第四章

分解方法及單口網(wǎng)絡分解方法與單口網(wǎng)絡回顧前面我們學習了電路分析的基本方法：節(jié)點法、網(wǎng)孔法、割集法、回路法。要想利用這些方法完成電路分析：首先必須了解整個電路的基本結構，然后選擇合適的割集或回路，最好按照基本規(guī)律列寫相應的方程。上述方法雖然可行，但在某些情況下卻并非最好的選擇：當電路的結構十分復雜且元件眾多時：將導致方程過多當電路的內(nèi)部情況不明時：上述方法不再適用。例如：P98練習題44N是一個內(nèi)不情況不明的網(wǎng)絡，在此，我們利用了線性電路的齊次定理和疊加定理來完成該題；事實上，我們即使知道了N的內(nèi)部結構，也完全不必去關注它，而只需要把N內(nèi)部的元件看作是一個整體來解決即可。分解方法與單口網(wǎng)絡

單口網(wǎng)絡：只有兩個端鈕與其它電路相連接的網(wǎng)絡，稱為二端網(wǎng)絡。當強調(diào)二端網(wǎng)絡的端口特性，而不關心網(wǎng)絡內(nèi)部的情況時，稱二端網(wǎng)絡為單口網(wǎng)絡，簡稱為單口(One-port)。任何一個網(wǎng)絡都可以分解為兩個單口網(wǎng)絡的組合本章我們要研究的對象就是類似N這樣的一個網(wǎng)絡。分解方法與單口網(wǎng)絡§4-1分解的基本步驟§4-2單口網(wǎng)絡的伏安關系§4-3單口網(wǎng)絡的置換——置換定理§4-4單口網(wǎng)絡的等效電路§4-5一些簡單的等效規(guī)律和公式§4-6戴維南定理§4-7諾頓定理§4-8最大功率傳遞定理§4-9T型網(wǎng)絡和∏型網(wǎng)絡的等效變換分解方法與單口網(wǎng)絡§4-1分解的基本步驟

對于一個復雜的電路而言，如何把它進行分解，以及如何利用分解后的單口網(wǎng)絡解決問題呢？我們先看一個簡單的例子:ab–+UsIRUN1N2由N1得：U=US

N1網(wǎng)絡的VAR

由N2得：U=RI

N2網(wǎng)絡的VAR

求解a,b處的電壓和電流有兩種方法：1）聯(lián)立求解方程；2）在U---i平面上作出兩個曲線，兩直線的交點即為a,b處的電壓和電流分解方法與單口網(wǎng)絡

當兩個單口網(wǎng)絡的端口電壓和端口電流求得之后，我們就可以進一步求解網(wǎng)絡內(nèi)部的支路電壓和電流，而不必考慮另一網(wǎng)絡的影響，就好像另一網(wǎng)絡不存在一樣，這實際上就簡化了電路結構。

分解方法處理電路的最重要兩點是：1）如何分解網(wǎng)絡;

原則上是任意的，但對于具體的電路，劃分往往是既定的。2）求取網(wǎng)絡的VAR。分解方法與單口網(wǎng)絡N1N2acbdIN1N2acbd分解組成單口網(wǎng)絡的特性由網(wǎng)絡端口端電壓與端電流的關系來表征，稱伏安關系。

只有兩個端鈕與其它電路相連接的網(wǎng)絡，叫單口網(wǎng)絡。§4-2單口網(wǎng)絡的伏安關系分解方法與單口網(wǎng)絡

首先，我應該明確以下基本概念：1.元件的VAR是由元件本身性質(zhì)決定的，和外電路無關。2.一個明確的單口網(wǎng)絡的伏安關系同樣是由該單口網(wǎng)絡的本身性質(zhì)決定，與外電路無關。3.明確的單口網(wǎng)絡：如果在單口網(wǎng)絡中不含有任何能通過電或非電的方式與網(wǎng)絡之外的某些變量相耦合的元件，即，單口網(wǎng)絡除端鈕處外與外界沒有任何聯(lián)系，則稱該單口網(wǎng)絡是明確的。我們通過具體的例題說明單口網(wǎng)伏安關系的求取方法。分解方法與單口網(wǎng)絡例4-1求圖示單口網(wǎng)絡的VAR。I111`10V520–X+IU解：法一：利用前面所學知識直接求解U和I聯(lián)立解得：法二：外施激勵法.1)外施電壓源求電流；2）外施電流源求電壓。–+UsIs分解方法與單口網(wǎng)絡例4-2求含受控源單口網(wǎng)絡的VAR。–+UsIR1R2R3IsαIUs’+–U+–解：可直接由回路法求得：結論：含源單口網(wǎng)絡的VAR總可以寫成U=A+BI的形式。其中：A、B是由單口網(wǎng)絡內(nèi)部結構所確定的常量。B就是該網(wǎng)絡的等效電阻。分解方法與單口網(wǎng)絡例4-3含純電阻的單口網(wǎng)絡VAR總可以描述為U=BI的形式。

B就是其等效電阻。usU+–111112132i解得：分解方法與單口網(wǎng)絡作業(yè)：4，5分解方法與單口網(wǎng)絡§4－2單口網(wǎng)絡的電壓電流關系

單口網(wǎng)絡：只有兩個端鈕與其它電路相連接的網(wǎng)絡，稱為二端網(wǎng)絡。當強調(diào)二端網(wǎng)絡的端口特性，而不關心網(wǎng)絡內(nèi)部的情況時，稱二端網(wǎng)絡為單口網(wǎng)絡，簡稱為單口(One-port)。

電阻單口網(wǎng)絡的特性由端口電壓電流關系(簡稱為VAR)來表征(它是u-i平面上的一條曲線)。N1N2等效VAR相同

等效單口網(wǎng)絡：當兩個單口網(wǎng)絡的VAR關系完全相同時，稱這兩個單口是互相等效的。分解方法與單口網(wǎng)絡

利用單口的等效來簡化電路分析：將電路中的某些單口用其等效電路代替時，不會影響電路其余部分的支路電壓和電流，但由于電路規(guī)模的減小，則可以簡化電路的分析和計算。

