期權(quán)定價原理及其應(yīng)用5.1期權(quán)定價原理期權(quán)期權(quán)賦予期權(quán)持有人在到期日、以執(zhí)行價格（從期權(quán)出售方）買入或賣出相關(guān)資產(chǎn)的權(quán)利（但不是義務(wù)）。看漲期權(quán)合約中指定：——相關(guān)資產(chǎn)、執(zhí)行價格(X)、到期日(T)●歐式看漲期權(quán)賦予期權(quán)持有人只能在到期日T、以執(zhí)行價格X（從看漲期權(quán)出售方）買入（“看漲”）相關(guān)資產(chǎn)的權(quán)利（但不是義務(wù)）。●美式看漲期權(quán)賦予期權(quán)持有人在到期日T前或到期日、以執(zhí)行價格X（從看漲期權(quán)出售方）買入（“看漲”）相關(guān)資產(chǎn)的權(quán)利（但不是義務(wù)）。到期日看漲期權(quán)的價值ST

＝到期日T相關(guān)資產(chǎn)或股票的價值或價格。CT

＝在到期日執(zhí)行價格為X的看漲期權(quán)的價值是ST的函數(shù)如果ST>X，則成為“實值期權(quán)”。如果ST<X，則成為“虛值期權(quán)”。如果ST=X，則成為“兩平期權(quán)”?？吹跈?quán)指定：——相關(guān)資產(chǎn)——執(zhí)行價格(X)——到期日(T)歐式看跌期權(quán)賦予期權(quán)持有人只能在到期日T、以執(zhí)行價格X（向看跌期權(quán)出售方）賣出（“看跌”）相關(guān)資產(chǎn)的權(quán)利（但不是義務(wù)）。美式看跌期權(quán)賦予期權(quán)持有人在到期日T前或到期日、以執(zhí)行價格X（向看跌期權(quán)出售方）賣出（“看跌”）相關(guān)資產(chǎn)的權(quán)利（但不是義務(wù)）。到期日看跌期權(quán)的價值ST＝到期日T時，相關(guān)資產(chǎn)或股票的價值或價格。PT＝在到期日、執(zhí)行價格為X的看跌期權(quán)的價值是ST的函數(shù)如果ST<X，則成為“實值期權(quán)”。如果ST>X，則成為“虛值期權(quán)”。如果ST=X，則成為“兩平期權(quán)”。Black-Scholes公式歐式看漲期權(quán)的公式計算是：這兒：S＝相關(guān)資產(chǎn)或股票的現(xiàn)價T-t＝剩余到期時間r＝連續(xù)無風(fēng)險收益率e≈2.71828＝相關(guān)資產(chǎn)或股票連續(xù)復(fù)利報酬率的標準差（即波動）N(y)＝均值為0、方差為1的標準正態(tài)分布隨機變量小于y的概率期權(quán)定價基本原理問題：一只股票目前價格100元，未來可能上漲到120元，也可能下跌至80元；如果現(xiàn)在你為了規(guī)避股票下跌的風(fēng)險，買入一份看漲期權(quán)（執(zhí)行價格為110元）那么，你應(yīng)該支付多少錢得到這份看漲期權(quán)（對方需要多少錢才會愿意承擔此風(fēng)險）？期權(quán)的支付100120（120-110=10）80（0）無套利原理理如果不同的的資產(chǎn)在未未來帶來相相同的現(xiàn)金金流，那么么資產(chǎn)（當當前）的價價格應(yīng)該相相等，否則則就會存在在套利的機機會；橫向套利：：不同市場場縱向套利：：不同期限限二叉樹期權(quán)權(quán)定價二叉樹期權(quán)權(quán)定價（BinomialoptionPricingModel）由Cox,Ross,Rubinstein等人提出為期權(quán)定價價模型為B-S模型提供一一種比較簡簡單和直觀觀的方法12例：遠期匯匯率與即期期匯率拋補利率平平價拋補利率平平價公式(1+美元利率)=(1+英鎊利率)x(美元/英鎊遠期匯率)/(美元/英鎊即期匯率)所以存在平平價關(guān)系：：即期匯率=遠期匯率x(1+外幣利率)/(1+本幣利率)例：人民幣幣拋補利率率平價例：2010年4月利率:中國是是2.25%美國：：最高1.5%匯率即期匯匯率是6.823遠期匯匯率是6.647投資策略：：ⅰ在紐約的銀銀行存1美元，一年年以后得到到1.015美元ⅱ將1美元換成RMB6.823,存入中國的的銀行可以以獲得:6