第三章靜電場

主要內(nèi)容1.真空中靜電場方程2.介質(zhì)中的靜電場方程3.靜電場的邊界條件4.電容與部分電容5.電場能量和力6.鏡像法7.應(yīng)用一.真空中靜電場方程

物理實(shí)驗(yàn)表明，真空中靜電場的電場強(qiáng)度E

滿足下列兩個(gè)積分形式的方程式中0為真空介電常數(shù)。左式稱為高斯定理，它表明真空中靜電場的電場強(qiáng)度通過任一封閉曲面的電通等于該封閉曲面所包圍的電量與真空介電常數(shù)之比。右式表明，真空中靜電場的電場強(qiáng)度沿任一條閉合曲線的環(huán)量為零。根據(jù)上面兩式可以求出電場強(qiáng)度的散度及旋度，即左式表明，真空中靜電場的電場強(qiáng)度在某點(diǎn)的散度等于該點(diǎn)的電荷體密度與真空介電常數(shù)之比。右式表明，真空中靜電場的電場強(qiáng)度的旋度處處為零。由此可見，真空中靜電場是有散無旋場。再根據(jù)亥姆霍茲定理，電場強(qiáng)度E應(yīng)為式中xPzyr0電位以小寫希臘字母

表示，上式應(yīng)寫為將前述結(jié)果代入，求得因此標(biāo)量函數(shù)稱為電位。表明真空中靜電場在某點(diǎn)的電場強(qiáng)度等于該點(diǎn)電位梯度的負(fù)值。將電位表達(dá)式代入，求得電場強(qiáng)度與電荷密度的關(guān)系為若電荷分布在一個(gè)有限的表面上，或者分布在一個(gè)有限的線段內(nèi)，那么可以類推獲知此時(shí)電位及電場強(qiáng)度與電荷的面密度

S及線密度l的關(guān)系分別為點(diǎn)電荷:電位方程有源空間：泊松方程無源空間：拉普拉斯方程例1計(jì)算點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度。

點(diǎn)電荷就是指體積為零，但具有一定電量的電荷。由于點(diǎn)電荷的結(jié)構(gòu)具有球?qū)ΨQ特點(diǎn)，因此若點(diǎn)電荷位于球坐標(biāo)的原點(diǎn)，它產(chǎn)生的電場強(qiáng)度一定與球坐標(biāo)的方位角及無關(guān)。取中心位于點(diǎn)電荷的球面為高斯面。若點(diǎn)電荷為正電荷，球面上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度方向與球面的外法線方向一致。利用高斯定律上式左端積分為得或也可通過電位計(jì)算點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度。當(dāng)點(diǎn)電荷位于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，。那么點(diǎn)電荷的電位為求得電場強(qiáng)度E

為若根據(jù)電場強(qiáng)度公式（3-1-14），同樣求得電場強(qiáng)度E為例2計(jì)算電偶極子的電場強(qiáng)度。

由前述電位和電場強(qiáng)度的計(jì)算公式可見，無論電荷何種分布，電位及電場強(qiáng)度均與電量的一次方成正比。因此，可以利用疊加原理計(jì)算多種分布電荷產(chǎn)生的電位和電場強(qiáng)度。那么，電偶極子產(chǎn)生的電位為若觀察距離遠(yuǎn)大于兩電荷的間距l(xiāng)

，則可認(rèn)為，與平行，則x-q+qzylrr-r+O式中l(wèi)的方向規(guī)定由負(fù)電荷指向正電荷。通常定義乘積ql

為電偶極子的電矩，以p

表示，即求得那么電偶極子產(chǎn)生的電位為由關(guān)系式，求得電偶極子的電場強(qiáng)度為上述結(jié)果表明，電偶極子的電位與距離平方成反比，電場強(qiáng)度的大小與距離的三次方成反比。而且兩者均與方位角有關(guān)。這些特點(diǎn)與點(diǎn)電荷顯著不同。下圖繪出了電偶極子的電場線和等位線的分布。[X,Y]=meshgrid([-0.1:0.002:0.1]);Z=Y./((X.^2+Y.^2).^1.5);mesh(X,Y,Z)axis([-0.10.1-0.10.1-30003000]);-8-6-4-202468-8-6-4-202468xyyx2+2)+

