會計(jì)學(xué)1概率論的基本概念new概率論的起源賭博德.梅勒是一位軍人、語言學(xué)家、古典學(xué)者、賭徒、數(shù)學(xué)家。“點(diǎn)問題”A和B每人出30個(gè)金幣，兩人各自選取一個(gè)點(diǎn)數(shù)，誰選擇的點(diǎn)數(shù)首先被擲出3次，誰就贏得全部的賭注。A選擇的點(diǎn)數(shù)“正”出現(xiàn)了2次，而B選擇的點(diǎn)數(shù)“反”只出現(xiàn)了一次。這時(shí)候，A由于國王召見必須離開，游戲停止。他們該如何分配60個(gè)金幣的賭注呢？故事背景：第1頁/共76頁看法1：既然B選擇的點(diǎn)數(shù)的機(jī)會是A的一半，那么B該拿到A所得的一半，即B得20個(gè),A拿40個(gè).看法2：再擲一次骰子，有兩種可能:游戲是平局，每人都得到相等的30個(gè)金幣；但如果擲出的是“正”，A就贏了，可拿走60個(gè)金幣。在下一次擲骰子之前，他實(shí)際上已經(jīng)擁有了30個(gè)金幣，他還有50%的機(jī)會贏得另外30個(gè)金幣，所以，他應(yīng)分得45個(gè)金幣。第2頁/共76頁他們對這一問題的看法和計(jì)算方法不一致，為此而爭論不休。后來德.梅勒把這個(gè)問題告訴了帕斯卡，帕斯卡對此也很感興趣，但也難住了帕斯卡。他們兩人多再賭兩局即可分出勝負(fù)，這兩局有4種可能的結(jié)果：正,正、正,反、反,正、反,反。前3種情況都是甲最后獲勝，只有最后一種情況才是乙取勝，所以賭注應(yīng)按3：1的比例分配，即甲得45個(gè)金幣，乙得15個(gè)。

帕斯卡又寫信告訴了費(fèi)馬。于是在這兩位偉大的法國數(shù)學(xué)家之間開始了具有劃時(shí)代意義的通信。總共用了三年的時(shí)間，解決了這一問題，在概率論的歷史上，一般的傳統(tǒng)觀點(diǎn)則把這一事件看作為數(shù)學(xué)概率論的起始標(biāo)志。

第3頁/共76頁三年后，也就是1657年，荷蘭著名的天文、物理兼數(shù)學(xué)家惠更斯把這一問題置于更復(fù)雜的情形下，試圖總結(jié)出更一般的規(guī)律，結(jié)果寫成了《論擲骰子游戲中的計(jì)算》一書，這就是最早的概率論著作。概率論誕生了！第4頁/共76頁公元1814年，法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace

1794－1827)在他的新作《概率的哲學(xué)探討》一書中，記載了一下有趣的統(tǒng)計(jì)．他根據(jù)倫敦，彼得堡，柏林和全法國的統(tǒng)計(jì)資料，得出了幾乎完全一致的男嬰和女嬰出生數(shù)的比值是22：21．可奇怪的是，當(dāng)他統(tǒng)計(jì)1745－1784整整四十年間巴黎男嬰出生率時(shí)，卻得到了另一個(gè)比是25：24，與前者相差0.14%．拉普拉斯感到困惑不解，他深信自然規(guī)律，他覺得這千分之一點(diǎn)四的后面，一定有深刻的因素．于是，他深入進(jìn)行調(diào)查研究，終于發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)巴黎人“重女輕男”，有拋棄男嬰的陋俗，以至于歪曲了出生率的真相，經(jīng)過修正，巴黎的男女嬰的出生比率依然是22：21．?dāng)?shù)理統(tǒng)計(jì)：男女出生比例第5頁/共76頁目前世界男女比例2120而中國目前男女出生比例120:100預(yù)計(jì)到2020年將會出現(xiàn)3000萬“光棍”第6頁/共76頁1-5章為概率論6-8章為數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分本學(xué)期的教學(xué)內(nèi)容第7頁/共76頁起源于為碰運(yùn)氣而取勝的游戲的研究所產(chǎn)生的一門科學(xué)(概率論),竟成為人類知識的最重要的內(nèi)容,這實(shí)在是值得注意的。——(法國數(shù)學(xué)家）拉普拉斯什么是概率論第8頁/共76頁自然現(xiàn)象：確定性、隨機(jī)確定性現(xiàn)象垂直上拋一重物，該重物會垂直下落

