數(shù) 學(xué) 建 模 作 業(yè)一、教材76頁第1章習(xí)題1第7題（來自高中數(shù)學(xué)課本的數(shù)學(xué)探究問題， 滿分10分）表是某地一年中10天的白晝時間（單位：小時），請選擇合適的函數(shù)模型，并進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合.表某地一年中10天的白晝時間日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日白晝時間日期6月21日8月14日9月23日10月25日11月21日白晝時間解：根據(jù)地理常識，某地的白晝時間是以一年為周期而變化的，以日期在一年中序號為自變量X,以白晝時間為因變量y,則根據(jù)表的數(shù)據(jù)可知在一年（一個周期）內(nèi),隨著x的增加，y大名年6月21日（夏至）達(dá)到最大值，在12月21日（冬至）達(dá)到最小值，在3月21日（春分）或9月21日（秋分）達(dá)到中間值。選擇函數(shù)yAsin（2三 ）b作為函數(shù)值。根據(jù)表的數(shù)據(jù)，推測A,b和的值，作非線365性擬合得y 69022sin（2-^ ）12385，預(yù)測該地12月21日的白晝時間365為小時。二、教材100頁第2章習(xí)題2第1題（滿分10分）繼續(xù)考慮第節(jié)“汽車剎車距離”案例，請問“兩秒準(zhǔn)則”和“一車長度準(zhǔn)則”一樣嗎“兩秒準(zhǔn)則”是否足夠安全對于安全車距，你有沒有更好的建議解（1）按照節(jié)中的“汽車剎車距離”案例，“兩秒準(zhǔn)則”和“一車長度準(zhǔn)則”在模型分析與模型建立差不多相同，只是 K1的取值不同。D?前后車距（mi）;v?車速（m/s）;Ki?按照“兩秒準(zhǔn)則”，Dtv之間的比例系數(shù)（s）.于是“兩秒準(zhǔn)則”的數(shù)學(xué)模型為：D=K1*v；（K1= ;已經(jīng)知道，剎車距離的數(shù)學(xué)模型為2d=k1v+k2v; ;比較（）與（）式得d-D=（k1+k2v-K1）v;所以當(dāng)k1+k2v-K1>°時，即前后車距大于剎車距離的理論值，可以為是足夠安全；k1+k2v-K1<0時，可以為是不夠安全。代入k1=,k2=,K1=,計算得到當(dāng)車速超過s時，“兩秒準(zhǔn)則”就不夠安全了下面的程序及圖像也是很好的證明。源程序：v=(20:5:80).*;d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,33422,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,41820,28,,,72,,118,,182,,266,318,376];d2=.*d2;K1=;k1=;k2=;d=d2+d1;plot([0,40],[0,2*40],'--k',[0,40]),holdonplot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':k')plot([v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2),holdofftitle('比較剎車距離實測數(shù)據(jù)、理論值、兩秒準(zhǔn)則')legend('兩秒準(zhǔn)則','剎車距離理論值 ',...

剎車距離的最小值、平均值和最大值 ’,2)xlabel('車速v(m/s)'),ylabel('距離(m')根據(jù)汽車的最高速度一般不超過120km/h(約s),k2=,k1=,*k2+ki=+=s, 所以我認(rèn)為可以采取“秒準(zhǔn)則”。這在理論上和實際上都是比較安全的。三、教材100頁第2章習(xí)題2第3題(滿分10分)繼續(xù)考慮第節(jié)“生豬出售時機(jī)”案例，做靈敏度分析，分別考慮農(nóng)場每天投入的資金對最佳出售時機(jī)和多賺的純利潤的影響 .解：(1)考慮每天投入的資金c發(fā)生的相對為—c,則生豬飼養(yǎng)的天數(shù)t發(fā)C生的相對變化上是一c的多少倍，即定義t對c的靈敏度為tCS(t,c)△t/t△c/cS(t,c)△t/t△c/c因為△c-0,所以重新定義t對c的靈敏度為S(t,c)△t/t dt c=~S(t,c)△t/t dt c=~——二丁x-△c/c dc t由課本上可知t=rp(0)-g(0)-c2gr由課本上可知t=rp(0)-g(0)-c2gr所以t=rp(0)-g3⑼-C，所以t是c的減函數(shù)2gr2gr為了使t>0,c應(yīng)滿足rp(0)-ga(0)-c>0結(jié)合①②可得S(t,C)=— ——C0、=—錯誤！