高考真題高三數(shù)學(xué)第8頁共8頁2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試新課標(biāo)2卷文科數(shù)學(xué)考前須知：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．作答時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分，在每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。1．i(2+3i)=()A．3-2iB．3+2iC．-3-2i D．-3+2i解析：選D2．集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，那么A∩B=()A．{3}B．{5} C．{3,5}D．{1,2,3,4,5,7}解析：選C3．函數(shù)f(x)=eq\f(ex-e-x,x2)的圖像大致為()解析：選Bf(x)為奇函數(shù)，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)=eq\f(e2-e-2,4)>1,應(yīng)選B4．向量a，b滿足|a|=1，a·b=-1，那么a·(2a-b)=()A．4 B．3 C．2 D．0解析：選Ba·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=35．從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)效勞，那么選中的2人都是女同學(xué)的概率為

A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3解析：選D5人選2人有10種選法，3人選2人有3中選法。6．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\r(3)，那么其漸近線方程為()A．y=±eq\r(2)x B．y=±eq\r(3)x C．y=±eq\f(\r(2),2)x D．y=±eq\f(\r(3),2)x解析：選Ae=eq\r(3)c2=3a2b=eq\r(2)a7．在ΔABC中，coseq\f(C,2)=eq\f(\r(5),5)，BC=1，AC=5，那么AB=()A．4eq\r(2) B．eq\r(30) C．eq\r(29) D．2eq\r(5)解析：選AcosC=2cos2eq\f(C,2)-1=-eq\f(3,5)AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32AB=4eq\r(2)8．為計算S=1-eq\f(1,2)+eq\f(1,3)-eq\f(1,4)+……+eq\f(1,99)-eq\f(1,100)，設(shè)計了右側(cè)的程序框圖，那么在空白框中應(yīng)填入()A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4解析：選B9．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，那么異面直線AE與CD所成角的正切值為()A．eq\f(\r(2),2)B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(5),2)D．eq\f(\r(7),2)解析：選C即AE與AB所成角，設(shè)AB=2,那么BE=eq\r(5),應(yīng)選C10．假設(shè)f(x)=cosx-sinx在[0,a]是減函數(shù)，那么a的最大值是()A．eq\f(π,4)B．eq\f(π,2)C．eq\f(3π,4)D．π解析：選Cf(x)=eq\r(2)cos(x+eq\f(π,4)),依據(jù)f(x)=cosx與f(x)=eq\r(2)cos(x+eq\f(π,4))的圖象關(guān)系知a的最大值為eq\f(3π,4)。11．F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，假設(shè)PF1⊥PF2，且∠PF2F1=600，那么C的離心率為()A．1-eq\f(\r(3),2) B．2-eq\r(3)C．eq\f(\r(3)-1,2)D．eq\r(3)-1解析：選D依題設(shè)|PF1|=c,|PF2|=eq\r(3)c,由|PF1|+|PF2|=2a可得12．f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x)．假設(shè)f(1)=2，那么f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A．-50B．0 C．2 D．50解析：選C由f(1-x)=f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4為周期的奇函數(shù)，且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0;f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分。13．曲線y=2lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為__________．解析：y=2x-214．假設(shè)x,y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\al\co2(x+2y-5≥0,,x-2y+3≥0,,x-5≤0,)),那么z=x+y的最大值為__________．解析：915．tan(α-eq\f(5π,4))=eq\f(1,5)，那么tanα=__________．解析：由兩角差的正切公式展開可得tanα=eq\f(3,2)16．圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為300，假設(shè)ΔSAB的面積為8，那么該圓錐的體積為__________．解析：設(shè)母線為2a，那么圓錐高為a，底面半徑為eq\r(3)a,依題eq\f(1,2)×2a×2a=8,∴a=2∴V=eq\f(1,3)×π×(2eq\r(3))×2=8π三、解答題：共70分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23為選考題?？忌鶕?jù)要求作答?！惨弧潮乜碱}：共60分。17．〔12分〕記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1=-7，S3=-15．〔1〕求{an}的通項(xiàng)公式；〔2〕求Sn，并求Sn的最小值．解：〔1〕設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=-15,由a1=-7得d=2.