太陽從東方升起，西方落下

什么是概率論第9頁/共76頁隨機(jī)現(xiàn)象擲一顆骰子，可能出現(xiàn)1，2，3，4，5，6點(diǎn)拋擲一枚均勻的硬幣，會出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種不同的結(jié)果概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科什么是概率論大量重復(fù)試驗(yàn)中呈現(xiàn)統(tǒng)計(jì)規(guī)律性第10頁/共76頁第1章

隨機(jī)事件

及其概率第11頁/共76頁

研究隨機(jī)現(xiàn)象，首先要對研究對象進(jìn)行觀察試驗(yàn)（即進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)）

一、隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間1.1隨機(jī)事件第12頁/共76頁擲骰子試驗(yàn)“擲出1點(diǎn)”“擲出2點(diǎn)”第13頁/共76頁

相同條件下可重復(fù)

全部可能結(jié)果不止一個(gè),但事先可預(yù)知

每一次試驗(yàn)都會出現(xiàn)某一個(gè)可能結(jié)果，但無法

預(yù)知是具體哪一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)第14頁/共76頁樣本空間、樣本點(diǎn)隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，記作ω，

全體樣本點(diǎn)的集合稱為樣本空間，

用Ω表示樣本點(diǎn)ω.

Ω第15頁/共76頁E1:將一枚硬幣拋擲兩次，觀察正面（H）和反面（T）出現(xiàn)的情況;E2:將一枚硬幣連拋三次，觀察正反面出現(xiàn)的情況；E3:將一枚硬幣連拋三次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù);E4:擲一顆骰子，觀察可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；E5:記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點(diǎn)擊次數(shù)；E6:在一批燈泡中任取一只，測其壽命;求隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間、樣本點(diǎn)第16頁/共76頁

E1

拋擲一硬幣兩次的正反面情況

樣本空間Ω1

={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}第1次第2次(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):在每次試驗(yàn)中必有一個(gè)且僅有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)第17頁/共76頁E2連拋三次的正反面情況Ω2

={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(T,H,H),(T,T,H),(T,H,T),(H,T,T),(T,T,T)}E3連拋三次的正面次數(shù)Ω3

={0,1,2,3}樣本點(diǎn)與樣本空間是根據(jù)試驗(yàn)的內(nèi)容(目的)確定的！第18頁/共76頁E6

測試某燈泡的壽命樣本點(diǎn)是一非負(fù)數(shù)，由于不能確知壽命的上界，所以可以認(rèn)為任一非負(fù)實(shí)數(shù)都是一個(gè)可能結(jié)果：Ω6={t

：t≥0｝第19頁/共76頁二、隨機(jī)事件試驗(yàn)的結(jié)果，即在試驗(yàn)中可能出現(xiàn)或可能不出現(xiàn)的情況稱為“隨機(jī)事件”,簡稱“事件”，用大寫字母A、B、C等表示稱事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)（發(fā)生）由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的事件稱基本事件任何事件均可表示為樣本空間的某個(gè)子集第20頁/共76頁必然事件、不可能事件

每次試驗(yàn)的結(jié)果中，一定發(fā)生的事件，稱必然事件一定不發(fā)生的事件，稱不可能事件

必然事件用Ω表示，不可能事件用表示，它們是特殊的隨機(jī)事件

任何事件發(fā)生時(shí)，不可能事件均不發(fā)生，所以不可能事件不包含任何樣本點(diǎn)，而必然事件包含所有樣本點(diǎn)第21頁/共76頁Ω={1,2,3,4,5,6｝擲一顆骰子一次，觀察點(diǎn)數(shù)事件B:出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)樣本點(diǎn)1,

3,

5中的某一個(gè)出現(xiàn)B={1,3,5｝“擲出點(diǎn)數(shù)小于7”是必然事件而“擲出點(diǎn)數(shù)8”則是不可能事件第22頁/共76頁三、隨機(jī)事件的關(guān)系及運(yùn)算包含關(guān)系

“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”，記為AB。（即：A的樣本點(diǎn)都是B的樣本點(diǎn)）

A＝B

AB且BA.相等第23頁/共76頁和事件“事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生，記作

隨機(jī)事件的關(guān)系及運(yùn)算第24頁/共76頁例8.Page4.第25頁/共76頁積事件：“事件A與B同時(shí)發(fā)生”,記作或

隨機(jī)事件的關(guān)系及運(yùn)算第26頁/共76頁互不相容事件（互斥的事件）如果事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生，即