=—2這個結(jié)果表示的意思是如rp(0)-ga(0)-c果農(nóng)場每天投入的資金 c增加1%出售時間就應(yīng)該提前2%o(2)同理(1)總收益Q對每天投入資金c的靈敏度為S(Q,c)dQc「S(Q,c)dQc「x二dcQ[rp(0)-goo(O)-c]2Qmax= (44gr結(jié)合③④得Qmax=-rpo) g一而c=一錯誤!=-4這結(jié)果表示的意思是如果每天投入的資金c增加1%那么最大利7閏就會減少4%四、教材143頁第3章習(xí)題3第2題(滿分10分)某種山貓在較好、中等及較差的自然環(huán)境下， 年平均增長率分別為％騎口％.假設(shè)開始時有100只山貓，按以下情況分別討論山貓數(shù)量逐年變化的過程及趨勢：(1)三種自然環(huán)境下25年的變化過程，結(jié)果要列表并圖示;611110361111037090249024976696629659955595519448944593429339923692349231912961047105810691071010711108121091311014111151111611217113181141911520116211179126221189022221189022TOC\o"1-5"\h\z23 119 89 2024 120 88 1825 121 88 16如果每年人工捕獲山貓一只，在較好的環(huán)境下山貓的數(shù)量仍然會一直增加，在中等的環(huán)境下，山貓的數(shù)量趨于穩(wěn)定，但會慢慢減少，在較差的環(huán)境下，山貓的數(shù)量一直在減少，很快就會滅絕。③若要使山貓的數(shù)量穩(wěn)定在 60只左右，設(shè)每年需要人工繁殖 b只，到第k年山貓的數(shù)量為xk=(1+r)xk-i+b,k=0,1,2 …這時xk=xk-i=60,r=%,代入上式得b^3五、教材143頁第3章習(xí)題3第4題(滿分10分)某成功人士向?qū)W院捐獻(xiàn) 20萬元設(shè)立優(yōu)秀本科生獎學(xué)金，學(xué)院領(lǐng)導(dǎo)打算將這筆捐款以整存整取一年定期的形式存入銀行，第二年一到期就支取，取出一部分作為當(dāng)年的獎學(xué)金，剩下的繼續(xù)以整存整取一年定期的形式存入銀行……請你研究這個問題，并向?qū)W院領(lǐng)導(dǎo)寫一份報告 .報告：摘要：本文主要研究的是基金的最佳使用方案，通過最佳的基金使用計劃來提高每年發(fā)給學(xué)生的獎金。首先，計算在只有銀行存款的條件下，按照收益最大化原則，把基金存入銀行使每年發(fā)放的獎金數(shù)目盡可能多，由于銀行存款的期限最長為五年，所以把獎金發(fā)放制定成為期五年的發(fā)放計劃，第六年即可劃入下一個五年周期的獎金發(fā)放計劃中。在滿足基金使用要求的情況下，每年存入銀行的各種存款的數(shù)目可以根據(jù)約束條件計算，然后分析銀行存款和投資并存情況下各種資金的分配情況。存款與投資同時存在的情況。在不考慮風(fēng)險的情況下，將投資看作是特殊的存款，其利率用平均收益率近似代替，按照第一步的方法計算此時獎學(xué)金發(fā)放所產(chǎn)生的資金分配，通過靈敏度分析得出：獎學(xué)金發(fā)放對投資的靈敏度較高。根據(jù)投資越分散風(fēng)險越低，可知應(yīng)將基金分散用于投資和存款，不應(yīng)將基金大量用投資。在考慮風(fēng)險的情況下，應(yīng)保證基金收益能夠滿足獎學(xué)金的發(fā)放要求，期末基金余額應(yīng)大體與基金初始金額相等。鑒于學(xué)校獎學(xué)金基金承擔(dān)風(fēng)險能力小，應(yīng)采取謹(jǐn)慎的投資態(tài)度，因此應(yīng)將學(xué)校獎學(xué)基金分為兩部分：一部分用于保證獎學(xué)金的發(fā)放；一部分用于投資。20萬可分為兩部分，分別作為存款和投資資本。