高階微分方程2012.51高階微分方程(6-9)第12章微分方程14學時102教學計劃6月3日星期一§12.1微分方程基本概念§12.2可分離變量6月10日星期五§12.3齊次方程

§12.4一階線性微分方程16月13日星期一§12.4一階線性微分方程

2§12.5全微分方程6月15日星期三§12.6可降階的高階6月17日星期五§12.7高階線性方程6月20日星期一§12.8二階常系數(shù)齊次線性6月24日星期五§12.9二階線性非齊次6月27日星期一習題課126月29日星期三總復習17月1日星期五總復習22011年7月4日星期一高等數(shù)學期末考試2011年暑假：7月13日～8月28日2012.52高階微分方程(6-9)第十二章第六節(jié)可降階高階微分方程一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程2012.53高階微分方程(6-9)一、令因此即同理可得依次通過

n

次積分,可得含

n

個任意常數(shù)的通解.型的微分方程

2012.54高階微分方程(6-9)例1.解:

2012.55高階微分方程(6-9)例2.質(zhì)量為m的質(zhì)點受力F的作用沿Ox軸作直線運動,在開始時刻隨著時間的增大,此力

F

均勻地減直到t=T時

F(T)=0.如果開始時質(zhì)點在原點,解:據(jù)題意有t=0時設力F僅是時間t

的函數(shù):F=F(t).小,求質(zhì)點的運動規(guī)律.初速度為0,且對方程兩邊積分,得2012.56高階微分方程(6-9)利用初始條件于是兩邊再積分得再利用故所求質(zhì)點運動規(guī)律為2012.57高階微分方程(6-9)二.型的微分方程

設原方程化為一階方程設其通解為則得再一次積分,得原方程的通解2012.58高階微分方程(6-9)例3.求解解:代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為2012.59高階微分方程(6-9)例4.繩索僅受重力作用而下垂,解:取坐標系如圖.考察最低點A到(

:

密度,s:弧長)弧段重力大小按靜力平衡條件,有故有設有一均勻,柔軟的繩索,兩端固定,問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線?任意點M(x,y)弧段的受力情況:

A

點受水平張力HM

點受切向張力T兩式相除得2012.510高階微分方程(6-9)則得定解問題:原方程化為兩端積分得則有兩端積分得故所求繩索的形狀為懸鏈線2012.511高階微分方程(6-9)三.型的微分方程

令故方程化為設其通解為即得分離變量后積分,得原方程的通解2012.512高階微分方程(6-9)例5.求解解:代入方程得兩端積分得(可分離變量)故所求通解為2012.513高階微分方程(6-9)M:地球質(zhì)量m:物體質(zhì)量例6.

靜止開始落向地面,求它落到地面時的速度和所需時間(不計空氣阻力).解:

如圖所示選取坐標系.則有定解問題:代入方程得積分得一個離地面很高的物體,受地球引力的作用由2012.514高階微分方程(6-9)兩端積分得因此有注意“－”號2012.515高階微分方程(6-9)由于y=R

時由原方程可得因此落到地面(y=R)時的速度和所需時間分別為2012.516高階微分方程(6-9)說明:

若此例改為如圖所示的坐標系,解方程可得問:

此時開方根號前應取什么符號?說明道理.則定解問題為2012.517高階微分方程(6-9)例7.解初值問題解:

令代入方程得積分得利用初始條件,根據(jù)積分得故所求特解為得2012.518高階微分方程(6-9)為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與x

軸圍成的三角形面例8.二階可導,且上任一點P(x,y)

作該曲線的切線及x軸的垂線,區(qū)間[0,x]上以解:于是在點P(x,y)處的切線傾角為

,滿足的方程.積記為(考研)2012.519高階微分方程(6-9)再利用y(0)=1得利用得兩邊對x

求導,得定解條件為方程化為利用定解條件得得故所求曲線方程為2012.520高階微分方程(6-9)內(nèi)容小結可降階微分方程的解法——降階法逐次積分令令2012.521高階微分方程(6-9)思考與練習1.方程如何代換求解?答:

令或一般說,用前者方便些.均可.有時用后者方便.例如,2.解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題?答:(1)一般情況,邊解邊定常數(shù)計算簡便.(2)遇到開平方時,要根據(jù)題意確定正負號.例6例72012.522高階微分方程(6-9)速度大小為2v,方向指向A,提示:設t時刻

