2022-2023學(xué)年云南省大理州鶴慶縣第三中學(xué)高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．圓的圓心和半徑分別是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求圓心半徑即可.【詳解】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，故圓心為，半徑為.故選：D.2．若復(fù)數(shù)z滿足(z-1)i=1+i其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)=（

）A．-2-i B．-2+i C．2-i D．2+i【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】因?yàn)?z-1)i=1+i，所以，所以.故選：D.3．平面的一個(gè)法向量是,,，平面的一個(gè)法向量是,6,，則平面與平面的關(guān)系是（

）A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直【答案】C【分析】由題設(shè)知，根據(jù)空間向量共線定理，即可判斷平面與平面的位置關(guān)系.【詳解】平面的一個(gè)法向量是,,，平面的一個(gè)法向量是,6,，，平面與平面的關(guān)系是平行或重合．故選：C．4．已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閮牲c(diǎn)到直線的距離相等，所以有，或，故選：D5．直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】由已知，根據(jù)題中給出的圓的方程，寫(xiě)出圓心坐標(biāo)與半徑，然后求解圓心到直線的距離，最后利用垂徑定理可直接求解弦長(zhǎng).【詳解】由已知，圓，圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.故選：A.6．已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本題通過(guò)利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．故選：C．【點(diǎn)睛】7．已知，若直線與直線平行，則它們之間的距離為（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)平行關(guān)系確定參數(shù)，結(jié)合平行線之間的距離公式即可得出．【詳解】解：直線與直線平行，，解得或，又，所以，當(dāng)時(shí)，直線與直線距離為.故選：A8．若圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與相交，從而可得，進(jìn)而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】到點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)在圓上，所以問(wèn)題等價(jià)于圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)也在圓上，即兩圓相交，故，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：A．二、多選題9．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點(diǎn)，若，則下列正確的是（

）A． B．C．的長(zhǎng)為 D．【答案】BD【分析】AB選項(xiàng)，利用空間向量基本定理進(jìn)行推導(dǎo)即可；C選項(xiàng)，在B選項(xiàng)的基礎(chǔ)上，平方后計(jì)算出，從而求出；D選項(xiàng)，利用向量夾角的余弦公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤，對(duì)于B選項(xiàng)，，B正確：對(duì)于C選項(xiàng)，，則，則，C錯(cuò)誤：對(duì)于，則，D正確.故選：BD.10．已知直線和圓，則（

）A．直線l恒過(guò)定點(diǎn)B．存在k使得直線l與直線垂直C．直線l與圓O相交D．若，直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)為4【答案】BC【分析】利用直線系方程求出直線所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)判斷A、C；求出使得直線與直線垂直的值判斷B；根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A、C，由，得，令，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)，而，即在圓內(nèi)，所以直線l與圓O相交，故C正確；對(duì)于B，直線的斜率為，則當(dāng)時(shí)，滿足直線與直線垂直，故B正確；對(duì)于D，時(shí)，直線，圓心到直線的距離為，所以直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為0C．的最大值為 D．的最大值為【答案】ABD【分析】根據(jù)的幾何意義，結(jié)合圖形可求得的最值，由此判斷A，B，根據(jù)的幾何意義求其最值，判斷C，再利用三角換元，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷D.【詳解】由實(shí)數(shù)x，y滿足方程可得點(diǎn)在圓上，作其圖象如下，因?yàn)楸硎军c(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，設(shè)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的切線方程為，則，解得：或，，，，A，B正確；表示圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為，所以最大值為，又，所以的最大值為，C錯(cuò)，因?yàn)榭苫癁椋士稍O(shè)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)取最大值，最大值為，D對(duì)，故選：ABD.12．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則（