單口的等效電路：根據(jù)單口VCR方程得到的電路，稱為單口的等效電路。單口網(wǎng)絡與其等效電路的端口特性完全相同。一般來說，等效單口內(nèi)部的結構和參數(shù)并不相同，談不上什么等效問題。分解方法與單口網(wǎng)絡一、線性電阻的串聯(lián)和并聯(lián)1．線性電阻的串聯(lián)

兩個二端電阻首尾相聯(lián)，各電阻流過同一電流的連接方式，稱為電阻的串聯(lián)。圖(a)表示n個線性電阻串聯(lián)形成的單口網(wǎng)絡。分解方法與單口網(wǎng)絡用2b方程求得端口的VAR方程為其中

上式表明n個線性電阻串聯(lián)的單口網(wǎng)絡，就端口特性而言，等效于一個線性二端電阻，其電阻值由上式確定。分解方法與單口網(wǎng)絡2．線性電阻的并聯(lián)

兩個二端電阻首尾分別相聯(lián)，各電阻處于同一電壓下的連接方式，稱為電阻的并聯(lián)。圖(a)表示n個線性電阻的并聯(lián)。分解方法與單口網(wǎng)絡

求得端口的VAR方程為其中

上式表明n個線性電阻并聯(lián)的單口網(wǎng)絡，就端口特性而言，等效于一個線性二端電阻，其電導值由上式確定。

兩個線性電阻并聯(lián)單口的等效電阻值，也可用以下公式計算分解方法與單口網(wǎng)絡3．線性電阻的串并聯(lián)

由若干個線性電阻的串聯(lián)和并聯(lián)所形成的單口網(wǎng)絡，就端口特性而言，等效于一個線性二端電阻，其等效電阻值可以根據(jù)具體電路，多次利用電阻串聯(lián)和并聯(lián)單口的等效電阻公式(2－l)和(2－2)計算出來。分解方法與單口網(wǎng)絡例2-l電路如圖2-3(a)所示。

已知R1=6,R2=15，R3=R4=5。

試求ab兩端和cd兩端的等效電阻。

為求Rab，在ab兩端外加電壓源，根據(jù)各電阻中的電流電壓是否相同來判斷電阻的串聯(lián)或并聯(lián)。圖2－3分解方法與單口網(wǎng)絡5510156612分解方法與單口網(wǎng)絡

顯然，cd兩點間的等效電阻為1555分解方法與單口網(wǎng)絡二、獨立電源的串聯(lián)和并聯(lián)

根據(jù)獨立電源的VCR方程和KCL、KVL方程可得到以下公式：1．n個獨立電壓源的串聯(lián)單口網(wǎng)絡，如圖2-4(a)所示，就端口特性而言，等效于一個獨立電壓源，其電壓等于各電壓源電壓的代數(shù)和圖2－4分解方法與單口網(wǎng)絡

其中與uS參考方向相同的電壓源uSk取正號，相反則取負號。圖2－4分解方法與單口網(wǎng)絡2.n個獨立電流源的并聯(lián)單口網(wǎng)絡，如圖2-5(a)所示，就端口特性而言，等效于一獨立電流源，其電流等于各電流源電流的代數(shù)和

與iS參考方向相同的電流源iSk取正號，相反則取負號。圖2－5分解方法與單口網(wǎng)絡

就電路模型而言，兩個電壓完全相同的電壓源才能并聯(lián)；兩個電流完全相同的電流源才能串聯(lián)，否則將違反KCL、KVL和獨立電源的定義。發(fā)生這種情況的原因往往是模型設置不當，而需要修改電路模型。分解方法與單口網(wǎng)絡例2-2圖2-6(a)電路中。已知uS1=10V,uS2=20V,uS3=5V,

R1=2,R2=4,R3=6和RL=3。

求電阻RL的電流和電壓。圖2－6分解方法與單口網(wǎng)絡

將三個串聯(lián)的電阻等效為一個電阻，其電阻為

由圖(b)電路可求得電阻RL的電流和電壓分別為：解:為求電阻RL的電壓和電流，可將三個串聯(lián)的電壓源等

效為一個電壓源，其電壓為圖2－6分解方法與單口網(wǎng)絡例2-3電路如圖2-7(a)所示。已知iS1=10A,iS2=5A,iS3=1A,

G1=1S,

G2=2S和G3=3S，求電流i1和i3。圖2－7分解方法與單口網(wǎng)絡解：為求電流i1和i3，可將三個并聯(lián)的電流源等效為一個電

流源，其電流為

得到圖(b)所示電路，用分流公式求得：圖2－7分解方法與單口網(wǎng)絡三、含獨立電源的電阻單口網(wǎng)絡

一般來說，由一些獨立電源和一些線性電阻元件組成的線性電阻單口網(wǎng)絡，就端口特性而言，可以等效為一個線性電阻和電壓源的串聯(lián)，

或者等效為一個線性電阻

和電流源的并聯(lián)。可以通

過計算端口VCR方程，得

到相應的等效電路。分解方法與單口網(wǎng)絡例2-4圖2-8(a)單口網(wǎng)絡中。已知uS=6V，iS=2A，R1=2,

R2=3。

求單口網(wǎng)絡的VCR方程,并畫出單口的等效電路。圖2－8分解方法與單口網(wǎng)絡解：在端口外加電流源i，寫出端口電壓的表達式

其中:

根據(jù)上式所得到的單口等效電路是電阻Ro和電壓源uOC的串聯(lián)，如圖(b)所示。圖2－8分解方法與單口網(wǎng)絡例2－5圖2-9(a)單口網(wǎng)絡中,已知uS=5V,iS=4A,G1=2S,G2=3S。

求單口網(wǎng)絡的VAR方程,并畫出單口的等效電路。解:在端口外加電壓源u，用2b

方程寫出端口電流的表達式為

其中:

根據(jù)上式所得到的單口等效電路是電導Go和電流源iSC的并聯(lián)，如圖(b)所示。圖2－914A5S分解方法與單口網(wǎng)絡例2-6求圖2－10(a)和(c)所示單口的VCR方程，并畫出單