一方面銀行存款以20萬遞減的趨勢進(jìn)行分析得出存款獎學(xué)金發(fā)放曲線，另一方面投資 0萬元開始以遞增趨勢進(jìn)行分析得出投資獎學(xué)金發(fā)放曲線，兩者的步長值相等且均為萬元，然后將存款獎學(xué)金曲線和投資獎學(xué)金曲線在同一圖中合并為一條曲線，即得出總的獎學(xué)金發(fā)放曲線，存款獎學(xué)金曲線和投資獎學(xué)金曲線的交點即為獎學(xué)金均衡點，此時，存款與投資的比例較為合適，接著分析投資風(fēng)險，通過分析得出獎學(xué)金發(fā)放最優(yōu)的基金使用方式。關(guān)鍵詞：動態(tài)優(yōu)化資金合理分配 投資收益率一、問題分析在只有存款的條件下，可利用迭代法進(jìn)行計算，用上一年到期存款發(fā)放獎學(xué)金，發(fā)放獎學(xué)金后的余額作為剩余資金重新進(jìn)行下期存款，得出每年應(yīng)發(fā)放的獎學(xué)金最大數(shù)目及存入下期存款的種類。對于存款與投資同時存在的情況下，由于投資有收益率為負(fù)的情況，次種投資可看作為不存在的投資期限作簡化處理，應(yīng)為投資收益率為動態(tài)數(shù)據(jù)，因此無法進(jìn)行精確計算，只能進(jìn)行近似計算，在這種情況下將投資的平均收益率作為投資收益，這樣不僅可以降低風(fēng)險系數(shù)，簡化計算。經(jīng)過以上簡化，在銀行存款和投資并存的情況下，可以將投資看作是特殊的存款，這樣可以利用與第一種情況相同的方法進(jìn)行計算，這樣計算出的基金使用方式比較合理，風(fēng)險比較低，可以保證獎學(xué)金的發(fā)放。基于以上的條件將銀行存款和投資并存的情況更詳細(xì)的分析，把基金分為兩部分，一部分用于投資，一部分用于存款，觀察存款變化時，獎學(xué)金變化的情況。以次得到更穩(wěn)健的資金利用方法。二、模型建立為了盡可能的資金被充分利用，模型中總是把扣除獎學(xué)金后所余的現(xiàn)有資金全部用來存款或投資。由于銀行存款和投資最大期限不大于五年，而本問題面對的是一個六年的基金投資計劃，所以針對目標(biāo)情況，做五年期的投資存款計劃，模型中對相應(yīng)的參數(shù)做了相應(yīng)的處理。第一種情況下只有銀行存款，可以簡單的將各種條件轉(zhuǎn)化為約束條件，求出最優(yōu)解，并將最優(yōu)解作為只有存款條件下基金使用方案，在此把它看作是模型一。在二種情況下，投資作為一種選擇出現(xiàn)使問題復(fù)雜化，問題顯得非常復(fù)雜，因此將問題簡化顯得非常有必要，把平均投資收益率看作投資的收益率不失為一種很好的方法，這樣不僅可以簡化模型的復(fù)雜性，還可以較好的反映問題的實質(zhì)。在這種情況下可以求出最優(yōu)的基金使用模型。三、符號說明mnb:計劃中第n年投資于存款存期為j年的資金j=1,2,3,5g(nt1)：計劃中第n年投資于投資1周期為t1的資金t1=1,3,5.^^(nt)g"t2):計劃中第n年投資于投資2周期為t2的資金t2=2,5^^(n,t4)rj：存款中存儲周期為j年的實際收益率。N:獎學(xué)金發(fā)放數(shù)目。M初始時某大學(xué)所獲基金的總額?！?：投資周期為t1的收益率。02：投資周期為t2的收益率。四、模型求解第一種情況：只有銀行存款的條件下，銀行存款的存入方式及存入年限。①銀行稅后年利率如下表1年2年3年5年稅后年利率%3%%%②終期銀行利率如下表存款種尖一年兩年三年五年終期收益率在只存款不投資的情況下，根據(jù)我們的模型設(shè)計和符號約定， 最佳的基金使用計5TOC\o"1-5"\h\z劃應(yīng)該滿足以下方程組：（1） m^,j） Mj1，j4 '則在只有存款的情況下，第二年存入銀行的錢數(shù)為：第二種情況：在可存款也可投資的情況下，首先根據(jù)假設(shè)和最大收益的原則， 資金在這種情況下是不允許閑置的，即在同一時間內(nèi)要么存入銀行要么投資。其次。因為投資是有風(fēng)險的，投資收益率為正態(tài)分布函數(shù)，因此，投資收益率用平均投資收益率。據(jù)此，可以得到彝族方程來刻畫這種情況下的最佳基金使用計劃。（為了充分利用基金，基金將被充分的用于存款和投資，因為只有這樣才能使利潤最大化。）（第二年可用于投資與存款的基金和， 與模型一相同，應(yīng)發(fā)獎學(xué)金遵循獎學(xué)金數(shù)目的既定關(guān)系。）（第三年初可用于投資和存款的基金和）（第四年關(guān)于投資與存款的基金和）（第五年可用于投資和存款的基金和）五、運算數(shù)據(jù)模型的數(shù)據(jù)運算主要采用matlab軟件進(jìn)行求解。現(xiàn)在不再求解。