，則稱事件A與B互不相容(互斥).基本事件是兩兩互不相容的.A與B沒有公共的樣本點(diǎn)隨機(jī)事件的關(guān)系及運(yùn)算第27頁/共76頁差事件A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B不發(fā)生。思考：何時(shí)A-B=

?何時(shí)A-B=A？隨機(jī)事件的關(guān)系及運(yùn)算第28頁/共76頁對立事件(互逆事件)對事件A,B，若滿足

，則稱事件A與B互為逆事件或?qū)α⑹录?注意:對立事件必互斥；但互斥的事件未必為對立事件。隨機(jī)事件的關(guān)系及運(yùn)算第29頁/共76頁例9.Page5.第30頁/共76頁完備事件組第31頁/共76頁事件的運(yùn)算規(guī)律特別記：摩根律事件間的關(guān)系與運(yùn)算與集合的關(guān)系與運(yùn)算是完全相似的，運(yùn)算規(guī)律也是完全相似的但要注意，應(yīng)該用概率論的語言來解釋這些關(guān)系及運(yùn)算，并且會用這些運(yùn)算關(guān)系來表示一些復(fù)雜的事件第32頁/共76頁設(shè)A,B,C是三個(gè)事件，則1）三個(gè)事件至少發(fā)生一個(gè):2）三個(gè)事件都不發(fā)生:3）A發(fā)生而B與C不發(fā)生:4）三個(gè)事件至少有一個(gè)不發(fā)生:（等價(jià)：三個(gè)事件不都發(fā)生）事件的運(yùn)算規(guī)律第33頁/共76頁例10.Page6.例11.Page6.第34頁/共76頁主要概念概率論、隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間、樣本點(diǎn)事件：隨機(jī)、不可能、必然包含、和、差、積互斥事件、互逆事件完備事件組、摩根律第35頁/共76頁1.2概率

研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量

事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！第36頁/共76頁

對一個(gè)隨機(jī)事件A，我們用一個(gè)數(shù)P(A)來表示A發(fā)生的可能性大小，稱之為隨機(jī)事件A的概率

那么，怎么來規(guī)定P(A)的大小呢？

什么是概率第37頁/共76頁頻率定義隨機(jī)事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生m次,稱比值m/n稱為隨機(jī)事件A的頻率,記為W(A).

頻率和概率的統(tǒng)計(jì)定義任何隨機(jī)事件A的頻率是介于0和1之間的一個(gè)數(shù)

第38頁/共76頁當(dāng)試驗(yàn)重復(fù)多次時(shí)，事件A發(fā)生的頻率具有一定的穩(wěn)定性，次數(shù)充分大時(shí)頻率在一個(gè)數(shù)附近擺動(dòng)。頻率和概率的統(tǒng)計(jì)定義第39頁/共76頁拋擲勻質(zhì)硬幣出現(xiàn)正反面的機(jī)會在0.5左右

實(shí)驗(yàn)者

n

nH

fn(H)DeMorgan204810610.5181

Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005頻率和概率的統(tǒng)計(jì)定義第40頁/共76頁根據(jù)上述頻率穩(wěn)定性的討論，似乎可以提出這樣的猜想，即當(dāng)n足夠大時(shí)，W(A)與P(A)應(yīng)充分接近，這就是所謂的概率的統(tǒng)計(jì)定義。

概率的統(tǒng)計(jì)定義：隨機(jī)事件A在試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的介于0與1之間的數(shù)叫做隨機(jī)事件A的概率，記作P(A)。頻率和概率的統(tǒng)計(jì)定義第41頁/共76頁概率的（公理化）定義隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω，對隨機(jī)事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，滿足下列三個(gè)公理：

(1)非負(fù)性(2)規(guī)范性(3)可加性則稱P(A)為事件A的概率第42頁/共76頁概率的性質(zhì)性質(zhì)1

性質(zhì)2(有限可加性)第43頁/共76頁性質(zhì)3證明由可加性知,移項(xiàng)即得結(jié)論.概率的性質(zhì)第44頁/共76頁2.對任意事件A,有若沒有條件則有“減法”公式概率的性質(zhì)第45頁/共76頁性質(zhì)3*(逆事件的概率)證明對任何事件A,有Ａ由規(guī)范性及可加性，

