2021-2022學(xué)年江蘇省常州市橫山橋高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

參考答案：A略2.函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C3.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）.

.

.或

.參考答案：B由且得，選B；4.已知偶函數(shù)在區(qū)間上滿足，則滿足的的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：D5.設(shè)M是圓O：x2+y2=9上動(dòng)點(diǎn)，直線l過(guò)M且與圓O相切，若過(guò)A（﹣2，0），B（2，0）兩點(diǎn)的拋物線以直線l為準(zhǔn)線，則拋物線焦點(diǎn)F的軌跡方程是（）A．﹣=1（y≠0） B．﹣=1（y≠0）C．+=1（y≠0） D．+=1（y≠0）參考答案：C【考點(diǎn)】圓與圓錐曲線的綜合．【分析】焦點(diǎn)到A和B的距離之和等于A和B分別到準(zhǔn)線的距離和，而距離之和為A和B的中點(diǎn)O到準(zhǔn)線的距離的二倍是定值，結(jié)合橢圓的定義得焦點(diǎn)的軌跡方程C是以A和B為焦點(diǎn)的橢圓．【解答】解：設(shè)A，B兩點(diǎn)到直線l的距離分別為d1，d2，則d1+d2=2d=6又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在拋物線上，由定義可知|AF|+|BF|=6＞|AB|，所以由橢圓定義可知，動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為6的橢圓（除與x軸交點(diǎn)）．方程為+=1（y≠0），故選C．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查橢圓的定義、圓錐曲線的軌跡問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．6.在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，設(shè)，若則λ的值為（）A．

B．2

C． D．3參考答案：D考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．

專題：平面向量及應(yīng)用．分析：由=2確定點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，根據(jù)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，用、表示出和，由條件和數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)=﹣，即可求出λ的值．解答：解：由題意畫出圖象如右圖：∵=2，∴D為BC的中點(diǎn)，則=，∵=λ，∴，則=﹣=﹣，∵=﹣，∴?[﹣]=，﹣+﹣=﹣+=，+，解得λ=3，故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義，屬于中檔題．7.在各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列{an}中，，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且，則的值為（

）A.1 B.2 C.4 D.8參考答案：C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，代入方程可求出，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可代入求解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，所以，因?yàn)楦黜?xiàng)不為零，所以，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，，等比數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，，屬于中檔題.

8.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：A略9.設(shè)f（x）=，g（x）=ax+3﹣3a（a＞0），若對(duì)于任意x1∈[0，2]，總存在x0∈[0，2]，使得g（x0）=f（x1）成立，則a的取值范圍是（）A．[2，+∞） B．[1，2] C．[0，2] D．[1，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】求解當(dāng)x1∈[0，2]，f（x）=的值域，x0∈[0，2]，g（x）=ax+3﹣3a（a＞0）值域，根據(jù)題意可知f（x）的值域是g（x）的值域的子集．可得a的取值范圍．【解答】解：當(dāng)x1∈[0，2]，函數(shù)f（x）=，則f′（x）=，令f′（x）=0，解得：x=1，當(dāng)x在（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；當(dāng)x在（1，2）時(shí)，f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（1，）上單調(diào)遞減；所以：當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最大值為1．當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最小值為0．故得函數(shù)f（x）的值域M∈[0，1]．當(dāng)x0∈[0，2]，∵a＞0函數(shù)g（x）=ax+3﹣3a在其定義域內(nèi)是增函數(shù)當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)g（x）取得取得最小值為：3﹣3a．當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)g（x）取得取得最大值為：3﹣a．故得函數(shù)f（x）的值域N∈[3﹣3a，3﹣a]．∵M(jìn)?N，∴，解得：1≤a≤2．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用求函數(shù)的值域問(wèn)題，恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題．屬于中檔題．10.已知命題p：?x0∈R，sinx0＞1，則（）A．?p：?x0∈R，sinx0≤1 B．?p：?x∈R，sinx＞1C．?p：?x0∈R，sinx0＞1 D．?p：?x∈R，sinx≤1參考答案：D【考點(diǎn)】命題的否定．【分析】本題中所給的命題是一個(gè)特稱命題，其否定是一個(gè)全稱命題，按規(guī)則寫出其否定即可．【解答】解：∵命題p“?x0∈R，sinx0＞1“是一個(gè)特稱命題∴它的否定是：“?x∈R，sinx≤1”故選D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

參考答案：i12.函數(shù)的最小正周期是

參考答案：π13.在銳角△ABC中，已知，其面積，則△ABC的外接圓面積為．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】由題意和三角形的面積公式求出sinB，由銳角三角形的條件和平方關(guān)系求出cosB，由余弦定理求出AC，由正弦定理求出△ABC的外接圓的半徑，代入圓的面積公式求出答案．【解答】解：∵，其面積，∴，則，得sinB=，∵△ABC是銳角三角形，∴cosB==，由余弦定理得，AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cosB=12+9﹣=9，則AC=3，∴=，則△ABC的外接圓半徑是，∴△ABC的外接圓面積S==，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用，以及三角形的面積公式，考查化簡(jiǎn)、變形能力．14.直線l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直線l2：2x+（5+a）y=8平行，則a=．參考答案：﹣7【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【專題】直線與圓．【分析】根據(jù)兩直線平行的條件可知，（3+a）（5+a）﹣4×2=0，且5﹣3a≠8．進(jìn)而可求出a的值．【解答】解：直線l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直線l2：2x+（5+a）y=8平行，則（3+a）（5+a）﹣4×2=0，即a2+8a+7=0．解得，a=﹣1或a=﹣7．又∵5﹣3a≠8，∴a≠﹣1．∴a=﹣7．故答案為：﹣7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩直線平行的條件，其中5﹣3a≠8是本題的易錯(cuò)點(diǎn)．屬于基礎(chǔ)題．15.的展開(kāi)式中的系數(shù)是