=

例3設(shè)半徑為a，電荷體密度為的無限長圓柱帶電體位于真空，計(jì)算該帶電圓柱體內(nèi)外的電場強(qiáng)度。xzyaLS1選取圓柱坐標(biāo)系，令z

軸為圓柱的軸線。由于圓柱是無限長的，對于任一z值，上下均勻無限長，因此場量與z坐標(biāo)無關(guān)。對于任一z為常數(shù)的平面，上下是對稱的，因此電場強(qiáng)度一定垂直于z軸，且與徑向坐標(biāo)r一致。再考慮到圓柱結(jié)構(gòu)具有旋轉(zhuǎn)對稱的特點(diǎn)，場強(qiáng)一定與角度

無關(guān)。取半徑為r

，長度為L的圓柱面與其上下端面構(gòu)成高斯面。因電場強(qiáng)度方向處處與圓柱側(cè)面S1的外法線方向一致，而與上下端面的外法線方向垂直，因此上式左端的面積分為當(dāng)r<a時(shí)，則電量q為,求得電場強(qiáng)度為當(dāng)r>a時(shí)，則電量q為,求得電場強(qiáng)度為上式中a2可以認(rèn)為是單位長度內(nèi)的電量。那么，柱外電場可以看作為位于圓柱軸上線密度為=a2

的線電荷產(chǎn)生的電場。由此我們推出線密度為的無限長線電荷的電場強(qiáng)度為由此例可見，對于這種結(jié)構(gòu)對稱的無限長圓柱體分布電荷，利用高斯定律計(jì)算其電場強(qiáng)度是十分簡便的。若根據(jù)電荷分布直接積分計(jì)算電位或電場強(qiáng)度，顯然不易。xzyr21r00例4求長度為L，線密度為的均勻線分布電荷的電場強(qiáng)度

令圓柱坐標(biāo)系的z軸與線電荷的長度方位一致，且中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。由于結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)對稱，場強(qiáng)與方位角

無關(guān)。因?yàn)殡妶鰪?qiáng)度的方向無法判斷，不能應(yīng)用高斯定律求解其電場強(qiáng)度。只好進(jìn)行直接積分，計(jì)算其電位及電場強(qiáng)度。因場量與無關(guān)，為了方便起見，可令觀察點(diǎn)P

位于yz平面，即，那么考慮到求得當(dāng)長度L時(shí)，1

0，2，則此結(jié)果與例3導(dǎo)出的結(jié)果完全相同。xzyr21r00二.介質(zhì)中的靜電場1.極化類型

導(dǎo)體中的電子通常稱為自由電子，它們所攜帶的電荷稱為自由電荷。介質(zhì)中的電荷是不會自由運(yùn)動的，這些電荷稱為束縛電荷。在電場作用下，介質(zhì)中束縛電荷發(fā)生位移，這種現(xiàn)象稱為極化。通常，無極分子的極化稱為位移極化，有極分子的極化稱為取向極化。有極分子無極分子無極分子有極分子Ea2.極化過程實(shí)際上，介質(zhì)極化現(xiàn)象是逐漸形成的。當(dāng)外加電場Ea

加到介質(zhì)中以后，介質(zhì)中出現(xiàn)的電偶極子產(chǎn)生二次電場Es，這種二次電場Es又影響外加電場，從而導(dǎo)致介質(zhì)極化發(fā)生改變，使二次電場又發(fā)生變化。一直到合成電場產(chǎn)生的極化能夠建立一個(gè)穩(wěn)態(tài)的二次電場，極化狀態(tài)達(dá)到動態(tài)平衡，其過程如下圖所示。介質(zhì)合成場Ea+Es極化二次場Es外加場Ea3.極化強(qiáng)度介質(zhì)極化以后，介質(zhì)中出現(xiàn)很多排列方向大致相同的電偶極子。為了衡量這種極化程度，我們定義，單位體積中電矩的矢量和稱為極化強(qiáng)度，以P表示，即式中pi

為體積V中第i個(gè)電偶極子的電矩，N

為V中電偶極子的數(shù)目。這里V應(yīng)理解為物理無限小的體積。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，大多數(shù)介質(zhì)在電場的作用下發(fā)生極化時(shí)，其極化強(qiáng)度P與介質(zhì)中的合成電場強(qiáng)度E