口的等效電路。

解：圖(a)所示單口的VCR方程為

根據(jù)電壓源的定義，該單口網(wǎng)絡的等效電路是一個電壓為uS的電壓源，如圖(b)所示。圖2－10圖2－10分解方法與單口網(wǎng)絡

圖(c)所示單口VCR方程為

根據(jù)電流源的定義，該單口網(wǎng)絡的等效電路是一個電流為iS的電流源，如圖(d)所示。圖2－10分解方法與單口網(wǎng)絡四、含源線性電阻單口兩種等效電路的等效變換

相應的兩種等效電路，如圖(a)和(c)所示。

含源線性電阻單口可能存在兩種形式的VAR方程，即式(2-7)改寫為分解方法與單口網(wǎng)絡

單口網(wǎng)絡兩種等效電路的等效變換可用下圖表示。

令式(2－6)和(2－8)對應系數(shù)相等，可求得等效條件為分解方法與單口網(wǎng)絡例2－7用電源等效變換求圖2-12(a)單口網(wǎng)絡的等效電路。將電壓源與電阻的串聯(lián)等效變換為電流源與電阻的并聯(lián)。將電流源與電阻的并聯(lián)變換為電壓源與電阻的串聯(lián)等效。圖2－12分解方法與單口網(wǎng)絡五、用單口等效電路簡化電路分析圖2－13

假如圖2-13(a)所示電路N能分解為圖2-13(b)所示的兩個單口網(wǎng)絡的連接，就可以用單口的等效電路來代替單口Nl(或N2)，使電路的支路數(shù)和結點數(shù)減少，從而簡化電路分析。分解方法與單口網(wǎng)絡

由于單口與其等效電路的VCR方程完全相同，這種代替不會改變電路其余部分N2(或Nl)的電壓和電流。

當僅需求解電路某一部分的電壓和電流時，常用這種方法來簡化電路分析?，F(xiàn)舉例加以說明。圖2－13分解方法與單口網(wǎng)絡

例2－8求圖2-14(a)電路中電流i

。解：可用電阻串并聯(lián)公式化簡電路。

具體計算步驟如下：先求出3和1電阻串聯(lián)再與4電阻并聯(lián)的等效電阻Rbd

圖2－14分解方法與單口網(wǎng)絡

得到圖(b)電路。再求出6和2電阻串聯(lián)再與8并聯(lián)的等效電阻Rad

得到圖(c)電路。由此求得電流分解方法與單口網(wǎng)絡例2－9求圖2-15(a)電路中電流i。解：用電源等效變換公式，將電壓源與電阻串聯(lián)等效變換為

電流源與電導并聯(lián)，得到圖(b)電路。用分流公式求得圖2－15分解方法與單口網(wǎng)絡

例2－10求圖2-16(a)電路中電壓u。(2)再將電流源與電阻并聯(lián)等效為一個電壓源與電阻串聯(lián)，得到圖(c)所示單回路電路。由此求得解：(1)將1A電流源與5電阻的串聯(lián)等效為1A電流源。20V

電壓源與10電阻并聯(lián)等效為20V電壓源，得到圖(b)電路。圖2－16分解方法與單口網(wǎng)絡§4-3單口網(wǎng)絡的置換——置換定理一、置換定理:

在任意網(wǎng)絡(線性或非線性)中,若某一支路的電壓為u,電流為i，則該支路可以用以下3種元件中的任意一種來替代，而不影響網(wǎng)絡的其它電壓和電流。亦稱替代定理。電壓為u的電壓源；或電流為i的電流源；阻值為U/I的電阻。前面已經(jīng)講過，當獲得單口網(wǎng)絡的VAR后，就可以聯(lián)立求解（或曲線相交），求得端口處的電壓和電流，從而進一步求出單口網(wǎng)絡的內(nèi)部支路電壓和電流。單口網(wǎng)絡中的支路電壓和電流如何求取？置換定理就解決這一問題的。分解方法與單口網(wǎng)絡圖（b）電壓源置換電壓極性相同 圖（c)電流源置換電流方向相同置換定理的價值在于：一旦網(wǎng)絡中某支路電壓或電流成為已知量時，則可用一個獨立源來置換該支路或單口網(wǎng)絡NL，從而簡化電路的分析與計算。置換定理對單口網(wǎng)絡NL并無特殊要求，它可以是非線性電阻單口網(wǎng)絡和非電阻性的單口網(wǎng)絡。分解方法與單口網(wǎng)絡

例1：求圖示電路在I=2A時，20V電壓源發(fā)出的功率。

解：用2A電流源替代電阻Rx和單口網(wǎng)絡N2

列出網(wǎng)孔方程：

求得：分解方法與單口網(wǎng)絡

例2：圖(a)電路中，已知電容電流iC(t)=2.5e-tA，用

置換定理求i1(t)和i2(t)分解方法與單口網(wǎng)絡解：圖(a)電路中包含一個電容，它不是一個電阻電路。用

電流為iC(t)=2.5e-tA的電流源置換電容，得到圖(b)所示

線性電阻電路，用疊加定理求得：分解方法與單口網(wǎng)絡例3：圖(a)電路中g=2S。試求電流I。解：先用分壓公式求受控源控制變量U

用電流為gU=12A的電流源置換受控電流源，得到圖(b)電路，該電路不含受控電源，可以用疊加定理求得電流為分解方法與單口網(wǎng)絡§4-4單口網(wǎng)絡的等效電路

分解方法與單口網(wǎng)絡

§4－4單口網(wǎng)絡的等效電路從戴維寧-諾頓定理的學習中知道，含源線性電阻單口網(wǎng)絡可以等效為一個電壓源和電阻的串聯(lián)或一個電流源和電阻的并聯(lián)[圖(b)和(c)]。只要能計算出確定的uoc,isc和Ro[圖(d)、(e)、(f)]，就能求得這兩種等效電路。（圖見下頁）分解方法與單口網(wǎng)絡圖4－211.計算開路電壓uoc的一般方法是將單口網(wǎng)絡的外部負載斷開，用網(wǎng)絡分析的任一種方法，算出端口電壓uoc。如圖4－21(d)所示。分解方法與單口網(wǎng)絡圖4－212.計算isc的一般方法是將單口網(wǎng)絡從外部短路，用網(wǎng)絡分析的任一種方法，算出端口的短路電流isc，如圖4－21(e)所示。分解方法與單口網(wǎng)絡3.計算Ro的一般方法是將單口網(wǎng)絡內(nèi)全部獨立電壓源用短路代替，獨立電流源用開路代替得到單口網(wǎng)絡No，再用外加電源法或電阻串并聯(lián)公式計算出電阻Ro，如圖4－21(f)所示。還可以利用以下公式從uoc,isc和Ro中任兩個量求出第三個量：分解方法與單口網(wǎng)絡例4－15求圖4-22(a)所示單口的戴維寧-諾頓等效電路。解：為求uoc，設單口開路電壓uoc的參考方向由a指向b，