.(用數(shù)值作答）參考答案：二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令得。故展開(kāi)式中的系數(shù)為。

16.已知正方形ABCD，AB=2，若將沿正方形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，則在翻折的過(guò)程中，四面體的體積的最大值是____.參考答案：略17.拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_____________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）某旅游愛(ài)好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家A1,A2,A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1,B2,B3中選擇2個(gè)國(guó)家去旅游。（Ⅰ）若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率；（Ⅱ）若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中個(gè)任選1個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家包括A1但不包括B1的概率。參考答案：解：(Ⅰ)由題意知，從6個(gè)國(guó)家里任選兩個(gè)國(guó)家，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：共15個(gè),所選兩個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的事件所包含的基本事件有：共3個(gè),則所求事件的概率為：.(Ⅱ)從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選一個(gè)，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：共9個(gè),包括但不包括的事件所包含的基本事件有：共2個(gè).則所求事件的概率為：.

19.(12分)甲、乙二人各有6張撲克牌，每人都是3張紅心，2張草花，1張方片。每次兩人從自己的6張牌中任意抽取一張進(jìn)行比較，規(guī)定：兩人花色相同時(shí)甲勝，花色不同時(shí)乙勝。（Ⅰ）此規(guī)定是否公平?為什么?（Ⅱ）若又規(guī)定：當(dāng)甲取紅心、草花、方片而獲勝所得的分?jǐn)?shù)分別為3、2、1，否則得0分，求甲得分的期望．

參考答案：解析：（Ⅰ）設(shè)甲取紅心、草花、方片的事件分別為A、B、C，乙取紅心、草花、方片的事件分、、，則事件A、、B、、C、相互獨(dú)立，而事件，，兩兩互斥，由題知，，，則甲取勝的概率：，∴乙取勝的概率為：．

……………6分∵甲取勝的概率≠乙取勝的概率，∴此規(guī)定不公平．

…………………8分（Ⅱ）設(shè)甲得分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量，則取值為0，1，2，3．則的分布列為0123∴甲得分的期望……12分20.已知函數(shù)在處存在極值.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）函數(shù)的圖像上存在兩點(diǎn)使得是以坐標(biāo)原點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊的中點(diǎn)在軸上，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，討論關(guān)于的方程的實(shí)根的個(gè)數(shù).參考答案：解（1）當(dāng)時(shí)，.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在處存在極值，所以解得.(2)由（1）得根據(jù)條件知A，B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè).若，則，由是直角得，，即，即.此時(shí)無(wú)解；若，則.由于AB的中點(diǎn)在軸上，且是直角，所以B點(diǎn)不可能在軸上，即.由，即=0，即..因?yàn)楹瘮?shù)在上的值域是，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）由方程，知，可知0一定是方程的根，

所以僅就時(shí)進(jìn)行研究：方程等價(jià)于構(gòu)造函數(shù)對(duì)于部分，函數(shù)的圖像是開(kāi)口向下的拋物線的一部分，當(dāng)時(shí)取得最大值，其值域是；對(duì)于部分，函數(shù)，由，知函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以，①當(dāng)或時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根；②當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)根；

③當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)實(shí)根.略21.某校從參加某次知識(shí)競(jìng)賽的同學(xué)中，選取60名同學(xué)將其成績(jī)（百分制）（均為整數(shù)）分成6組后，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問(wèn)題．（Ⅰ）求分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；（Ⅱ）從頻率分布直方圖中，估計(jì)本次考試的平均分；（Ⅲ）若從60名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，抽到的學(xué)生成績(jī)?cè)赱40，70）記0分，在[70，100]記1分，用X表示抽取結(jié)束后的總記分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列．專題：計(jì)算題；圖表型．分析：（I）由題意及頻率分布直方圖，設(shè)分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的頻率為x，建立方程解出即可；（II）有圖及平均數(shù)的定義即可求估計(jì)本次考試的平均分；（III）由題意若從60名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，抽到的學(xué)生成績(jī)?cè)赱40，70）記0分，在[70，100]記1分，用X表示抽取結(jié)束后的總記分，得到X的分布列，在有期望的定義即可求得．解答： 解：（Ⅰ）設(shè)分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的頻率為x，根據(jù)頻率分布直方圖，則有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，可得x=0.3，所以頻率分布直方圖如圖所示．（Ⅱ）平均分為：（Ⅲ）學(xué)生成績(jī)?cè)赱40，70）的有0.4×60=24人，在[70，100]的有0.6×60=36人，并且X的可能取值是0，1，2．所以X的分布列為：．∴EX=0×+1×+2×==．點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生識(shí)圖的能力，還考查了統(tǒng)計(jì)中的平均數(shù)的定義及離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的定義．22.已知函數(shù)f（x）=|x|﹣|x﹣1|．（1）若關(guān)于x的不等式f（x）≥|m﹣1|的解集非空，求實(shí)數(shù)m的取值集合M．（2）記（1）中數(shù)集M中的最大值為k，正實(shí)數(shù)a，b滿足a2+b2=k，證明：a+b≥2ab．參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值三角不等式；絕對(duì)值不等式的解法．【分析】（1）求出函數(shù)的解析式，然后求解函數(shù)的最大值，通過(guò)|m﹣1|≤1，求解m的范圍，得到m的最大值M．（2）利用分析法，證明不等