山西省晉中市北田鎮(zhèn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P是邊上異于A，B的一點(diǎn)．光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P（如圖）．若光線QR經(jīng)過(guò)△ABC的重心，則AP等于（）A．2 B．1 C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】IQ：與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程．【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，可得P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)，和P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)，由P1，Q，R，P2四點(diǎn)共線可得直線的方程，由于過(guò)△ABC的重心，代入可得關(guān)于a的方程，解之可得P的坐標(biāo)，進(jìn)而可得AP的值．【解答】解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示．則A（0，0），B（4，0），C（0，4）．設(shè)△ABC的重心為D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），則P點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)P1為（﹣m，0），因?yàn)橹本€BC方程為x+y﹣4=0，所以P點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)P2為（4，4﹣m），根據(jù)光線反射原理，P1，P2均在QR所在直線上，∴，即，解得，或m=0．當(dāng)m=0時(shí)，P點(diǎn)與A點(diǎn)重合，故舍去．∴．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題，涉及直線方程的求解以及光的反射原理的應(yīng)用，屬中檔題．2.若的周期為且圖象關(guān)于對(duì)稱，則A.的圖象過(guò)點(diǎn)

B.在上是單調(diào)遞減函數(shù)C.將的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象D.的一個(gè)對(duì)稱中心是參考答案：B略3.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（

）A.1 B.－1 C.－2 D.2參考答案：C令z=a+bi，代入，（a-1+bi）=a+3+bi，,，故選C.

4.已知直線，平面，且，下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是①若，則

②若，則③若，則;

④若，則

A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B略5.盒子中放著編號(hào)為1,2,3,4,5的形狀和大小完全相同的5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任意取出3個(gè)，則取出球的編號(hào)互不相同的概率為

（

）A．

B.

C．

D．參考答案：D6.下列命題中，真命題是（

）A．存在 B．是的充分條件C．任意 D．的充要條件是

參考答案：略7.下列說(shuō)法正確的是

A.命題“x0∈R，x02＋x0＋1<0”的否定是：“x∈R，x2＋x＋1>0”;B.“x=－1”是“x2－5x－6=0”的必要不充分條件;C.命題“若x2=1，則x=1”的否命題是：若x2=1，則x≠1;D.命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為真命題.參考答案：D8.△中，角成等差數(shù)列是成立的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：A略9.已知函數(shù)，則使不等式成立的x的取值范圍是（

）A.(－∞,－1)∪(1,+∞)

B.(1,+∞)C.

D.(－∞,－2)∪(1,+∞)參考答案：D由已知得：函數(shù)是偶函數(shù)，在是增函數(shù)，解之得：10.中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線C的兩條漸近線與圓都相切，則雙曲線C的離心率是（

）A．2或

B．2或

C.或

D．或參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若復(fù)數(shù)z滿足z（1﹣i）=2i（i是虛數(shù)單位），是z的共軛復(fù)數(shù)，則=

．參考答案：﹣1﹣i

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求得z，進(jìn)一步求得．【解答】解：∵z（1﹣i）=2i，∴，∴．故答案為：﹣1﹣i．12.若滿足，則的最小值為

參考答案：313.如右圖，若執(zhí)行程序框圖，則輸出的結(jié)果是

.

參考答案：1114.由曲線與直線所圍成的圖形的面積是

．參考答案：

15.已知曲線y=﹣lnx的一條切線的斜率為﹣，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出斜率為﹣的切線的切點(diǎn)為（x0，y0），（x0＞0）由函數(shù)在x=x0時(shí)的導(dǎo)數(shù)等于﹣求出x0的值，舍掉定義域外的x0得答案．【解答】解：由y=﹣lnx得y′=．設(shè)斜率為﹣的切線的切點(diǎn)為（x0，y0），（x0＞0）則，解得：x0=1，∴y0=．故答案為．16.已知四個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為

.參考答案：7略17.已知拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，且雙曲線的右頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離為1，則