如圖(a)所示。注意到i=0，由KVL求得圖4－22分解方法與單口網(wǎng)絡

為求isc,將單口短路，并設isc的參考方向由a指向b，如圖(b)所示。圖4－22分解方法與單口網(wǎng)絡

為求Ro，將單口內(nèi)的電壓源用短路代替，得到圖(c)電路，用電阻并聯(lián)公式求得

根據(jù)所設uoc和isc的參考方向及求得的uoc=4V,isc=0.5A,

Ro=8，可得到圖(d)和(e)所示的戴維寧等效電路和諾頓等效電路。分解方法與單口網(wǎng)絡

本題可以只計算uoc、isc

和Ro中的任兩個量，另一個可用式(4－10)計算出來。例如uoc=Roisc=80.5V=4V

isc=uoc/Ro=4V/8=0.5ARo=uoc/isc=4V/0.5A=8分解方法與單口網(wǎng)絡例4-16

圖4-23(a)表示某低頻信號發(fā)生器。現(xiàn)用示波器或高內(nèi)阻交流電壓表測得儀器輸出的正弦電壓幅度為1V。當儀器端接900負載電阻時，輸出電壓幅度降為0.6V，如圖(b)所示。

(l)試求信號發(fā)生器的輸出特性和電路模型；

(2)已知儀器端接負載電阻RL時的電壓幅度為0.5V，求電阻RL。圖4－23分解方法與單口網(wǎng)絡解：(l)就該信號發(fā)生器的輸出特性而言，可視為一個含源

電阻單口網(wǎng)絡，在線性工作范圍內(nèi)，可以用一個電壓

源與線性電阻串聯(lián)電路來近似模擬，儀器端接負載電

阻RL時的電壓為分解方法與單口網(wǎng)絡

代入已知條件可求得電阻Ro

上式可改寫為

該信號發(fā)生器的電路模型為1V電壓源與600電阻的串聯(lián)。(2)由式(4－11)可求得輸出電壓幅度為0.5V時的負載電阻分解方法與單口網(wǎng)絡

實際上，許多電子設備，例如音響設備，無線電接收機，交、直流電源設備，信號發(fā)生器等，在正常工作條件下，就負載而言，均可用戴維寧—諾頓電路來近似模擬。

此例指出了求含源線性電阻單口網(wǎng)絡輸出電阻Ro的一種簡單方法，即在這些設備的輸出端接一個可變電阻器(如電位器)，當負載電壓降到開路電壓一半時，可變電阻器的阻值就是輸出電阻。分解方法與單口網(wǎng)絡

最后還要說明的一個問題是：并非任何含源線性電阻單口網(wǎng)絡都能找到戴維寧—諾頓等效電路。一般來說，外加電流源具有惟一解的單口存在戴維寧等效電路；外加電壓源具有惟一解的單口存在諾頓等效電路。某些含受控源的單口網(wǎng)絡外加電壓源和電流源時均無惟一解(無解或無窮多解)，它們就既無戴維寧等效電路，又無諾頓等效電路。分解方法與單口網(wǎng)絡

例如圖(a)所示單口網(wǎng)絡，其端口電壓和電流均為零，即u=i=0，其特性曲線是u-i平面上的坐標原點，如圖(b)所示。該單口不存在戴維寧等效電路和諾頓等效電路。分解方法與單口網(wǎng)絡§4-5一些簡單的等效規(guī)律和公式分解方法與單口網(wǎng)絡§4－5一些簡單的等效規(guī)律和公式

利用求出VCR的方法來解決單口網(wǎng)絡的等效電路問題自然是最根本的途徑，因為它是直接由等效電路的定義得出的。但在某些情況下，可以直接使用由此得出一些結論和公式，而不必每次都從外施電源求VCR著手，這樣往往能迅速地解決問題。求串聯(lián)電阻的等效電阻公式便是大家早已熟悉的；例子。為此研究一些簡單的單口網(wǎng)絡，它們是有電壓源、電流源和電阻等三種元件中每次取兩個元件作竄連或并聯(lián)組成的，共計十二種情況。至于含受控源的單口，即便結構簡單，一般也需以內(nèi)感外施電源求VCR的方法來處理，并無公式可以直接套用。（1）兩電壓源串聯(lián)設一單口網(wǎng)絡由兩電壓源串聯(lián)組成，如圖4-22（a）

分解方法與單口網(wǎng)絡所示，在任何外接電路下，都可得到

u=us1+us2對所有電流i（4-16）這一VCR可與圖（b）所示單個電壓源的VCR完全一致，只要該電壓源的電壓

us=us1+us2（4-17）因此，今后在遇到圖（a）所示電路時，可直接運用（4-17）式求得其等效電路如圖（b）所示。ius1us2+-+-+-uius-++-u（a）（b）圖4-22兩電壓源的串聯(lián)及其等效電路分解方法與單口網(wǎng)絡

（4-17）式不難推廣到幾個電壓源各種不同極性相串聯(lián)的情況。（2）兩電壓源并聯(lián)電壓源的并聯(lián)一般都將違背KVL，因而是不可能的，只有如圖4-23（a）所示相同電壓源作極性一致的并聯(lián)才是允許的，此時其等效電路即為其中任一電壓源[圖（b）]。ius-++-u（a）（b）圖4-23兩相同電壓源的并聯(lián)及其等效電路ius-++-uus+-分解方法與單口網(wǎng)絡

