§7.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題第七章不等式、推理與證明NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)題型分類深度剖析課時(shí)作業(yè)1基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)PARTONE1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域知識(shí)梳理ZHISHISHULI不等式表示區(qū)域Ax＋By＋C>0直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括_________Ax＋By＋C≥0包括_________不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的_________邊界直線邊界直線公共部分2.線性規(guī)劃中的基本概念一次名稱意義約束條件由變量x，y組成的__________線性約束條件由x，y的

不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的

解析式不等式(組)一次可行解滿足線性約束條件的解______可行域所有可行解組成的_____最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得

或

的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的

或

問題(x，y)集合最大值最小值最大值最小值1.不等式x≥0表示的平面區(qū)域是什么？提示不等式x≥0表示的區(qū)域是y軸的右側(cè)(包括y軸).【概念方法微思考】2.可行解一定是最優(yōu)解嗎？二者有何關(guān)系？提示不一定.最優(yōu)解是可行解中的一個(gè)或多個(gè).最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解，最優(yōu)解不一定唯一.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的交集.(

)(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方.(

)(3)點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)在直線Ax＋By＋C＝0同側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，異側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(

)√×基礎(chǔ)自測JICHUZICE123456√(4)第二、四象限表示的平面區(qū)域可以用不等式xy<0表示.(

)(5)最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解.(

)(6)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距.(

)√√×123456題組二教材改編√123456123456解析x－3y＋6≥0表示直線x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直線x－y＋2＝0的左上方部分，故不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)檫x項(xiàng)B中的陰影部分.3.[P91T2]投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)100噸需要資金200萬元，需場地200平方米；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)100噸需要資金300萬元，需場地100平方米.現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元，場地900平方米，則上述要求可用不等式組表示為__________________.(用x，y分別表示生產(chǎn)A，B產(chǎn)品的噸數(shù)，x和y的單位是百噸)123456解析用表格列出各數(shù)據(jù)123456

AB總數(shù)產(chǎn)品噸數(shù)xy

資金200x300y1400場地200x100y900所以不難看出，x≥0，y≥0，200x＋300y≤1400，200x＋100y≤900.4.下列各點(diǎn)中，不在x＋y－1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)的是A.(0，0) B.(－1，1)C.(－1，3) D.(2，－3)123456題組三易錯(cuò)自糾解析把各點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得(－1，3)不適合，故選C.√1234566123456解析作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分(包括邊界)所示.123456－1解析先根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，當(dāng)直線z＝ax＋y和直線AB重合時(shí)，z取得最大值的點(diǎn)(x，y)有無數(shù)個(gè)，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.2題型分類深度剖析PARTTWO題型一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域命題點(diǎn)1不含參數(shù)的平面區(qū)域問題多維探究√解析作出不等式組表示的平面區(qū)域是以點(diǎn)O(0，0)，B(－2，0)和A(1，

)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，如圖所示的陰影部分(含邊界)，命題點(diǎn)2含參數(shù)的平面區(qū)域問題√解析作出不等式組

表示的平面區(qū)域(如圖中陰影部分所示).由圖知，要使原不等式組表示的平面區(qū)域的形狀為三角形，只需動(dòng)直線l：x＋y＝a在l1，l2之間(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3).平面區(qū)域的形狀問題主要有兩種題型：(1)確定平面區(qū)域的形狀，求解時(shí)先畫滿足條件的平面區(qū)域，然后判斷其形狀；(2)根據(jù)平面區(qū)域的形狀求解參數(shù)問題，求解時(shí)通常先畫滿足條件的平面區(qū)域，但要注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行必要的討論.思維升華解析

作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，易知平面區(qū)域的形狀為等腰直角三角形(陰影部分，含邊界).A.等邊三角形

B.梯形C.等腰直角三角形

D.正方形√A.－3 B.－1C.3 D.1√可知該區(qū)域是等腰直角三角形且面積為8.由于直線y＝kx＋2恒過點(diǎn)B(0，2)，且原點(diǎn)的坐標(biāo)恒滿足y－kx≤2，當(dāng)k＝0時(shí)，y≤2，此時(shí)平面區(qū)域Ω的面積為6，解得k＝－1或k＝3(舍去)，故選B.題型二求目標(biāo)函數(shù)的最值問題多維探究命題點(diǎn)1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值9解析由不等式組畫出可行域如圖陰影部分(含邊界).目標(biāo)函數(shù)x＋y取得最大值?斜率為－1的直線x＋y＝z(z看作常數(shù))在y軸上的截距最大，由圖可得當(dāng)直線x＋y＝z過點(diǎn)C時(shí)，z取得最大值.∴zmax＝5＋4＝9.命題點(diǎn)2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值命題點(diǎn)3求參數(shù)值或取值范圍A.7 B.5C.4 D.1√解析繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示(含邊界)，由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最小值，故選B.常見的三類目標(biāo)函數(shù)(1)截距型：形如z＝ax＋by.(2)距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.思維升華A.3 B.6C.10 D.12跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2019·貴陽適應(yīng)性考試)若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件