B位于(x,y),如圖所示,則有去分母后兩邊對

x

求導,得又由于設物體

A

從點(0,1)出發(fā),以大小為常數(shù)v備用題的速度沿y軸正向運動,物體B

從(–1,0)出發(fā),試建立物體B

的運動軌跡應滿足的微分方程及初始條件.①2012.523高階微分方程(6-9)代入①式得所求微分方程:其初始條件為2012.524高階微分方程(6-9)12-6高階可降階方程作業(yè)P2921(2,5,6,);2(6);3;

2012.525高階微分方程(6-9)高階線性微分方程第七節(jié)二、線性齊次方程解的結構三、線性非齊次方程解的結構

*四、常數(shù)變易法

一、二階線性微分方程舉例第十二章2012.526高階微分方程(6-9)一、二階線性微分方程舉例當重力與彈性力抵消時,物體處于平衡狀態(tài),例1.質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復運動,解:阻力的大小與運動速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈性力與阻取平衡時物體的位置為坐標原點,建立坐標系如圖.設時刻

t

物位移為x(t).(1)自由振動情況.彈性恢復力物體所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移滿足的微分方程.2012.527高階微分方程(6-9)據(jù)牛頓第二定律得則得有阻尼自由振動方程:阻力(2)強迫振動情況.若物體在運動過程中還受鉛直外力則得強迫振動方程:2012.528高階微分方程(6-9)求電容器兩極板間電壓例2.聯(lián)組成的電路,其中R,L,C

為常數(shù),所滿足的微分方程.解:

設電路中電流為i(t),的電量為q(t),自感電動勢為由電學知根據(jù)回路電壓定律:設有一個電阻R,自感L,電容C和電源E串極板上在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0‖

~2012.529高階微分方程(6-9)串聯(lián)電路的振蕩方程:化為關于的方程:故有‖

~如果電容器充電后撤去電源(E=0),則得2012.530高階微分方程(6-9)例1例2方程的共性

—可歸結為同一形式:(二階線性微分方程)n階線性微分方程的一般形式為時,稱為非齊次方程;時,稱為齊次方程.復習:

一階線性方程通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y2012.531高階微分方程(6-9)證畢二.線性齊次方程解的結構是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得(疊加原理)

定理1.2012.532高階微分方程(6-9)說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關與線性無關概念.2012.533高階微分方程(6-9)定義:是定義在區(qū)間I

上的

n個函數(shù),使得則稱這

n個函數(shù)在I

上線性相關,否則稱為線性無關.例如，

在(,)上都有故它們在任何區(qū)間I

上都線性相關;又如，若在某區(qū)間

I

上則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點,必需全為0,可見在任何區(qū)間

I

上都線性無關.若存在不全為

0

的常數(shù)2012.534高階微分方程(6-9)兩個函數(shù)在區(qū)間I

上線性相關與線性無關的充要條件:線性相關存在不全為0的使(無妨設線性無關常數(shù)思考:中有一個恒為0,則必線性相關(證明略)線性無關2012.535高階微分方程(6-9)定理2.是二階線性齊次方程的兩個線性無關特解,數(shù))是該方程的通解.例如,方程有特解且常數(shù),故方程的通解為(自證)

推論.是

n

階齊次方程的n

個線性無關解,則方程的通解為則2012.536高階微分方程(6-9)三.線性非齊次方程解的結構是二階非齊次方程的一個特解,Y(x)是相應齊次方程的通解,定理3.則是非齊次方程的通解.證:

將代入方程①左端,得②①2012.537高階微分方程(6-9)是非齊次方程的解,又Y中含有兩個獨立任意常數(shù),例如,

方程有特解對應齊次方程有通解因此該方程的通解為證畢因而②也是通解.2012.538高階微分方程(6-9)定理4.分別是方程的特解,是方程的特解.(非齊次方程之解的疊加原理)2012.539高階微分方程(6-9)定理4.分別是方程的特解,是方程的特解.(非齊次方程之解的疊加原理)定理3,定理4均可推廣到n

階線性非齊次方程.2012.540高階微分方程(6-9)定理5.是對應齊次方程的n

個線性無關特解,給定n

階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解2012.541高階微分方程(6-9)常數(shù),則該方程的通解是().設線性無關函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意例3.提示:都是對應齊次方程的解,二者線性無關.(反證法可證)2012.542高階微分方程(6-9)例4.

