2022-2023學年內蒙古自治區(qū)錫林郭勒盟普通高校對口單招高等數(shù)學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(40題)1.微分方程y＋y＝0的通解為（）．A.A.

B.

C.

D.

2.

若y1·y2為二階線性常系數(shù)微分方程y〞+p1y'+p2y=0的兩個特解，則C1y1+C2y2（）.A.為所給方程的解，但不是通解

B.為所給方程的解，但不一定是通解

C.為所給方程的通解

D.不為所給方程的解

3.A.1B.0C.2D.1/2

4.下列函數(shù)中，在x=0處可導的是（）

A.y=|x|

B.

C.y=x3

D.y=lnx

5.A.A.1/2B.1C.2D.e

6.

7.

8.

9.

10.

11.A.exln2

B.e2xln2

C.ex+ln2

D.e2x+ln2

12.設有直線

當直線l1與l2平行時，λ等于（）．A.A.1

B.0

C.

D.一1

13.

A.0

B.

C.1

D.

14.微分方程(y)2=x的階數(shù)為()A.1B.2C.3D.415.（）。A.2πB.πC.π/2D.π/4

16.

17.在特定工作領域內運用技術、工具、方法等的能力稱為（）

A.人際技能B.技術技能C.概念技能D.以上都不正確18.

19.A.f(1)－f(0)

B.2[f(1)－f(0)]

C.2[f(2)－f(0)]

D.

20.函數(shù)y=ex+arctanx在區(qū)間[-1，1]上（）

A.單調減少B.單調增加C.無最大值D.無最小值21.A.A.－sinx

B.cosx

C.

D.

22.設函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內可導，f'(x)＞0，則在(0，1)內f(x)()．A.單調增加B.單調減少C.為常量D.既非單調，也非常量23.24.設z=tan(xy)，則等于()A.A.

B.

C.

D.

25.

A.6xarctanx2

B.6xtanx2＋5

C.5

D.6xcos2x

26.

A.

B.

C.

D.

27.

28.f(x)在x=0有二階連續(xù)導數(shù)，則f(x)在x=0處()。A.取極小值B.取極大值C.不取極值D.以上都不對29.下列命題中正確的有（）A.A.

B.

C.

D.

30.

31.

32.（）。A.3B.2C.1D.033.

34.下列反常積分收斂的是()。A.∫1+∞xdx

B.∫1+∞x2dx

C.

D.

35.

36.設y=sinx，則y'|x=0等于()．A.1B.0C.-1D.-237.A.f(x)+CB.f'(x)+CC.f(x)D.f'(x)38.設y=exsinx，則y'''=A.cosx·ex

B.sinx·ex

C.2ex(cosx-sinx)

D.2ex(sinx-cosx)

39.A.A.2B.1/2C.-2D.-1/2

40.下列反常積分收斂的是（）。

A.

B.

C.

D.

二、填空題(50題)41.42.設z=x3y2，則=________。43.函數(shù)的間斷點為______．44.

45.

46.

47.

48.

49.設z=sin(y+x2)，則．50.

51.設sinx為f(x)的原函數(shù)，則f(x)=______．

52.53.54.55.56.設sinx為f(x)的原函數(shù)，則f(x)=________。

57.

58.設y＝f(x)在點x＝0處可導，且x＝0為f(x)的極值點，則f(0)＝．

59.

60.

61.

62.

63.

64.65.66.67.

68.微分方程xdx+ydy=0的通解是__________。

69.設y=ex，則dy=_________。

70.

71.

72.

73.74.

75.

76.77.曲線y＝x3—6x的拐點坐標為________．

78.

79.

80.

81.

82.設y=f(x)可導，點xo=2為f(x)的極小值點，且f(2)=3．則曲線y=f(x)在點(2，3)處的切線方程為__________．

83.

84.

85.

86.

87.88.

89.設y=cosx，則dy=_________。

90.三、計算題(20題)91.92.

93.

94.研究級數(shù)的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數(shù)a>0．95.

96.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調區(qū)間和極值．97.證明：98.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

99.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

100.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數(shù)．

101.

102.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．103.求微分方程的通解．104.求曲線在點(1，3)處的切線方程．105.求函數(shù)一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．106.求函數(shù)y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．107.108.

109.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

110.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

四、解答題(10題)111.

112.用鐵皮做一個容積為V的圓柱形有蓋桶，證明當圓柱的高等于底面直徑時，所使用的鐵皮面積最小。

113.設z=x2+y/x，求dz。

114.115.求y=xlnx的極值與極值點．

116.確定函數(shù)f(x，y)=3axy-x3-y3(a＞0)的極值點.

117.(本題滿分10分)設F(x)為f(x)的－個原函數(shù)，且f(x)＝xlnx，求F(x)．118.

119.

120.

五、高等數(shù)學(0題)121.求

的極值。

六、解答題(0題)122.

參考答案

1.D本題考查的知識點為－階微分方程的求解．

可以將方程認作可分離變量方程；也可以將方程認作－階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數(shù)齊次微分方程，并作為特例求解．

解法1將方程認作可分離變量方程．

解法2將方程認作－階線性微分方程．由通解公式可得

解法3認作二階常系數(shù)線性齊次微分方程特例求解：

特征方程為r＋1＝0，

特征根為r＝－1，

2.B

3.C

4.C選項A中，y=|x|，在x=0處有尖點，即y=|x|在x=0處不可導；選項B中，在x=0處不存在，即在x=0處不可導；選項C中，y=x3，y'=3x2處處存在，即y=x3處處可導，也就在x=0處可導；選項D中，y=lnx，在x=0處不存在，y=lnx在x=0處不可導（事實上，在x=0點就沒定義）.