成正比，即式中e

稱為極化率，它是一個(gè)正實(shí)數(shù)。4.介質(zhì)類型分為:各向同性與各向異性、均勻與非均勻性、線性與非線性、靜止與運(yùn)動四大類.極化率與電場方向無關(guān)，這類介質(zhì)稱為各向同性介質(zhì)。極化強(qiáng)度的某一坐標(biāo)分量不僅與電場強(qiáng)度相應(yīng)的坐標(biāo)分量有關(guān)，而且與電場強(qiáng)度的其他分量也有關(guān)。這類介質(zhì)的極化強(qiáng)度P

與電場強(qiáng)度

E

的關(guān)系可用下列矩陣表示這就表明，介質(zhì)的極化率與電場強(qiáng)度的方向有關(guān)，也就是極化特性與電場強(qiáng)度方向有關(guān)，因此，這類介質(zhì)稱為各向異性介質(zhì)。空間各點(diǎn)極化率相同的介質(zhì)稱為均勻介質(zhì)，否則，稱為非均勻介質(zhì)。極化率與時(shí)間無關(guān)的介質(zhì)稱為靜止媒質(zhì)，否則稱為運(yùn)動媒質(zhì)。因此，若極化率是一個(gè)正實(shí)常數(shù)，則適用于線性均勻且各向同性的介質(zhì)。若前述矩陣的各個(gè)元素都是一個(gè)正實(shí)常數(shù)，則適用于線性均勻各向異性的介質(zhì)極化率與電場強(qiáng)度的大小無關(guān)的介質(zhì)稱為線性介質(zhì)，否則，稱為非線性介質(zhì)。各向異性的介質(zhì)能否是均勻的？非均勻介質(zhì)能否是各向同性的？發(fā)生極化以后，介質(zhì)表面出現(xiàn)面分布的束縛電荷。若介質(zhì)內(nèi)部是不均勻的，在介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)束縛電荷的體分布，因而出現(xiàn)體分布的束縛電荷。這種因極化產(chǎn)生的面分布及體分布的束縛電荷又稱為極化電荷。可以得出如下關(guān)系：由此可見，任一塊介質(zhì)內(nèi)部體分布的束縛電荷與介質(zhì)塊的表面束縛電荷是等值異性的。右式又可寫為積分形式

5.介質(zhì)中的靜電場方程

在介質(zhì)內(nèi)部，穿過任一閉合面S的電通應(yīng)為式中q為閉合面S

中的自由電荷，為閉合面S

中的束縛電荷。那么令，求得此處定義的D

稱為電位移?？梢?，介質(zhì)中穿過任一閉合面的電位移的通量等于該閉合面包圍的自由電荷，而與束縛電荷無關(guān)。上式又稱為介質(zhì)中的高斯定律的積分形式，利用矢量恒等式不難推出其微分形式為介質(zhì)中微分形式的高斯定律表明，某點(diǎn)電位移的散度等于該點(diǎn)自由電荷的體密度。電位移電位移線表示.若規(guī)定電位移線組成的相鄰的通量管中電位移的通量相等，那么電位移線的疏密程度即可表示電位移的大小。值得注意的是，電位移線起始于正的自由電荷，而終止于負(fù)的自由電荷，與束縛電荷無關(guān)。已知各向同性介質(zhì)的極化強(qiáng)度，求得式中稱為介質(zhì)的介電常數(shù)。已知極化率e為正實(shí)數(shù)，因此，一切介質(zhì)的介電常數(shù)均大于真空的介電常數(shù)。令則實(shí)際中經(jīng)常使用介電常數(shù)的相對值，這種相對值稱為相對介電常數(shù)，以r

表示，其定義為可見，任何介質(zhì)的相對介電常數(shù)總是大于1。下表給出了幾種介質(zhì)的相對介電常數(shù)的近似值。介質(zhì)介質(zhì)空氣1.0石英3.3油2.3云母6.0紙1.3~4.0陶瓷5.3~6.5有機(jī)玻璃2.6~3.5純水81石臘2.1樹脂3.3聚乙烯2.3聚苯乙烯2.6rr各向異性介質(zhì)的電位移與電場強(qiáng)度的關(guān)系可以表示為此式表明，各向異性介質(zhì)中，電位移的方向與電場強(qiáng)度的方向不一定相同，電位移某一分量可能與電場強(qiáng)度的各個(gè)（或者某些）分量有關(guān)。電位移和電場強(qiáng)度的關(guān)系與外加電場的方向