已知微分方程個解求此方程滿足初始條件的特解.解:是對應齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無關,故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三2012.543高階微分方程(6-9)12-6高階可降階方程作業(yè)P2921(2,5,6,10,);2(3),(6);3;

12-7解的結構作業(yè)P3001,3,4(2,5)2012.544高階微分方程(6-9)第八節(jié)第十二章常系數(shù)齊次線性微分方程基本思路:求解常系數(shù)線性齊次微分方程求特征方程(代數(shù)方程)之根轉化2012.545高階微分方程(6-9)二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它的導數(shù)只差常數(shù)因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,1.當時,②有兩個相異實根方程有兩個線性無關的特解:因此方程的通解為(r

為待定常數(shù)),①所以令①的解為②則微分其根稱為特征根.2012.546高階微分方程(6-9)2.當時,

特征方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解設另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為2012.547高階微分方程(6-9)3.當時,

特征方程有一對共軛復根這時原方程有兩個復數(shù)解:利用解的疊加原理,得原方程的線性無關特解:因此原方程的通解為2012.548高階微分方程(6-9)小結:特征方程:實根特征根通解以上結論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.2012.549高階微分方程(6-9)若特征方程含k

重復根若特征方程含k

重實根r,則其通解中必含對應項則其通解中必含對應項特征方程:推廣:2012.550高階微分方程(6-9)例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為例2.

求解初值問題解:

特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為2012.551高階微分方程(6-9)例4.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例5.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不難看出,原方程有特解2012.552高階微分方程(6-9)例6.解:特征方程:即其根為方程通解:2012.553高階微分方程(6-9)例7.解:

特征方程:特征根為則方程通解:2012.554高階微分方程(6-9)內(nèi)容小結特征根:(1)當時,通解為(2)當時,通解為(3)當時,通解為可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解.2012.555高階微分方程(6-9)思考與練習求方程的通解.答案:通解為通解為通解為2012.556高階微分方程(6-9)備用題為特解的4階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解.解:

根據(jù)給定的特解知特征方程有根:因此特征方程為即故所求方程為其通解為2012.557高階微分方程(6-9)12-8常系數(shù)線性齊次方程作業(yè)

p3101(1,2,4,5,10);2(1,4)2012.558高階微分方程(6-9)1.講解12-9非齊次2.講解12章習題課3.抄寫和講解總復習題2012.559高階微分方程(6-9)常系數(shù)非齊次線性微分方程第九節(jié)一、二、第十二章2012.560高階微分方程(6-9)計算公式

為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設特解為2012.561高階微分方程(6-9)二階常系數(shù)線性非齊次微分方程:根據(jù)解的結構定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法2012.562高階微分方程(6-9)一、

為實數(shù),設特解為其中為待定多項式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為m

次多項式.Q(x)為

m次待定系數(shù)多項式2012.563高階微分方程(6-9)(2)若是特征方程的單根

,為m

次多項式,故特解形式為(3)若是特征方程的重根,是m

次多項式,故特解形式為小結對方程①,此結論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.即即當是特征方程的k重根時,可設特解2012.564高階微分方程(6-9)例1.的一個特解.解:

本題而特征方程為不是特征方程的根.設所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為2012.565高階微分方程(6-9)例2.

的通解.

解:本題特征方程為其根為對應齊次方程的通解為設非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為2012.566高階微分方程(6-9)例3.

求解定解問題解:本題特征方程為其根為設非齊次方程特解為代入方程得故故對應齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得2012.567高階微分方程(6-9)于是所求解為解得2012.568高階微分方程(6-9)二.第二步求出如下兩個方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點2012.569高階微分方程(6-9)第一步利用歐拉公式將f(x)變形2012.570高階微分方程(6-9)

第二步求如下兩方程的特解

是特征方程的

k

重根(

k=0,1),故等式兩邊取共軛:為方程③的特解.②③設則②有特解:2012.571高階微分方程(6-9)第三步求原方程的特解

利用第二步的結果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解:原方程

均為

m

次多項式.2012.572高階微分方程(6-9)第四步分析因均為

m

次實多項式.本質(zhì)上為實函數(shù),2012.573高階微分方程(6-9)小結:對非齊次方程則可設特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),上述結論也可推廣到高階方程的情形.2012.574高階微分方程(6-9)例4.

的一個特解

.解:本題特征方程故設特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個特解2012.575高階微分方程(6-9)例5.

的通解.

解:特征方程為其根為對應齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設非齊次方程特解為2012.576高階微分方程(6-9)例6.解:(1)特征方程有二重根所以設非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設