李建宇天津科技大學(xué)有限元分析FiniteElementAnalysis內(nèi)容彈性力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)2

1.邊界條件

2.彈性力學(xué)中的能量表示

3.彈性力學(xué)邊值問(wèn)題要求理解：彈性力學(xué)邊界條件的提法了解：彈性力學(xué)邊值問(wèn)題的內(nèi)涵掌握：彈性力學(xué)中的能量表述課后作業(yè)繼續(xù)檢索、閱讀彈性力學(xué)基本文獻(xiàn)上節(jié)回顧

彈性力學(xué)的“三個(gè)基本”1、基本假定2、基本變量3、基本方程上節(jié)回顧

彈性力學(xué)的基本假定五個(gè)基本假定：1、連續(xù)性(Continuity)

2、線彈性(Linearelastic)3、均勻性(Homogeneity)4、各向同性(Isotropy)5、小變形假定(Smalldeformation)彈性力學(xué)基本變量在外部力和約束作用下的變形體上節(jié)回顧位移的描述形狀改變的描述力的描述材料的描述變形體的描述：彈性力學(xué)基本變量材料參數(shù)位移物體變形后的位置物體的變形程度物體的受力狀態(tài)物體的材料特性應(yīng)變應(yīng)力上節(jié)回顧描述變形體的三類變量：上節(jié)回顧彈性力學(xué)基本變量dyxyzuvwdzdx(x,y,z)SuSpΩT位移（displacement）是指位置的移動(dòng)。它在

x,y和z

軸上的投影用u,v

和w。上節(jié)回顧彈性力學(xué)基本變量dyxyzuvwdzdx(x,y,z)SuSpΩT微元體(Representativevolume)上節(jié)回顧彈性力學(xué)基本變量應(yīng)力張量（stresstensor）上節(jié)回顧彈性力學(xué)基本變量應(yīng)變張量（straintensor）dyuvwdzdx(x,y,z)dxuu

+duτβαγ=α+β彈性力學(xué)的基本方程應(yīng)力應(yīng)變位移幾何方程物理方程平衡方程彈性力學(xué)三大方程上節(jié)回顧上節(jié)回顧彈性力學(xué)基本方程幾何方程L：微分算子上節(jié)回顧彈性力學(xué)基本方程平衡方程A：微分算子上節(jié)回顧彈性力學(xué)基本方程物理方程D：彈性矩陣對(duì)稱上節(jié)回顧彈性力學(xué)基本方程dyxyzuvwdzdx(x,y,z)SuSpΩT彈性力學(xué)三大方程in邊界上呢？一、彈性力學(xué)的邊界條件

(Boundarycondition)dyxyzuvwdzdx(x,y,z)SuSpΩT兩類邊界條件：Sp：力的邊界Su：位移邊界一、彈性力學(xué)的邊界條件1、位移邊界條件邊界上已知位移時(shí)，應(yīng)建立物體邊界上點(diǎn)的位移與給定位移相等的條件dyxyzuvwdzdx(x,y,z)SuSpΩT一、彈性力學(xué)的邊界條件2、力的邊界條件邊界上給定面力時(shí)，則物體邊界上的應(yīng)力應(yīng)滿足與面力相平衡的力的平衡條件以二維問(wèn)題為例注意ds為邊界斜邊的長(zhǎng)度，邊界外法線n的方向余弦l＝dy/ds，m=dx/ds有：一、彈性力學(xué)的邊界條件以二維問(wèn)題為例同理：一、彈性力學(xué)的邊界條件以二維問(wèn)題為例二維情形的力的邊界條件其中：nx＝l；ny＝m一、彈性力學(xué)的邊界條件擴(kuò)展到三維情形的力的邊界條件二、彈性力學(xué)中的能量表述功能原理的兩個(gè)基本概念：

功（work）：外力功；

能量（energy）：如動(dòng)能、勢(shì)能、熱能等彈性問(wèn)題中的功和能量：外力功：施加外力在可能位移上所做的功應(yīng)變能：變形體由于變形而儲(chǔ)存的能量二、彈性力學(xué)中的能量表述1.彈性力學(xué)中的外力功（workbyforce）

彈性力學(xué)中的外力包括：面力和體力，故外力功包括：Part1：面力pi在對(duì)應(yīng)位移上ui上的功（onSp）Part2：體力bi在對(duì)應(yīng)位移上ui上的功（inΩ）外力總功為：二、彈性力學(xué)中的能量表述2.彈性力學(xué)中的應(yīng)變能(strainenergy)