.參考答案：10三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）寫出在上的解析式；（2）求出在上的最大值；（3）若是上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：略19.已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x（1）若函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)（1，g（1））處的切線平行于x軸，求a的值；（2）若a＞0，討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；（3）設(shè)斜率為k的直線與函數(shù)f（x）的圖象交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，求證：．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出；（2）通過(guò)求導(dǎo)得到g′（x），通過(guò)對(duì)a分類討論即可得出其單調(diào)性；（3）利用斜率計(jì)算公式，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，及令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，通過(guò)求導(dǎo)得到其單調(diào)性即可證明．【解答】解：（1）依題意得g（x）=lnx+ax2﹣3x，則g′（x）=+2ax﹣3，由函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)（1，g（1））處的切線平行于x軸可得，g′（1）=1+2a﹣3=0，∴a=1；（2）g（x）=lnx+ax2﹣3x，則g′（x）=+2ax﹣3=，設(shè)t（x）=2ax2﹣3x+1，△=9﹣8a，①當(dāng)0＜a＜時(shí)，設(shè)t（x）=0的兩根為x1=，x2=，由g′（x）＞0可得x＞x2，或0＜x＜x1；由g′（x）＜0可得x＞x2，或＜x1＜x＜x2，即g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，），（，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（，）；②當(dāng)a≥時(shí)，2ax2﹣3x+1≥0恒成立，g′（x）≥0恒成立，g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；（3）證明：依題意得k==，＜k＜?＜＜?x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，則h′（x）=1﹣，當(dāng)x＞x1時(shí)，h'（x）＞0，∴函數(shù)h（x）在（x1，+∞）單調(diào)遞增，∴當(dāng)x2＞x1時(shí)，h（x2）＞h（x1）=0，即x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，則m′（x）=1﹣，當(dāng)x＜x2時(shí)，m'（x）＜0，∴函數(shù)m（x）在（0，x2）單調(diào)遞減，∴當(dāng)x1＜x2時(shí)，m（x1）＞h（x2）=0，即x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1；所以命題得證．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、分類討論思想方法、根據(jù)所證明的結(jié)論恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵．20.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令，若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求滿足的正整數(shù)n的值.參考答案：（1）（2）5【分析】（1）利用，當(dāng)時(shí)，求得通項(xiàng)（2）由錯(cuò)位相減求和即可【詳解】（1）由題.當(dāng)時(shí)，.由符合，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由，作差得：得：得：，又故數(shù)列單調(diào)遞增，且，故滿足的正整數(shù)的值只有一個(gè)為5.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，考查錯(cuò)位相減求和，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，屬于中檔題．21.（本小題滿分12分）一個(gè)口袋中裝有大小形狀完全相同的紅色球個(gè)、黃色球個(gè)、藍(lán)色球個(gè)，現(xiàn)進(jìn)行從口袋中摸球的游戲：摸到紅球得分、摸到黃球得分、摸到藍(lán)球得分．若從這個(gè)口袋中隨機(jī)的摸出個(gè)球，恰有一個(gè)是黃色球的概率是．（1）求的值；

（2）從口袋中隨機(jī)摸出個(gè)球，設(shè)表示所摸球的得分之和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：（1）由題意有，即，解得；

4分（2）取值為.則，，，，

8分的分布列為：

10分故.

12分22.（本題滿分12分）如圖，四邊形中（圖1），是的中點(diǎn)，，，將（圖1）沿直線折起，使二面角為（如圖2）（1）求證：平面；（2）求直線AE與平面ADC所成角的正弦值。

參考答案：（1）見(jiàn)解析;（2）如圖4，取BD中點(diǎn)M，連接AM，ME.因?yàn)锳B=AD=，所以AM⊥BD，

因?yàn)镈B=2，DC=1，BC=，滿足：DB2+DC2=BC2，

所以△BCD是以BC為斜邊的直角三角形，BD⊥DC，

因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以ME為△BCD的中位線，ME

∥，

ME⊥BD，ME=，………（2分）

∠AME是二面角A-BD-C的平面角，=°.

，且AM、ME是平面AME內(nèi)兩條相交于點(diǎn)M的直線，，平面AEM，.…（4分）

，，為等腰直角三角形，，在△AME中，由余弦定理得：，