則z＝2x－y的最大值為√解析先根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖陰影部分所示(含邊界)，將z＝2x－y的最大值轉(zhuǎn)化為直線y＝2x－z在y軸上截距的最小值.當(dāng)直線y＝2x－z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z最大，又A(3，－4)，故z的最大值為10.√z＝3x－y的最大值為2，解得A(2，4)，化目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y為y＝3x－z，可知，直線mx－y＝0必須過點(diǎn)A，可得2m－4＝0，解得m＝2.故選D.13易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與(3，－2)兩點(diǎn)間距離的平方，通過數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)(x，y)為直線x＋y＝2與y＝1的交點(diǎn)(1，1)時(shí)，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，最小值為13.3課時(shí)作業(yè)PARTTHREEA.12個(gè)

B.11個(gè)C.10個(gè)

D.9個(gè)√12345678910111213141516基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516由圖可知，滿足x∈Z，y∈Z的(x，y)為(－4，－1)，(－3，0)，(－2，1)，(－2，0)，(－1，0)，(－1，1)，(－1，2)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，共12個(gè)，故選A.12345678910111213141516√解析作出可行域如圖陰影部分所示(含邊界)，作出直線2x＋y＝0，平移該直線，可知當(dāng)直線過點(diǎn)A(2，－1)時(shí)，z＝2x＋y取得最大值，且zmax＝2×2－1＝3.故選C.1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516解析作出可行域如圖陰影部分所示(含邊界)，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析

作出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖陰影部分含邊界所示)，解得m＝1或m＝－3，由圖象，得要使可行域ABC存在，12345678910111213141516z取得最小值為－2.故選A.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析由向量a＝(2x，1)，b＝(1，m－y)，a⊥b得2x＋m－y＝0，整理得m＝y(tǒng)－2x，根據(jù)約束條件畫出可行域，將求m的最小值轉(zhuǎn)化為求y＝2x＋m在y軸上的截距的最小值，當(dāng)直線y＝2x＋m經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，m最小，12345678910111213141516312345678910111213141516解析畫出可行域如圖陰影部分所示，當(dāng)直線y＝－3x＋3z過點(diǎn)A(2，3)時(shí)，12345678910111213141516212345678910111213141516解析畫出可行域，如圖中陰影部分所示(不含y軸)，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516解析繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示(含邊界)，12345678910111213141516只需求解函數(shù)z′＝2x＋y的最小值，結(jié)合函數(shù)z′＝2x＋y的幾何意義可知，函數(shù)z′＝2x＋y在點(diǎn)C(1，1)處取得最小值z(mì)′min＝2＋1＝3，10.(2016·全國Ⅰ)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個(gè)工時(shí).生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元.1234567891011121314151621600012345678910111213141516目標(biāo)函數(shù)z＝2100x＋900y.作出可行域?yàn)閳D中的四邊形，包括邊界，頂點(diǎn)為(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)處取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元).解析設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，根據(jù)所耗費(fèi)的材料要求、工時(shí)要求等12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516(2)設(shè)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的最大值.解z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)(－3，2)的距離的平方.結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)B到(－3，2)的距離最大，故z的最大值為64.12345678910111213141516解作出可行域如圖陰影部分所示(含邊界)，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0).12345678910111213141516所以z的最大值為1，最小值為－2.12345678910111213141516(2)若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(diǎn)(1，0)處取得最小值，求a的取值范圍.解得－4<a<2.故a的取值范圍是(－4，2).12345678910111213141516√技能提升練12345678910111213141516解析根據(jù)題中所給的約束條件，畫出相應(yīng)的可行域，如圖陰影部分所示(含邊界)：作出直線l：y＝2x，平移直線l，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，直線在y軸上的截距最小，此時(shí)z＝2x－y取得最大值，所以z＝2x－y的最大值是1；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線在y軸上的截距最大，此時(shí)z＝2x－y取得最小值，12345678910111213141516可得B(a，2－a)，所以z＝2x－y的最小值是3a－2，因?yàn)閦＝2x－y的最大值是最小值的2倍，123456789101112131415161解析由約束條件作出可行域(如圖陰影部分含邊界