六、建議對上述兩個模型的分析可知，只對捐款進(jìn)行定期的整存整取風(fēng)險最低，但獎學(xué)金發(fā)放的年限也是最少的。對于第二種情況對捐款進(jìn)行劃分，一部分用來投資，一部分用來存儲，具有一定的風(fēng)險，但收益較為可觀。對于風(fēng)險敏感的投資者，存款是最穩(wěn)健的模型；對于風(fēng)險愛好者，將資金全部用于投資，模型二為首選。我認(rèn)為院領(lǐng)導(dǎo)在不考慮風(fēng)險的情況下，將投資看作是特殊的存款，其利率用平均收益率近似代替，按照第一步的方法計算此時獎學(xué)金發(fā)放所產(chǎn)生的資金分配。通過靈敏度分析得出：獎學(xué)金發(fā)放對投資的靈敏度較高。根據(jù)投資越分散風(fēng)險越低，可知應(yīng)將基金分散用于投資和存款，不應(yīng)將基金大量用于投資。在考慮風(fēng)險的情況下，應(yīng)保證基金收益能夠滿足獎學(xué)金的發(fā)放要求，期末基金余額應(yīng)大體與基金初始金額相等。鑒于學(xué)校獎學(xué)基金承擔(dān)風(fēng)險能力小，應(yīng)采取謹(jǐn)慎的投資態(tài)度，因此應(yīng)將學(xué)校獎學(xué)金分為兩部分：一部分用于獎學(xué)金的發(fā)放；一部分用于投資。20萬元可分為兩部分，分別作為存款和投資資本。一方面銀行存款以20萬遞減的趨勢進(jìn)行分析得出存款獎學(xué)金發(fā)放曲線，另一方面投資 0萬元開始以遞增趨勢進(jìn)行分析得出投資獎學(xué)金發(fā)放曲線，兩者的步長值相等且均為萬元，然后將存款獎學(xué)金曲線和投資獎學(xué)金曲線在同一圖中合并為一條曲線，即得出總的獎學(xué)金發(fā)放曲線，存款獎學(xué)金曲線和投資獎學(xué)金曲線的交點即為獎學(xué)金均衡點，此時，存款與投資的比例較為合適。解：記養(yǎng)老金第k月末銀行帳戶余額為Xk元，則列式得：xk (1 r)xk b(k 0,1,2,..…)b b . 一一因為r*0,所以 Xk (X0 —)(1 r)—, k 0,1,2,r r由于月利率為.y=%,月支取b=1000元和本金總額x0=100000元，必然滿足b一x0一且「 0o所以Xk單調(diào)技減，而且技減的越來越快，直到 Xk=0為止。Xk=0即k ，b kb一若養(yǎng)老金用到80歲，則由(x0 -)(1r)k— 0得r r所以，如果在60歲存入100000元，每月支取1000元，到120月即70歲恰好用完。如果每月支取1000元，用到80歲，則在60歲時存入170908元。七、教材302頁第7章習(xí)題7第1題(滿分10分)對于不允許缺貨的確定性靜態(tài)庫存模型，做靈敏度分析，討論參數(shù) R、p2和r的微小變化對最優(yōu)訂貨策略的影響.解(1)考慮每次訂貨的固定費用出發(fā)生的相對為△p1p1,則最優(yōu)訂貨周期△T*發(fā)生的相又^變化△T*/T*是^p"p1的多少倍，即定義p1對T*的靈敏度為_—*ST,Pi*T_—*ST,Pi*T*TPiPi因為△pi”0,所以重新定義pi對T*的靈敏度為一*dTPi*dPiT 一*由課本上可知T0.52PiP2r_**QrT②中對pi求導(dǎo)式和②式代入①得S(T*,Pi)=同理得S(Q*,Pi)=S(T*,P2)=-S(Q*,P2)=-S(T*,r)=-S(Q*,r)=八、教材302頁第7章習(xí)題7第2題（滿分i0分）7第2題.某配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種部件 .每次輪換生產(chǎn)不同的部件時，因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費（與生產(chǎn)數(shù)量無關(guān)）.同一部件的產(chǎn)量大于需求時，因積壓資金、占用倉庫要付庫存費.今已知某一部件的日需求量 100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費5000元，庫存費每日每件 1元.如果生產(chǎn)能力遠(yuǎn)大于需求，并且不允許出現(xiàn)缺貨，請制定最優(yōu)生產(chǎn)計劃.解：由EOS式計算得：所以，最優(yōu)生產(chǎn)周期為10天，每次生產(chǎn)1000件。九、教材303頁第7章習(xí)題7第3題（滿分10分）某商場把銷售所剩的空紙皮箱壓縮并打成包準(zhǔn)備回收，每天能產(chǎn)生 5包，在商場后院存放的費用是每包每天 10