）A．為定值B．的周長(zhǎng)的取值范圍是C．當(dāng)時(shí)，為直角三角形D．當(dāng)時(shí)，的面積為【答案】ACD【分析】對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷.由橢圓的定義判斷A；由為定值以及的范圍判斷B；求出坐標(biāo)，由數(shù)量積公式得出，得出為直角三角形判斷C；求出坐標(biāo)，由面積公式得出的面積判斷D.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則所以為定值，A正確；的周長(zhǎng)為，因?yàn)闉槎ㄖ?，所以的范圍是，所以的周長(zhǎng)的范圍是，B錯(cuò)誤；將與橢圓方程聯(lián)立，可解得，又因?yàn)?，∴所以為直角三角形，C正確；將與橢圓方程聯(lián)立，解得，，所以，D正確.故選：ACD三、填空題13．已知向量．若，則________．【答案】.【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得的值【詳解】,，解得,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量垂直的充分必要條件是其數(shù)量積.14．過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線的方程是______．【答案】或【分析】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可得直線，分析可得直線與圓相切，滿足題意，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，可得直線l的方程，由題意可得圓心到直線的距離，即可求得k值，綜合即可得答案.【詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以直線，此時(shí)圓心到直線的距離為1=r，此時(shí)直線與圓相切，滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，所以，即，因?yàn)橹本€l與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得，所以直線l的方程為.綜上：直線的方程為或故答案為：或15．已知橢圓，過(guò)點(diǎn)作直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，則直線l的方程是__________.【答案】【分析】設(shè)，，，，利用“點(diǎn)差法”、線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式即可得出．【詳解】解：設(shè)，，，，則，，．恰為線段的中點(diǎn)，即有，，，直線的斜率為，直線的方程為，即．由于在橢圓內(nèi)，故成立．故答案為：．16．已知??，且動(dòng)點(diǎn)滿足，則取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是___________.【答案】【分析】設(shè)，由得點(diǎn)軌跡為；由可知當(dāng)三點(diǎn)共線且在線段上時(shí)取得最小值，聯(lián)立圓的方程和直線方程即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，整理可得：；，當(dāng)三點(diǎn)共線且在線段上時(shí)，取得最小值，又直線方程為：，即，由得：或，又在線段上，.故答案為：.四、解答題17．已知直線l：．（1）若直線l在x軸上截距和在y軸上截距相等，求a的值；（2）若直線l與圓相切，求a的值．【答案】（1）1；（2）4或．【分析】（1）分別令，，得到截距，解方程即可;（2）根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列出方程求解.【詳解】（1）易知直線l的截距不能為0，令，，令，；則故a的值為1（2）圓心到直線l的距離或故a的值為4或.18．已知圓與圓．(1)求證：圓與圓相交；(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；(3)求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）將兩圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心距，即可證明；（2）將兩圓方程作差，即可求出公共弦方程；（3）首先求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)圓心為，根據(jù)得到方程，即可求出，從而求出圓心坐標(biāo)與半徑，從而得到圓的方程.【詳解】（1）證明：圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，，，兩圓相交；（2）解：由圓與圓，將兩圓方程相減，可得，即兩圓公共弦所在直線的方程為；（3）解：由，解得，則交點(diǎn)為，，圓心在直線上，設(shè)圓心為，則，即，解得，故圓心，半徑，所求圓的方程為．19．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)；（2）焦點(diǎn)在軸上，且經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)和；（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）根據(jù)題意，分析可得要求橢圓中c、a的值，計(jì)算可得b的值，將a、b的值代入橢圓的方程即可得答案；（2）根據(jù)題意，由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)可得橢圓中a、b的值，將a、b的值代入橢圓的方程即可得答案；（3）根據(jù)題意，設(shè)要求橢圓的方程為，將點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)代入計(jì)算可得m、n的值，即可得答案．【詳解】(1)由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為()，∴，，∴，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為().∴，，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(3)設(shè)橢圓方程為(，且)，則得，∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.20．已知向量，，函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的的值．【答案】(1)(2)的最大值為，此時(shí)；的最小值為，此時(shí)【分析】（1）先根據(jù)向量數(shù)量積得到，再由二倍角及輔助角公式化簡(jiǎn)，然后求單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)區(qū)間的范圍求出內(nèi)層的范圍，再求最值及對(duì)應(yīng)的的值.【詳解】（1）因?yàn)橄蛄浚?，得函?shù)，令，則，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)，時(shí)，取得最大值，，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，．21．如圖，在三棱柱中，平面，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.（Ⅰ）計(jì)算出向量和的坐標(biāo)，得出，即可證明出；（Ⅱ）可知平面的一個(gè)法向量為，計(jì)算出平面的一個(gè)法向量為，利用空間向量法計(jì)算出二面角的余弦值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求解結(jié)果；（Ⅲ）利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】依題意，以為原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得、、、、、、、、.（Ⅰ）依題意，，，從而，所以；（Ⅱ）依題意，是平面的一個(gè)法向量，，．設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得．，．所以，二面角的正弦值為；（Ⅲ）依題意，．由（Ⅱ）知為平面的一個(gè)法向量，于是．所以，直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量法證明線線垂直，求二面角和線面角的正弦值，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.22．如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線恒過(guò)定點(diǎn)且交橢圓于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)記的面積為S，求S的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由直線過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)求得，再由橢圓所過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)求得得橢圓方程；（2）設(shè)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，計(jì)算弦長(zhǎng)，再求得到直線的距離，從而求得三角形面積，由函數(shù)的性質(zhì)求得最大值．【詳解】（1）由題意可得，直線恒過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即.因?yàn)闄E圓