).故選B.10．(2014·山東菏澤4月)數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\f(1,nn＋1)，其前n項和為eq\f(9,10)，則在平面直角坐標(biāo)系中，直線(n＋1)x＋y＋n＝0在y軸上的截距為()A．－10 B．－9C．10 D．9答案B解析∵an＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，∴Sn＝(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋…＋(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).由eq\f(n,n＋1)＝eq\f(9,10)，得n＝9.∴直線方程為10x＋y＋9＝0，其在y軸上的截距為－9.11．(2014·武漢調(diào)研)若a，b，a＋b成等差數(shù)列，a，b，ab成等比數(shù)列，則二項式(ax－eq\f(b,\r(x)))3的展開式中的常數(shù)項為()A．－96B．96C．－48D．48答案B解析由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋a＋b，,b2＝a×ab，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝4，))則二項式為(2x－eq\f(4,\r(x)))3其展開式中的常數(shù)項為Ceq\o\al(2,3)(2x)·(－eq\f(4,\r(x)))2＝96，故選B.12．(2014·合肥四校聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線上互異的兩個動點(diǎn)，直線AB的斜率存在，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)D(a,0)(a>0)，n＝|AF|＋|BF|，則()A．p，a，n成等差數(shù)列B．p，n，a成等差數(shù)列C．p，a，n成等比數(shù)列D．p，n，a成等比數(shù)列答案A解析如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義可知n＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p，又線段AB的中垂線交x軸于D(a,0)，故(x1－a)2＋yeq\o\al(2,1)＝(x2－a)2＋yeq\o\al(2,2)，(x1＋x2－2a)(x1－x2)＝y(tǒng)eq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,1)＝2p(x2－x1)．因為x1≠x2，所以x1＋x2－2a＝－2p，x1＋x2＝－2p＋2a.故n＝－p＋2a，即a＝eq\f(n＋p,2)，所以a是p，n的等差中項．13．(2014·贛州4月模擬)在等差數(shù)列{an}中，a14＝eq\f(1,a)，a114＝eq\f(1,b)，a2014＝eq\f(1,c)，則ab＋19bc－20ac＝()A．0 B．14C．114 D．2014答案A解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a114－a14＝eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝100d，∴eq\f(a－b,d)＝100ab，同理eq\f(b－c,d)＝1900bc，eq\f(a－c,d)＝2000ac，∴eq\f(a－b,d)＋eq\f(b－c,d)－eq\f(a－c,d)＝100ab＋1900bc－2000ac＝0，即ab＋19bc－20ac＝0，故選A.14．(2014·龍巖調(diào)研)已知在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，設(shè)Sn是數(shù)列{bn}的前n項和，bn＝lgan，則S99的值是()A．2 B．3C．5 D．4答案A解析∵在數(shù)列{an}中，由an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，得an－1＝eq\f(an－1－1,an－1).∴eq\f(1,an－1)＝eq\f(an－1－1＋1,an－1－1)＝1＋eq\f(1,an－1－1)，即eq\f(1,an－1)－eq\f(1,an－1－1)＝1，∴eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,a1－1)＋(n－1)×1＝n，an＝1＋eq\f(1,n)，從而bn＝lgan＝lg(1＋eq\f(1,n))＝lg(1＋n)－lgn，S99＝b1＋b2＋b3＋…＋b99＝(lg2－lg1)＋(lg3－lg2)＋…＋(lg100－g99)＝lg100＝2，故選A.二、填空題15．(2014·江西)在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時Sn取得最大值，則d的取值范圍為________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,8)))解析先根據(jù)條件確定等差數(shù)列中特定項的符號，再利用不等式組求解．當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時，Sn有最大值，說明eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a8>0，,a9<0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7＋7d>0，,7＋8d<0.))解得－1<d<－eq\f(7,8).16．(2014·洛陽調(diào)研)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項為eq\f(5,4)，則S5＝________.答案31解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a2a3＝2a1，得aeq\o\al(2,1)q3＝2a1.因為a1≠0，所以a1q3＝2.①又a4與2a7的等差中項為eq\f(5,4)，所以a4＋2a7＝eq\f(5,2)，即a1q3＋2a1q6＝eq\f(5,2).②由①②得a1＝16，q＝eq\f(1,2)，所以S5＝eq\f(16×1－\f(1,25),1－\f(1,2))＝31.17．(2014·江蘇蘇錫常鎮(zhèn)四市教學(xué)情況調(diào)查)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a1＝－3，ak＋1＝eq\f(3,2)，Sk＝－12，則正整數(shù)k＝________.答案13解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則－3＋kd＝eq\f(3,2)，－3k＋eq\f(1,2)k(k－1)d＝－12.消去d，得k＝13.18．(2014·太原調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝sinx－a(0≤x≤eq\f(5π,2))的三個零點(diǎn)成等比數(shù)列，則logeq\r(2)a＝________.答案－1解析顯然函數(shù)f(x)＝sinx－a(0≤x≤eq\f(5π,2))的三個零點(diǎn)依次為x，π－x,2π＋x，故有x(2π＋x)＝(π－x)2，即x＝eq\f(π,4)，所以a＝eq\f(\r(2),2)，從而logeq\r(2)a＝－1.19．在△ABC中，若sinA，sinB，sinC依次成等比數(shù)列，則B的取值范圍是________．答案(0，eq\f(π,3)]解析因為sinA，sinB，sinC依次成等比數(shù)列，所以sinAsinC＝sin2B，即ac＝b2，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－ac,2ac)＝eq\f(a2＋c2,2ac)－eq\f(1,2)，所以cosB＝eq\f(a2＋c2,2ac)－eq\f(1,2)≥eq\f(2ac,2ac)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，所以0<B≤eq\f(π,3)，即B的取值范圍是(0，eq\f(π,3)]．20．(2014·贛州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＋a4＝66，a3＋a5＝60，且滿足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，若對任意的n∈N*，都有Sn≤Sk，則k＝________.答