5.C

6.A

7.B解析：

8.C解析：

9.B解析：

10.A

11.B因f'(x)=f(x)·2,即y'=2y，此為常系數(shù)一階線性齊次方程，其特征根為r=2，所以其通解為y=Ce2x，又當x=0時，f(0)=ln2,所以C=ln2,故f(x）=e2xln2.

12.C本題考查的知識點為直線間的關系．

13.A

14.A

15.B

16.C

17.B解析：技術技能是指管理者掌握和熟悉特定專業(yè)領域中的過程、慣例、技術和工具的能力。

18.B

19.D本題考查的知識點為定積分的性質；牛頓－萊布尼茨公式．

可知應選D．

20.B因處處成立，于是函數(shù)在（-∞，+∞)內都是單調增加的，故在[-1，1]上單調增加.

21.C本題考查的知識點為基本導數(shù)公式．

可知應選C．

22.A由于f(x)在(0，1)內有f'(x)＞0，可知f(x)在(0，1)內單調增加，故應選A．

23.C

24.B本題考查的知識點為偏導數(shù)運算．

由于z=tan(xy)，因此

可知應選A．

25.C

26.C

27.D

28.B；又∵分母x→0∴x=0是駐點；；即f""(0)=一1<0，∴f(x)在x=0處取極大值

29.B

30.A

31.C

32.A

33.C

34.DA，∫1+∞xdx==∞發(fā)散；

35.A

36.A由于

可知應選A．

37.C

38.C由萊布尼茨公式，得（exsinx)'''=(ex)'''sinx+3(ex)''(sinx)'+3(ex)'(sinx)''+ex(sinx)'''=exsinx+3excosx+3ex(-sinx)+ex(-cosx)=2ex(cosx-sinx).

39.B

40.D

41.42.由z=x3y2，得=2x3y，故dz=3x2y2dx+2x3ydy，。43.本題考查的知識點為判定函數(shù)的間斷點．

僅當，即x=±1時，函數(shù)沒有定義，因此x=±1為函數(shù)的間斷點。

44.

45.

46.

47.

48.y=f(0)49.2xcos(y+x2)本題考查的知識點為二元函數(shù)的偏導數(shù)計算．

可以令u=y+x2，得z=sinu，由復合函數(shù)偏導數(shù)的鏈式法則得

50.

51.cosxcosx解析：本題考查的知識點為原函數(shù)的概念．

由于sinx為f(x)的原函數(shù)，因此f(x)=(sinx)'=cosx．52.(－∞，＋∞)．

本題考查的知識點為求冪級數(shù)的收斂區(qū)間．

若ρ＝0，則收斂半徑R＝＋∞，收斂區(qū)間為(－∞，＋∞)．

若ρ＝＋∞，則收斂半徑R＝0，級數(shù)僅在點x＝0收斂．

53.054.1

55.

本題考查的知識點為冪級數(shù)的收斂半徑．

注意此處冪級數(shù)為缺項情形．

56.本題考查的知識點為原函數(shù)的概念。

由于sinx為f(x)的原函數(shù)，因此f(x)=(sinx)=cosx。

57.58.0．

本題考查的知識點為極值的必要條件．

由于y＝f(x)在點x＝0可導，且x＝0為f(x)的極值點，由極值的必要條件可知有f(0)＝0．

59.f(x)+Cf(x)+C解析：

60.1+2ln2

61.

62.

63.

64.3xln3

65.

66.

67.答案：1

68.x2+y2=C

69.exdx

70.2/3

71.π/4

72.

73.

74.

75.-ln(3-x)+C-ln(3-x)+C解析：76.本題考查的知識點為平面方程和平面與直線的關系．由于已知直線與所求平面垂直，可知所給直線的方向向量s平行于所求平面的法向量n．由于s=(2，1，一3)，因此可取n=(2，1，－3)．由于平面過原點，由平面的點法式方程，可知所求平面方程為2x+y一3z=0．77.(0，0)．

本題考查的知識點為求曲線的拐點．

依求曲線拐點的－般步驟，只需

78.1/6

79.3x2+4y3x2+4y解析：

80.

81.

解析：

82.

83.-1

84.1本題考查了一階導數(shù)的知識點。

85.

解析：

86.

87.

88.

89.-sinxdx

90.1/z本題考查了二元函數(shù)的二階偏導數(shù)的知識點。

91.

92.

則

93.

94.

95.由一階線性微分方程通解公式有

96.函數(shù)的定義域為

注意

97.

98.由等價無窮小量的定義可知

99.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

100.

101.

102.由二重積分物理意義知

103.104.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

105.

列表：

說明

106.

107.

108.

109.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

110.

111.

112.

于是由實際問題得，S存在最小值，即當圓柱的高等于地面的直徑時，所使用的鐵皮面積最小。于是由實際問題得，S存在最小值，即當圓柱的高等于地面的直徑時，所