（3）兩電壓源并聯(lián)兩電流源is1和is2作如圖4-24（a）所示并聯(lián)，其等效電路為一個電流源，其值為

is=is1+is2對所有電壓u（4-18）論證與（1）相似。（4）兩電流源的串聯(lián)電流源的串聯(lián)一般都將違背KCL，只有在電流源的電流都相等且方向一致時，串聯(lián)才是允許的，此時其等效電路即為其中任一電流源（圖4-25）。（5）兩電阻的串聯(lián)兩電阻R1和R2串聯(lián)，其等效電路為圖請見下頁：分解方法與單口網(wǎng)絡iis+-uiis+-uis圖4-24兩電流源的并聯(lián)及其等效電路（a）（b）iis+-uiis+-uis（a）（b）圖4-24兩相同電流源的串聯(lián)及其等效電路分解方法與單口網(wǎng)絡R=R1+R2（4-19）的電阻。這是大家早已熟知的結果。（6）兩電阻的并聯(lián)兩電阻R1和R2并聯(lián)，其等效電路為

R=R1R2/（R1+R2）（4-20）的電阻。這是大家早已熟知的結果。（7）電壓源與電流源的并聯(lián)（8）電壓源與電阻的并聯(lián)這兩種情況可歸結為圖4-26（a）所示電路，其中N‘可為電流源或電阻。這一單口網(wǎng)絡的VCR是

u=us對所有的電流i（4-21）這是因為N’的存在與否并不能影響端口電壓的大小，端口電壓總等于電壓源的電壓。N‘的存在雖然會使電壓源的電流有所改變，但由于電壓源的電流可為任意值，因分解方法與單口網(wǎng)絡此端口電流也仍為任意值。因此，圖（a）所示單口網(wǎng)絡的等效電路當如圖（b）所示，亦即等效電路就是電壓本身！從端口等效的觀點，N’稱為多余（redundant）元件。N‘不一定只是一個電流源或是一個電阻。與電壓源并聯(lián)的單口網(wǎng)絡，從等效的觀點來看，都是多余的，例如（2）中所述的電壓源并聯(lián)的另一個相同電壓的電壓源即屬此種情況。（9）電流源與電壓源的串聯(lián)（10）電流源與電阻的串聯(lián)這兩種情況可歸結為圖4-27（a）所示電路。根據(jù)（7）（8）情況討論中類似的理由，與電流源串聯(lián)的元件或單口網(wǎng)絡，從端口等效觀點來看，是多余的。圖（a）所示單口網(wǎng)絡的等效電路就是電流源本身，如圖（b）所示。分解方法與單口網(wǎng)絡

（11）電壓源與電阻的串聯(lián)（12）電流源與電阻的并聯(lián)這兩種情況也可合并討論。以上已討論過的十種情況其等效電路都只含一個元件，也就是說，以上所述的電路都可以進行簡化，用一個元件來代替原來電路而VCR不變。目前所述的這兩種含兩元件的電路卻都是無法再進行化簡的。但它們卻具有另一特點，這就是：滿足一定的條件，它們可以互為等效電路，亦即它們可以互相替換而保持VCR不變。ius-++-uabiRais+-ubR’（a）（b）圖4-28（a）電壓源串聯(lián)電阻電路（b）電流源并聯(lián)電阻電路

分解方法與單口網(wǎng)絡

為說明這一點，先分別寫出這兩種情況電路的VCR。由4-28（a）可知電壓源串聯(lián)電阻電路的VCR為

u=us-Ri（4-22）由圖4-28（b）可知電流源并聯(lián)電阻電路的VCR為

i=is-（u/R‘）（4-23）為便于和（4-22）比較，（4-23）式可改寫為

u=R‘is-iR‘

（4-24）比較（4-22）、（4-24）兩式，顯然，如果滿足如下條件：

R=R’

（4-25）

us=R‘is或is-=us/R‘

（4-26）兩個VCR式完全相同，亦即這兩電路是等效的。圖4-29表明根據(jù)（4-25）（4-26）兩公式對圖4-28所示兩電路進行的等效變換。請注意互換時電壓源電壓的極性與電流源電流的方向的關系。還請注意，兩電路中R是一樣的，分解方法與單口網(wǎng)絡但連接方式不同。在電路分析中，圖4-29所示等效變換是很有用的，必須很好掌握。iusab-++-uRaUs/R+-ubRaisb+-uRiRis-++-uaR圖4-29圖4-28兩電路的等效變換（a）（b）分解方法與單口網(wǎng)絡

圖4-28所示兩電路可用作實際電源的模型，當實際電源的內(nèi)阻不能忽略，因而不能只用電壓源或電流源作為模型時便可采用，此時圖中的R表示電源的內(nèi)阻。采用哪一種模型都是可以的，它們各自從不同的角度反映實際電源對外的表現(xiàn)采用圖（a）所示的模型，電源是用參數(shù)us和R來表征的，是從對外提供的電流來反映電源的表現(xiàn)；采用圖（b）所示模型電源是用is和R來表征的，是從對外提供的電流來反映電源的表現(xiàn)的。確實，當滿足等效條件（4-25）、（4-26）式時，圖4-28兩電路的VCR曲線將是如圖4-30中實線表示的同一直線（實際上是兩條VCR曲線的重疊），這條曲線近似反映了實際電源向外電路供電是因存在內(nèi)阻而引起的電源端電壓或電流的減少。從電壓角度看，由于內(nèi)阻的壓降（圖中用虛線段a表示）電源的端電壓將為u‘而不是us，u‘<us;從電流角度看,由分解方法與單口網(wǎng)絡于內(nèi)阻的分流(圖中用虛線段b表示)電源的端電流將為i’而不是is,i’<is.采用哪一種模型,實際上是想用(4-22)式還是用(4-23)式表征電源的問題.模型并不反映電源的內(nèi)部結構,兩種不同形式的電路模型只是為了正確反映(4-22)式或(4-23)式所需.uibausRisu’us/Risi’圖4-30滿足(4-25)(4-26)式時,圖4-28兩電路的伏安特性曲線}}分解方法與單口網(wǎng)絡例4-9重新求解例4-4，指定須利用N1和N2的等效電路求解端口處的電壓、電流。解求N1的等效電路，因含受控源無公式可供直接使用,仍需用外施電源法求得其VCR后得出（參看例4-2和例4-4）.由

u=28+16i可知在所示規(guī)定u和i的參考方向下,其等效電路如圖4-31所示至于N2的等效電路則可利用本節(jié)有關公式逐步化簡后求得其后求得,其過程如圖4-32所示.i5Ω+-10v20Ωu+-i20Ω5Ω2A+-分解方法與單口網(wǎng)絡由圖4-33所示等效電路可求得:i=(8-28)/(16+4)A=-1Au=28v+16Ωi=12v與例4-4中,求得的結果一致.

