自動控制原理詳解4.1.2根軌跡方程圖4-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖根軌跡方程幅值方程為：相角方程為：2法則3：根軌跡對稱于實軸；n階系統(tǒng)有n條根軌跡。法則4：實軸上的根軌跡段。對于實軸上零、極點之間的某一區(qū)域，其右側(cè)實軸上所有的開環(huán)零、極點個數(shù)之和是奇數(shù)，則該區(qū)域一定是實軸上的根軌跡段。圖4-4系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布3法則5：根軌跡的漸近線。當(dāng)時，有條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)處，其漸近線由下面兩式確定：

漸近線與實軸的夾角：

漸近線與實軸的交點：

44.2根軌跡繪制的基本法則4.2.1繪制根軌跡的基本法則法則1：開環(huán)極點之和與閉環(huán)極點之和在條件下相等。式中表示閉環(huán)極點，

表示開環(huán)極點。

例4-1已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：根軌跡與虛軸的交點為試求其相應(yīng)的第三個閉環(huán)極點，并求交點處的臨界根軌跡增益K。

即法則2：根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點或無窮遠(yuǎn)。5例4-2已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定根軌跡的分支數(shù)、起點和終點，實軸上的根軌跡段，漸近線與實軸的交點及夾角。圖4-5例4-2題圖6法則6：根軌跡的分離點和會合點。若兩條根軌跡在復(fù)平面上的某一點相遇后又分開，稱該點為根軌跡的分離點或會合點。(1)求解分離點或會合點方法現(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：求解根軌跡的分離點或會合點。(2)分離點(或會合點)處根軌跡的切線與正實軸的夾角其中，l為相分離的根軌跡分支數(shù)。注意:求解的結(jié)果需判斷是否在根軌跡上,若不是,應(yīng)舍去.7分離點的坐標(biāo)d是下列分離方程的解式中,zi為各開環(huán)零點的數(shù)值;pj為各開環(huán)極點的數(shù)值.注意:如果開環(huán)系統(tǒng)無有限零點,則分離方程變?yōu)橐话阌迷嚋惙◤纳鲜街星笕.法則6*

：根軌跡的分離點和會合點。8法則7：根軌跡與虛軸的交點。求解根軌跡與虛軸交點的方法：設(shè)與虛軸相交的閉環(huán)極點為,代入閉環(huán)特征方程得：解方程即可得到值和值。例4-3在例4-2中，試確定根軌跡的分離點或會合點、分離角以及其與虛軸的交點，并概略繪制根軌跡圖。9圖4-6例4-3圖10例4-4已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，試?yán)L制系統(tǒng)的概略根軌跡。圖4-7例4-4題圖11法則8：根軌跡的出射角和入射角。(1)出射角：(2)入射角：特殊：在實軸上的根軌跡的出射角與入射角為00或±180012開環(huán)零、極點分布及相應(yīng)的根軌跡圖例134.2.2閉環(huán)系統(tǒng)零、極點與時間響應(yīng)性能的關(guān)系在根軌跡圖中，可以得出以下閉環(huán)零極點與時間響應(yīng)性能的關(guān)系：(1)穩(wěn)定性(2)運動形式(3)超調(diào)量(4)調(diào)節(jié)時間(5)實數(shù)零、極點的影響(6)主導(dǎo)極點14本章小結(jié)1.所謂根軌跡是指開環(huán)傳遞函數(shù)中的某一參數(shù)從零變化到無窮時,閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根(閉環(huán)極點)在s平面上運動的軌跡。2.根軌跡方程是繪制根軌跡圖的依據(jù)。幅值方程是求解根軌跡的充分條件，相角方程是求解根軌跡的充分必要條件。3.根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)零、極點在s平面上的分布，按照根軌跡繪圖法則，便可概略繪制系統(tǒng)的根軌跡。4.由根軌跡圖可以比較直觀地分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能。根據(jù)根軌跡，既可以了解系統(tǒng)參數(shù)的變化對性能的影響，又能按照指定的K值，求