所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-9.〔2〕由〔1〕得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以當(dāng)n=4時,Sn取得最小值,最小值為?16.18．〔12分〕下列圖是某地區(qū)2000年至2023年環(huán)境根底設(shè)施投資額y〔單位：億元〕的折線圖．為了預(yù)測該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2023年的數(shù)據(jù)〔時間變量t的值依次為1,2,…,17〕建立模型①：eq\o(y,\s\up6(^))=-30.4+13.5t；根據(jù)2023年至2023年的數(shù)據(jù)〔時間變量t的值依次為1,2,…,7〕建立模型②：eq\o(y,\s\up6(^))=99+17.5t．〔1〕分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額的預(yù)測值；〔2〕你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由．解：〔1〕利用模型①,該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額的預(yù)測值為eq\o(y,\s\up6(^))=-30.4+13.5×19=226.1(億元).利用模型②,該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額的預(yù)測值為eq\o(y,\s\up6(^))=99+17.5×9=256.5(億元).〔2〕利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.理由如下：〔ⅰ〕從折線圖可以看出,2000年至2023年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線eq\o(y,\s\up6(^))=-30.4+13.5t上下.這說明利用2000年至2023年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境根底設(shè)施投資額的變化趨勢.2023年相對2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額有明顯增加，2023年至2023年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2023年開始環(huán)境根底設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2023年至2023年的數(shù)據(jù)建立的線性模型eq\o(y,\s\up6(^))=99+17.5t可以較好地描述2023年以后的環(huán)境根底設(shè)施投資額的變化趨勢,因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.〔ⅱ〕從計算結(jié)果看,相對于2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比擬合理.說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.以上給出了2種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.19．〔12分〕如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2eq\r(2)，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)．〔1〕證明：PO⊥平面ABC；〔2〕假設(shè)點(diǎn)M在棱BC上，且MC=2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離．〔1〕證明：因?yàn)锳P=CP=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AC，且OP=2eq\r(3).連結(jié)OB.因?yàn)锳B=BC=eq\f(\r(2),2)AC，所以ΔABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=eq\f(1,2)AC=2.由OP2+OB2=PB2知OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知OP⊥平面ABC.〔2〕解：作CH⊥OM，垂足為H．又由〔1〕可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的長為點(diǎn)C到平面POM的距離．由題設(shè)可知OC=eq\f(1,2)AC=2，CM=eq\f(2,3)BC=eq\f(4\r(2),3)，∠ACB=45°．所以O(shè)M=eq\f(2\r(5),3)，CH=eq\f(OC·MC·sin∠ACB,OM)=eq\f(4\r(5),5)．所以點(diǎn)C到平面POM的距離為eq\f(4\r(5),5)．※也可用等積法求20．〔12分〕設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8．〔1〕求l的方程；〔2〕求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．解：〔1〕由題意得F(1,0)，l的方程為y=k(x-1)(k>0).設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=k(x-1),y2=4x))得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0，故x1+x2=eq\f(2k2+4,k2).所以|AB|=x1+x2+2=eq\f(2k2+4,k2)+2=8，解得k=-1〔舍去〕，k=1.因此l的方程為y=x-1.〔2〕由〔1〕得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3)，即y=-x+5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0=-x0+5,(x0+1)2=\f((y0-x0+1)2,2)+16))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0=3,y0=2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0=11,y0=-6))因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.21．