下一步驟為利用置換定理求解i1和u2,從略.i4Ω2A+-u圖4-32例4-4N2的等效電路i+-8v4Ω+-ui+++---28v8v4Ω16Ωu圖4-33利用等效電路求端口的u和i分解方法與單口網(wǎng)絡第一節(jié)電阻的串并聯(lián)等效變換法一、串聯(lián)電路R1R2Rnn個電阻串聯(lián)：+Un–+U1–+U2–+–R+U–串聯(lián)電路的分壓：二、并聯(lián)電路n個電阻并聯(lián)：+U

–R1R2RnR+U

–兩并聯(lián)電阻的分流：I1I2I分解方法與單口網(wǎng)絡三、串并聯(lián)電路例2-1求ab兩端口的等效電阻2244444accbcdacbd14244分解方法與單口網(wǎng)絡四、電路中的等電位點

指不改變電路連接關系，兩個或兩個以上節(jié)點相對于任一參考點具有相同電位的情況，可依據(jù)電路的對稱特點判斷。

由于等電位點之間電位差為0，電流為0，將它們斷開或短接均不影響電路計算。88522dabcc和d為等電位點8822abcd斷開c、d8822abcd短路c、dRab不變例：分解方法與單口網(wǎng)絡§4-6戴維南定理分解方法與單口網(wǎng)絡§4－6戴維南定理

由第二章已經(jīng)知道，含獨立電源的線性電阻單口網(wǎng)絡，可以等效為一個電壓源和電阻串聯(lián)單口網(wǎng)絡，或一個電流源和電阻并聯(lián)單口網(wǎng)絡。本章介紹的戴維寧定理和諾頓定理提供了求含源單口網(wǎng)絡兩種等效電路的一般方法，對簡化電路的分析和計算十分有用。這兩個定理是本章學習的重點。本節(jié)先介紹戴維南定理。分解方法與單口網(wǎng)絡

戴維寧定理：含獨立電源的線性電阻單口網(wǎng)絡N，就端口特性而言，可以等效為一個電壓源和電阻串聯(lián)的單口網(wǎng)絡[圖(a)]。電壓源的電壓等于單口網(wǎng)絡在負載開路時的電壓uoc；電阻Ro是單口網(wǎng)絡內(nèi)全部獨立電源為零值時所得單口網(wǎng)絡No的等效電阻[圖(b)]。圖4－6分解方法與單口網(wǎng)絡uoc

稱為開路電壓。Ro稱為戴維寧等效電阻。在電子電路中，當單口網(wǎng)絡視為電源時，常稱此電阻為輸出電阻，常用Ro表示；當單口網(wǎng)絡視為負載時，則稱之為輸入電阻，并常用Ri表示。電壓源uoc和電阻Ro的串聯(lián)單口網(wǎng)絡，稱為戴維寧等效電路。分解方法與單口網(wǎng)絡

當單口網(wǎng)絡的端口電壓和電流采用關聯(lián)參考方向時，其端口電壓電流關系方程可表為

戴維寧定理可以在單口外加電流源i，用疊加定理計算端口電壓表達式的方法證明如下。分解方法與單口網(wǎng)絡

在單口網(wǎng)絡端口上外加電流源i,根據(jù)疊加定理，端口電壓可以分為兩部分組成。一部分由電流源單獨作用(單口內(nèi)全部獨立電源置零)產(chǎn)生的電壓u’=Roi[圖(b)]，另一部分是外加電流源置零(i=0)，即單口網(wǎng)絡開路時，由單口網(wǎng)絡內(nèi)部全部獨立電源共同作用產(chǎn)生的電壓u”=uoc[圖(c)]。由此得到分解方法與單口網(wǎng)絡

此式與式(4－4)完全相同，這就證明了含源線性電阻單口網(wǎng)絡，在端口外加電流源存在惟一解的條件下，可以等效為一個電壓源uoc和電阻Ro串聯(lián)的單口網(wǎng)絡。

只要分別計算出單口網(wǎng)絡N的開路電壓uoc和單口網(wǎng)絡內(nèi)全部獨立電源置零(獨立電壓源用短路代替及獨立電流源用開路代替)時單口網(wǎng)絡No的等效電阻Ro，就可得到單口網(wǎng)絡的戴維寧等效電路。下面舉例說明。分解方法與單口網(wǎng)絡例4－5求圖4-8(a)所示單口網(wǎng)絡的戴維寧等效電路。

解：在單口網(wǎng)絡的端口上標明開路電壓uoc的參考方向，

注意到i=0，可求得圖4－8分解方法與單口網(wǎng)絡

將單口網(wǎng)絡內(nèi)1V電壓源用短路代替，2A電流源用開路代替，得到圖(b)電路，由此求得

根據(jù)uoc的參考方向，即可畫出戴維寧等效電路，如圖(c)所示。圖4－8分解方法與單口網(wǎng)絡例4－6求圖4-9(a)所示單口網(wǎng)絡的戴維寧等效電路。解；標出單口網(wǎng)絡開路電壓uoc的參考方向，用疊加定理求

得uoc為圖4－9分解方法與單口網(wǎng)絡

將單口網(wǎng)絡內(nèi)的2A電流源和電流源分別用開路代替，10V電壓源用短路代替，得到圖(b)電路，由此求得戴維寧等效電阻為

根據(jù)所設uoc的參考方向，得到圖(c)所示戴維寧等效電路。其uoc和Ro值如上兩式所示。圖4－9分解方法與單口網(wǎng)絡例4－7求圖4-10(a)單口網(wǎng)絡的戴維寧等效電路。圖4－10