設(shè)加載緩慢，系統(tǒng)功能可忽略，同時(shí)略去其它能量（如熱能等）的消耗，則所做的功全部以應(yīng)變能的形式儲(chǔ)存于內(nèi)部。Part1：對(duì)應(yīng)于正應(yīng)力與正應(yīng)變的應(yīng)變能Part2：對(duì)應(yīng)于切應(yīng)力與切應(yīng)變的應(yīng)變能

對(duì)應(yīng)于微元體的兩種變形：線應(yīng)變和切應(yīng)變，亦有兩種形式的應(yīng)變能：怎么求？Part1：對(duì)應(yīng)于正應(yīng)力與正應(yīng)變的應(yīng)變能微元體的變形能：整個(gè)物體Ω上σx，εx所產(chǎn)生的變形能：Part2：對(duì)應(yīng)于剪應(yīng)力與剪應(yīng)變的應(yīng)變能微元體的變形能：整個(gè)物體Ω上τxy，γxy所產(chǎn)生的變形能：二、彈性力學(xué)中的能量表述2.彈性力學(xué)中的應(yīng)變能(strainenergy)由疊加原理，將所有方向正應(yīng)力正應(yīng)變、剪應(yīng)力剪應(yīng)變所產(chǎn)生的變形能疊加應(yīng)變能密度其中：i,j＝

x,y,z。μ,λ稱為拉梅常量，其與工程彈性常數(shù)E,ν的關(guān)系為：不難發(fā)現(xiàn)：應(yīng)變能密度的性質(zhì)彈性應(yīng)變能密度U0(εij)（或U0(σij)

）對(duì)任一應(yīng)變分量（或應(yīng)力分量）的改變率等于相應(yīng)的應(yīng)力分量（或應(yīng)變分量）。三、彈性力學(xué)邊值問(wèn)題求解彈性力學(xué)問(wèn)題的目的：求出物體內(nèi)部各點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，即應(yīng)力場(chǎng)、應(yīng)變場(chǎng)和位移場(chǎng)。彈性力學(xué)問(wèn)題的提法：給定作用在物體全部邊界或內(nèi)部的外界作用（包括溫度影響、外力等），求解物體內(nèi)由此產(chǎn)生的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)。具體要求：（1）在物體內(nèi)部各點(diǎn)：應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量滿足：（2）在物體邊界：應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量滿足：

平衡方程（3個(gè)）幾何方程（6個(gè)）物理方程（6個(gè)）

位移邊界條件力的邊界條件基本方程組，普遍規(guī)律定解條件，特定規(guī)律。每一個(gè)具體問(wèn)題反映在各自的邊界條件上三、彈性力學(xué)邊值問(wèn)題彈性力學(xué)邊值問(wèn)題提法：求u，σ，ε，滿足：基本方程：邊界條件：已經(jīng)證明：該問(wèn)題有解，而且解唯一。但很難求解！關(guān)于彈性力學(xué)解的唯一性的討論

——圣維南原理由彈性力學(xué)解的唯一性可知，邊界條件不同，則解不同，但實(shí)際應(yīng)用中出現(xiàn)的事實(shí)是：圣維南發(fā)現(xiàn)了這一事實(shí)，并總結(jié)為：關(guān)于彈性力學(xué)解的唯一性的討論

——圣維南原理圣維南原理：如作用在彈性體表面某一不大的局部面積上的力系，為作用在同一局部面積上的另一靜力等效力系所代替，則荷載的這種重新分布只在力荷載作用處很近的地方才是應(yīng)力的分布發(fā)生顯著變化，在離荷載較遠(yuǎn)處只有極小的影響。關(guān)于彈性力學(xué)解的唯一性的討論

——圣維南原理圣維南原理的應(yīng)用：可將邊界條件簡(jiǎn)化,將不容易積分的方程變成近似的容易積分的邊界條件方程.

關(guān)于彈性力學(xué)解的唯一性的討論

——圣維南原理利用Ansys初步體會(huì)圣維南原理的正確性在Ansys中，通過(guò)變換端部位移約束與外力的施加形式，觀察變形體遠(yuǎn)離端部的變形、應(yīng)力云圖，。。。課后作業(yè)搜索、閱讀彈性力學(xué)相關(guān)文獻(xiàn)并了解如下彈性力學(xué)概念和計(jì)算公式：

一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)；

主應(yīng)力（principalstress）；

應(yīng)力不變量（stressinvariant）；

強(qiáng)度準(zhǔn)則。上機(jī)實(shí)驗(yàn)安排時(shí)間：第4周星期三第1－2節(jié)（8:00－9:40）地點(diǎn)：C302上機(jī)實(shí)驗(yàn)題目：桿梁結(jié)構(gòu)Ansys有限元分析（2）實(shí)驗(yàn)?zāi)康模豪肁nsys具體計(jì)算桿梁結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：照書操練教材P125，Ansys算例5.1(1),(2)利用Ansys后處理器，提