概率的性質(zhì)第46頁/共76頁性質(zhì)4(加法公式)證明對任意兩事件A,B,有由性質(zhì)3得

Ω第47頁/共76頁推廣:三個(gè)事件的加法公式證明留作思考.一般地,第48頁/共76頁ΩBABA知識點(diǎn)：加法公式、減法公式、摩根律第49頁/共76頁ΩBABA知識點(diǎn)：加法公式、減法公式、摩根律第50頁/共76頁頻率、概率三個(gè)公理四條性質(zhì)第51頁/共76頁沒有什么可怕的東西，只有需要理解的東西。第52頁/共76頁§3古典概型與幾何概型*假定某個(gè)試驗(yàn)有有限個(gè)可能的結(jié)果，記：假定從該試驗(yàn)的條件及實(shí)施方法上去分析，我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果例如ei

，比任一其它結(jié)果，例如ej

，更有優(yōu)勢，則我們只好認(rèn)為所有結(jié)果在試驗(yàn)中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會，即1/N的出現(xiàn)機(jī)會e1,e2,…，eN

,一、古典概型（等可能概型）第53頁/共76頁常常把這樣的試驗(yàn)結(jié)果稱為“等可能的”.e1,e2,…，eN

試驗(yàn)結(jié)果（有限個(gè)）你認(rèn)為哪個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性大？第54頁/共76頁23479108615

例如，一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的球.將球編號為1－10.把球攪勻，閉上眼睛，從中任取一球.

因?yàn)槌槿r(shí)這些球是完全平等的，我們沒有理由認(rèn)為10個(gè)球中的某一個(gè)會比另一個(gè)更容易取得.也就是說，10個(gè)球中的任一個(gè)被取出的機(jī)會是相等的，均為1/10.

第55頁/共76頁例1.Page10.例2.Page10.第56頁/共76頁稱這種試驗(yàn)為古典概型(或等可能概型).

若隨機(jī)試驗(yàn)滿足下述兩個(gè)條件：

(1)它的樣本空間只有有限多個(gè)樣本點(diǎn)；

(2)每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同.稱此概率為古典概率.這種確定概率的方法稱為古典方法

.第57頁/共76頁求概率問題轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問題

.排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具.基本計(jì)數(shù)原理1.加法原理設(shè)完成一件事有m類方式，第一類方式有n1種方法，第二類方式有n2種方法,…；

第m類方式有nm種方法,則完成這件事總共有n1+n2+…+nm

種方法.一步完成第58頁/共76頁例如，某人要從甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火車,也可以乘輪船.火車有兩班輪船有三班乘坐不同班次的火車和輪船，共有幾種方法?3

+2

種方法回答是第59頁/共76頁基本計(jì)數(shù)原理則完成這件事共有種不同的方法.2.乘法原理設(shè)完成一件事有m個(gè)步驟，第一個(gè)步驟有n1種方法，第二個(gè)步驟有n2種方法,…；

第m個(gè)步驟有nm種方法,多步完成

例如,A地到B地有兩種走法,B地到C地有三種走法,C地到D地有四種走法,則A地到D地共有種走法.第60頁/共76頁例39.Page11-13第61頁/共76頁特別,k=n時(shí)稱全排列排列、組合的定義及計(jì)算公式1、排列:從n個(gè)元素中取k個(gè)不同元素的排列數(shù)為：階乘

若允許重復(fù),則從n個(gè)元素中取k個(gè)元素的排列數(shù)為：注意第62頁/共76頁2、組合:從n個(gè)元素中取k個(gè)元素的組合數(shù)為：推廣:n個(gè)元素分為s組，各組元素?cái)?shù)目分別為r1,r2,…,rs的分法總數(shù)為第63頁/共76頁例1

口袋中有個(gè)標(biāo)有數(shù)字：1，1，2，2，2，3，3，3的乒乓球,從中隨機(jī)地取3個(gè),求這3個(gè)球上的數(shù)字之和為6的概率。古典概率計(jì)算舉例事件包含基本事件數(shù):分析：（用列舉法）可能取法1，2，3或2,2,2第64頁/共76頁例2

設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.這是一種無放回抽樣,稱超幾何分布.次品正品M件次品N-M件正品解思考:若是有放回抽樣呢?第65頁/共76頁例3

全班有50個(gè)學(xué)生，問至少有2人生日相同的概率為多少？（設(shè)一年有365天）解事件總數(shù):有利場合數(shù):

概率之大有點(diǎn)出乎意料.從下表中看出,當(dāng)人數(shù)超過23時(shí)，打賭說至少有兩人同生日是有利的.第66頁/共76頁

人數(shù)至少有兩人同 生日的概率200.411210.444220.476230.507240.538300.70640