解：uoc的參考方向如圖(b)所示。由于i=0，使得受控電流

源的電流3i=0，相當于開路，用分壓公式可求得uoc為分解方法與單口網(wǎng)絡

為求Ro，將18V獨立電壓源用短路代替，保留受控源，在a、b端口外加電流源i，得到圖(c)電路。通過計算端口電壓u的表達式可求得電阻Ro

圖4－10分解方法與單口網(wǎng)絡例4－8已知r=2，試求該單口的戴維寧等效電路。解：在圖上標出uoc的參考方向。先求受控源控制變量i1

求得開路電壓圖4－11分解方法與單口網(wǎng)絡

將10V電壓源用短路代替，保留受控源，得到圖(b)電路。由于5電阻被短路，其電流i1=0，致使端口電壓u=(2)i1=0，與i為何值無關。由此求得

這表明該單口等效為一個4V電壓源，如圖(c)所示。圖4－11分解方法與單口網(wǎng)絡

戴維寧定理在電路分析中得到廣泛應用。當只對電路中某一條支路或幾條支路(記為NL)的電壓電流感興趣時，可以將電路分解為兩個單口網(wǎng)絡NL與N1的連接，如圖(a)所示。用戴維寧等效電路代替更復雜的含源單口N1，不會影響單口NL(不必是線性的或電阻性的)中的電壓和電流。代替后的電路[圖(b)]規(guī)模減小，使電路的分析和計算變得更加簡單。注：網(wǎng)絡內(nèi)含有受控源等雙口耦合元件時，應將兩條支路

放在同一單口網(wǎng)絡內(nèi)。分解方法與單口網(wǎng)絡例4－9求圖4-13(a)所示電橋電路中電阻RL的電流i

。解：斷開負載電阻RL，得到圖(b)電路，用分壓公式求得圖4－13分解方法與單口網(wǎng)絡

將獨立電壓源用短路代替，得到圖(c)電路，由此求得

用戴維寧等效電路代替單口網(wǎng)絡，得到圖(d)電路，由此求得圖4－13分解方法與單口網(wǎng)絡

從用戴維寧定理方法求解得到的圖(d)電路和式(4－7)中，還可以得出一些用其它網(wǎng)絡分析方法難以得出的有用結論。例如要分析電橋電路的幾個電阻參數(shù)在滿足什么條件下，可使電阻RL中電流i為零的問題，只需令式(4－7)分子為零，即

由此求得

這就是常用的電橋平衡(i=0)的公式。根據(jù)此式可從已知三個電阻值的條件下求得第四個未知電阻之值。分解方法與單口網(wǎng)絡例4－10圖4-14(a)是MF—30型萬用電表測量電阻的電原

理圖。試用戴維寧定理求電表測量電阻時的電流I。圖4－14分解方法與單口網(wǎng)絡解：萬用電表可用來測量二端器件的直流電阻值。將被測

電阻接于電表兩端，其電阻值可根據(jù)電表指針偏轉的

角度，從電表的電阻刻度上直接讀出。為了便于測量

不同的電阻，其量程常分為R1,R10,R100,R1k等

檔，用開關進行轉換。圖(a)是一個含源線性電阻單口網(wǎng)絡，可用戴維寧定理來簡化電路分析。分解方法與單口網(wǎng)絡

式中Imax=US/Ro是電表短路(Rx=0)時指針滿偏轉的電流。

先將圖中虛線部分用一個2k電阻來模擬(當2.8k電位器的滑動端位于最上端時，它是10k和2.5k電阻的并聯(lián))。圖(b)是該電表的電路模型，可進一步簡化為圖(c)所示的電路。由此求得電表外接電阻Rx時的電流：分解方法與單口網(wǎng)絡

上式表明，當被測電阻Rx

由變化到0時，相應的電流I則從0變化到Imax；當被測電阻與電表內(nèi)阻相等(Rx=Ro)時，I=0.5Imax，即指針偏轉一半，停留在電表刻度的中間位置，當開關處于R1，R10，R100，R1k的不同位置時，可以求得電阻Ro分別為25，250，2500，25k左右，相應的滿偏轉電流Imax分別為50mA，5mA，0.5mA和50A(設US=1.25V)。若電池的實際電壓US大于1.25V，則可調(diào)整2.8k電位器的滑動端來改變Imax，使指針停留在0處(稱為電阻調(diào)零)。分解方法與單口網(wǎng)絡例4－11求圖4-15(a)電路中電流I1和I2。圖4－15分解方法與單口網(wǎng)絡解：圖(a)是一個非線性電阻電路，但去掉兩個理想二極管

支路后的圖(b)電路是一個含源線性電阻單口網(wǎng)絡，可

用戴維寧等效電路代替。由圖(b)求得開路電壓分解方法與單口網(wǎng)絡

由圖(c)求得等效電阻分解方法與單口網(wǎng)絡

用3V電壓源與8電阻的串聯(lián)代替圖(b)所示單口網(wǎng)絡，得到圖(d)所示等效電路。由于理想二極管D2是反向偏置，相當于開路，即I2=0，理想二極管D1是正向偏置，相當于短路，得到圖(e)所示等效電路。由圖(e)求得分解方法與單口網(wǎng)絡例4－12電路如圖4-16(a)所示，其中g=3S。試求Rx為何值