.823x1.0225=RMB6.9765用遠遠期期匯匯率率換換成成美美元元，，可可獲獲得得：：6.9765/6.647=$1.0495策略略ⅱ可獲獲得得有有無無風(fēng)風(fēng)險險的的利利潤潤期權(quán)權(quán)定定價價的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)就就是是無無套套利利原原理理構(gòu)建建一一種種資資產(chǎn)產(chǎn)組組合合，，其其未未來來的的現(xiàn)現(xiàn)金金流流支支付付等等于于期期權(quán)權(quán)的的支支付付，，那那么么期期權(quán)權(quán)的的價價格格就就應(yīng)應(yīng)該該等等于于該該資資產(chǎn)產(chǎn)組組合合的的價價格格二叉叉樹樹定定價價模模型型：：Astockpriceiscurrently$20Inthreemonthsitwillbeeither$22or$1818StockPrice=$22StockPrice=$18Stockprice=$20A3-monthcalloptiononthestockhasastrikepriceof21.19StockPrice=$22OptionPrice=$1StockPrice=$18OptionPrice=$0Stockprice=$20OptionPrice=?構(gòu)建建無無風(fēng)風(fēng)險險組組合合ConsiderthePortfolio:longDsharesshort1calloptionPortfolioisrisklesswhen22D–1=18DorD=0.252022D–118D股股股票票－－1份期期權(quán)權(quán)=無風(fēng)風(fēng)險險證證券券→1份期期權(quán)權(quán)=D股股股票票-無風(fēng)風(fēng)險險證證券券單期期二二叉叉樹樹期期權(quán)權(quán)定定價價模模型型考慮一個買權(quán)權(quán)在當前時刻刻t，下期t=T到期，中間只只有1期，τ=T-t假設(shè)該買權(quán)的的標的股票是是1個服從二項分分布的隨機變變量。當前股股票價格為st=S是已知的，到到期股票價格格為sT，且滿足21其中，u為上漲因子，，d為下跌因子22sT=su=uSsT=sd=dSstq1-q問題：如何確確定該期權(quán)在在當前時刻t的價值ct？設(shè)想：構(gòu)造如如下投資組合合，以無風(fēng)險險利率r借入資金B(yǎng)（相當于無風(fēng)風(fēng)險債券空頭頭），并且在在股票市場上上購入N股股票（股票票多頭）。目的：在買權(quán)權(quán)到期日，上上述投資組合合的價值特征征與買權(quán)完全全相同。在當前時刻t，已知股票的的價格為s，構(gòu)造上述組組合的成本為為23在到期時刻T，若希望該組組合的價值v與買權(quán)的價值值完全相同則則必須滿足由上兩式得到到由此得到的組組合稱稱為合成成期權(quán)（syntheticoption），由無套利利定價原則，，在當前時刻刻t買權(quán)的價值為為例子假設(shè)有1個股票買權(quán)合合約，到期日日為1年，執(zhí)行價格格為112美元，股票當當前的價格為為100美元，無風(fēng)險險利率為8％（連續(xù)復(fù)利利折算為單利利）。在到期期日股票的價價格有兩種可可能：180美元或者60美元，求期權(quán)權(quán)的價值？25sT=su=us＝180sT=sd=ds=60stq1-qct？cT=cu=max(0,Su-112)=68cT=cd=max(0,Sd-112)=026Dicussion:Risk-neutralprobabilitypisRisk-neutralprobabilityforallsecurities。stock’’sexpectedrelativereturnis27Option’sexpectedrelativereturnisSo，pisavariablewhichmakeriskfulstockandcalloption’sexpectedreturnarebothonlyrisklessinterestrate.Fortheabovereason,Wecallp“riskneutralprobability”.Dicussion:Risk-neutralprobability在風(fēng)險中性世世界中，主觀觀概率q沒有出現(xiàn)。