〔12分〕函數(shù)f(x)=eq\f(1,3)x3-a(x2+x+1)． 〔1〕假設(shè)a=3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； 〔2〕證明：f(x)只有一個零點(diǎn)．解：〔1〕當(dāng)a=3時，f〔x〕=eq\f(1,3)x3-3x2-3x-3)，f′〔x〕=x2-6x-3．令f′〔x〕=0解得x=3-2eq\r(3)或x=3+2eq\r(3)．當(dāng)x∈〔–∞，3-2eq\r(3)〕∪〔3+2eq\r(3)，+∞〕時，f′〔x〕>0；當(dāng)x∈〔3-2eq\r(3)，3+2eq\r(3)〕時，f′〔x〕<0．故f〔x〕在〔–∞，3-2eq\r(3)〕，〔3+2eq\r(3)，+∞〕單調(diào)遞增，在〔3-2eq\r(3)，3+2eq\r(3)〕單調(diào)遞減．〔2〕由于x2+x+1>0，所以f(x)=0等價于eq\f(x3,x2+x+1)-3a=0．設(shè)g(x)=eq\f(x3,x2+x+1)-3a，那么g′〔x〕=eq\f(x2(x2+2x+3),(x2+x+1)2)≥0，僅當(dāng)x=0時g′〔x〕=0，所以g〔x〕在〔–∞，+∞〕單調(diào)遞增．故g〔x〕至多有一個零點(diǎn)，從而f〔x〕至多有一個零點(diǎn)．又f〔3a–1〕=-6a+2a-eq\f(1,3)=-6(a-eq\f(1,6))2-eq\f(1,6)<0，f〔3a+1〕=eq\f(1,3)>0，故f〔x〕有一個零點(diǎn)．綜上，f〔x〕只有一個零點(diǎn)．〔二〕選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，那么按所做的第一題計分。22．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]〔10分〕在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=2cosθ,y=4sinθ))〔θ為參數(shù)〕，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=1+tcosα,y=2+tsinα))〔t為參數(shù)〕．〔1〕求C和l的直角坐標(biāo)方程；〔2〕假設(shè)曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率．【解析】〔1〕曲線C的直角坐標(biāo)方程為eq\f(x2,4)+eq\f(y2,16)=1．當(dāng)cosα≠0時，l的直角坐標(biāo)方程為y=tanαx+2-tanα，當(dāng)cosα=0時，l的直角坐標(biāo)方程為x=1．〔2〕將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0．①因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi)，所以①有兩個解，設(shè)為t1，t2，那么t1+t2=0．又由①得2cosα+sinα=0，，于是直線l的斜率k=tanα=-2．23．[選修4－5：不等式選講]〔10分〕設(shè)函數(shù)f(x)=5-|x-a|-|x-2|．〔1〕當(dāng)a=1時，求不等式f(x)≥0的解集；〔2〕假設(shè)f(x)≤1，求a的取值范圍．【解析】〔1〕當(dāng)a=1時，eq\b\lc\{(\a\al\co2(2x+4x≤-1,,2-1<x≤2,,-2x+6x>2,))可得f(x)≥0的解集為{x|-2≤x≤3}．〔2〕f(x)≤1等價于|x+a|+|x-2|≥4．而|x+a|+|x-2|≥|a+2|，且當(dāng)x=2時等號成立．故f(x)≤1等價于|a+2|≥4．得a≤-6或aα2，所以a的取值范圍是(-∞,-6]∪[2,+∞)．絕密★啟用前2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A7．A 8．B 9．C 10．C 11．D 12．C二、填空題13．y=2x–2 14．9 15． 16．8π三、解答題17．解：〔1〕設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n–9．〔2〕由〔1〕得Sn=n2–8n=〔n–4〕2–16．所以當(dāng)n=4時，Sn取得最小值，最小值為–16．18．解：〔1〕利用模型①，該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額的預(yù)測值為=–30.4+13.5×19=226.1〔億元〕．利用模型②，該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額的預(yù)測值為=99+17.5×9=256.5〔億元〕．〔2〕利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．理由如下：〔i〕從折線圖可以看出，2000年至2023年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y=–30.4+13.5t上下，這說明利用2000年至2023年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境根底設(shè)施投資額的變化趨勢．2023年相對2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額有明顯增加，2023年至2023年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2023年開始環(huán)境根底設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2023年至2023年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2023年以后的環(huán)境根底設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．〔ii〕從計算結(jié)果看，相對于2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比擬合理，說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分．學(xué)科@網(wǎng)19．解：〔1〕因?yàn)锳P=CP=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AC，且OP=．連結(jié)OB．因?yàn)锳