時電流I=2A，此時電壓U為何值?圖4－16分解方法與單口網(wǎng)絡解：為分析方便，可將虛線所示的兩個單口網(wǎng)絡N1和N2

分別用戴維寧等效電路代替，到圖(b)電路。單口N1

的開路電壓Uoc1可從圖(c)電路中求得，列出KVL方程

解得分解方法與單口網(wǎng)絡

為求Ro1，將20V電壓源用短路代替，得到圖(d)電路，再用外加電流源I計算電壓U的方法求得Ro1。列出KVL方程

解得分解方法與單口網(wǎng)絡

再由圖(e)電路求出單口N2的開路電壓Uoc2和輸出電阻Ro2

分解方法與單口網(wǎng)絡

最后從圖(b)電路求得電流I的表達式為分解方法與單口網(wǎng)絡

令I=2A，求得Rx=3。此時電壓U

為或

分解方法與單口網(wǎng)絡§4-7諾頓定理

分解方法與單口網(wǎng)絡§4-7諾頓定理一、諾頓定理

諾頓定理：含獨立源的線性電阻單口網(wǎng)絡N，就端口特性而言，可以等效為一個電流源和電阻的并聯(lián)[圖(a)]。電流源的電流等于單口網(wǎng)絡從外部短路時的端口電流isc；電阻Ro是單口網(wǎng)絡內(nèi)全部獨立源為零值時所得網(wǎng)絡No的等效電阻[圖(b)]。分解方法與單口網(wǎng)絡

isc稱為短路電流。Ro稱為諾頓電阻，也稱為輸入電阻或輸出電阻。電流源isc和電阻Ro的并聯(lián)單口，稱為單口網(wǎng)絡的諾頓等效電路。

在端口電壓電流采用關聯(lián)參考方向時，單口的VCR方程可表示為分解方法與單口網(wǎng)絡

諾頓定理的證明與戴維寧定理的證明類似。在單口網(wǎng)絡端口上外加電壓源u[圖(a)]，分別求出外加電壓源單獨產(chǎn)生的電流[圖(b)]和單口網(wǎng)絡內(nèi)全部獨立源產(chǎn)生的電流i"=-isc[圖(c)]，然后相加得到端口電壓電流關系式

上式與式(4－9)完全相同。這就證明了含源線性電阻單口網(wǎng)絡，在外加電壓源存在惟一解的條件下，可以等效為一個電流源isc和電阻Ro的并聯(lián)。分解方法與單口網(wǎng)絡例4－13求圖4-19(a)單口網(wǎng)絡的諾頓等效電路。

解：為求isc，將單口網(wǎng)絡從外部短路，并標明短路電流isc

的參考方向，如圖(a)所示。由KCL和VCR求得圖4－19分解方法與單口網(wǎng)絡

為求Ro，將單口內(nèi)電壓源用短路代替，電流源用開路代替，得到圖(b)電路，由此求得

根據(jù)所設isc的參考方向，畫出諾頓等效電路[圖(c)]。圖4－19分解方法與單口網(wǎng)絡例4－14求圖4-20(a)所示單口的戴維寧-諾頓等效電路。解：為求isc,將單口網(wǎng)絡短路，并設isc的參考方向如圖(a)所

示。用歐姆定律先求出受控源的控制變量i1

得到圖4－20分解方法與單口網(wǎng)絡

為求Ro，將10V電壓源用短路代替，在端口上外加電壓源u，如圖(b)所示。由于i1=0，故

求得或

由以上計算可知，該單口等效為一個4A電流源[圖(c)]。該單口求不出確定的uoc，它不存在戴維寧等效電路。圖4－20分解方法與單口網(wǎng)絡二、戴維寧—諾頓定理在電路調(diào)試中的應用

一個新的電子產(chǎn)品往往需要調(diào)整電路的某些元件參數(shù)來改善其電氣性能。戴維寧—諾頓定理能在不知道電路結構和參數(shù)的情況下，指出元件參數(shù)變動時電壓和電流變化的規(guī)律，對調(diào)試工作十分有用，這是其它電路分析方法難以做到的。分解方法與單口網(wǎng)絡

如果要調(diào)整實際電路中任一電阻RL的電壓和電流，如圖(a)所示，可以將電路其余部分用戴維寧—諾頓電路來模擬，得到圖(b)和(c)所示電路模型，由此可以得到分解方法與單口網(wǎng)絡

這是工作于線性區(qū)的任何電阻電路中任一電阻電壓和電流的一般表達式，由此可看到電路參數(shù)變化對電壓、電流的影響。圖4－26分解方法與單口網(wǎng)絡

例如對于Ro>0的情況，可以得出以下結論：

1．欲提高電路中任一電阻RL的電壓，應增加其電阻值。電壓隨電阻RL變化的具體規(guī)律由式(4－12a)確定，如圖(a)曲線所示。由曲線可見，當電阻RL由零逐漸增加到無窮大時，電壓u將從零逐漸增加到最大值uoc，且當RL=Ro時,u=0.5uoc，即電阻電壓為開路電壓的一半。若要電阻電壓大于開路電壓，即u>uoc，則需調(diào)整電路其它元件的參數(shù)來提高uoc。分解方法與單口網(wǎng)絡2．欲減小電路中任一電阻RL的電流，應增加其電阻值。電流隨電阻RL變化的具體規(guī)律由式(4－12b)確定，如圖4－26(b)曲線所示。圖4－26分解方法與單口網(wǎng)絡

讀者可用類似方法分析負載換為電壓源、電流源或二極管時電壓、電流變化的規(guī)律，導出一些定性和定量的結果，這對電路的設計與調(diào)試十分有用。從以上分析可見，戴維寧—諾頓定理不僅可以簡化電路分析和計算，也是分析和調(diào)試電路的有力工具。

由曲線可見，當電阻RL由零逐漸增加到無窮大時，電流i將從最大值isc逐漸減小到零，且當RL=Ro時，i=0.5isc，即電阻電流為短路電流的一半。若要電阻電流大于短路電流，即i>isc，則需調(diào)整電路其它元件的參數(shù)來提高isc。分解方法與單口網(wǎng)絡§4-8最大功率傳遞定理

分解方法與單口網(wǎng)絡§4－8最大功率傳遞原理

本節(jié)介紹戴維寧定理的一個重要應用。在測量、電子和信息工程的電子設備設計中，常常遇到電阻負載如何從電路獲得最大功率的問題。這類問題可以抽象為圖(a)所示的電路模型來分析分解方法與單口網(wǎng)絡

網(wǎng)絡N表示供給電阻負載能量的含源線性電阻單口網(wǎng)絡，它可用戴維寧等效電路來代替，如圖(b)所示。電阻RL表示獲得能量的負載。此處要討論的問題是電阻RL為何值時，可以從單口網(wǎng)絡獲得最大功率。分解方法與單口網(wǎng)絡

寫出負載RL吸收功率的表達式