雖然個人對q的信念是不同同的，但是在在期權(quán)的定價價過程中并沒沒有涉及到q，也就是人們們對q認識的分歧并并不影響對期期權(quán)的定價結(jié)結(jié)果。投資者最終都都一致風(fēng)險中中性概率p，它只取決于于r，u，d這三個客觀因因子。28Dicussion:Risk-neutralprobability風(fēng)險中性世界界，不必考慮慮風(fēng)險，這等等價于假設(shè)投投資者是風(fēng)險險中性的。若在期初構(gòu)造造如下組合：：以S的價格買入N股股票，同時時以c的價格賣出1個期權(quán)，則該該組合的投資資成本為NS－c必然等于B。若sT＝su29若sT＝Sd投資者者雖然然投資資于有有風(fēng)險險的股股票和和期權(quán)權(quán)，但但是由由二者者構(gòu)成成的組組合NS－c，即相相當于于投資資1個無風(fēng)風(fēng)險的的證券券。組合貼貼現(xiàn)率率的貼貼現(xiàn)率率只能能是無無風(fēng)險險利率率由于是是無風(fēng)風(fēng)險證證券，，對于于理性性投資資者，，不論論其偏偏好如如何，，其風(fēng)風(fēng)險態(tài)態(tài)度對對于這這樣的的組合合是無無關(guān)緊緊要。。只要要考慮慮收益益的大大小即即可，，由此此大大大簡化化資產(chǎn)產(chǎn)的定定價。?；谏仙鲜龅牡睦碛捎?，只只要以以上述述方式式構(gòu)建建投資資組合合來對對期權(quán)權(quán)定價價，就就等價價于假假設(shè)投投資者者是風(fēng)風(fēng)險中中性的的，既既然是是風(fēng)險險中性性的，，則對對這樣樣的組組合定定價就就不必必考慮慮風(fēng)險險問題題。30兩階段段二叉叉樹定定價模模型由于標標的資資產(chǎn)市市場價價格是是1個連續(xù)續(xù)（接接近連連續(xù)））的隨隨機變變量，，不可可能只只有2種情形形，因因此可可以考考慮將將時間間T-t分為多多段處處理，，首先先介紹紹兩階階段模模型。。31兩階段段模型型（Two-stepbinomialtree)若把從從定價價日t至到期期日T的時間間區(qū)間間T-t，劃分分為2個階段段，在在每1個階段段，仍仍然假假設(shè)標標的資資產(chǎn)價價格只只可能能取2種狀態(tài)態(tài)，上上漲和和下跌跌，且上漲漲和下下跌的的幅度度相等等，則第第2階段結(jié)結(jié)束時時候（（t=T），標標的資資產(chǎn)價價格的的取值值為3個，并并且令令h為每個個階段段的時時間長長度兩階段段模型型示意意圖32stctsu,cuuduuddsd,cdsuu,cuusud,cudsdd,cdd其中，，u＝1/d兩階段段模型型第2期本來來有4種狀態(tài)態(tài)，為為簡化化分析析，不不妨規(guī)規(guī)定u=1/d，則第第2、3兩種狀狀態(tài)為為同一一結(jié)果果，故故將其其合并并。期權(quán)到到期日日價值值的所有可可能值值為33由1階段模模型可可知，，在風(fēng)風(fēng)險中中性條條件下下34注意：：風(fēng)險險中性性概率率p只與r，h，u，d有關(guān)，，當上上述值值確定定下來來后，，兩個個階段段的p就完全全相同同，這這也正正是階階段平平分的的優(yōu)點點。35當前時時刻t，期權(quán)權(quán)的價價值為為定價思思路：：倒推推定價價法首先得得到2期節(jié)點點的股股票價價格，，從而而得到到該期期的期期權(quán)價價格。。采用風(fēng)風(fēng)險中中性定定價，，通過過貼現(xiàn)現(xiàn)得到到1期節(jié)點點的股股票價價格和和期權(quán)權(quán)價格格。由1期的股股票價價格得得到期期權(quán)價價格，，得到到當前前期權(quán)權(quán)的價價格。。風(fēng)險中中性定定價下下，每每一期期的風(fēng)風(fēng)險中中性概概率都都是相相同的的。365.4n階段二二叉樹樹定價價模型型將定價價日t到到期期日T的時間間進一一步等等分為為n個階段段，每每個階階段的的長度度為h37標的資資產(chǎn)在在到期期日的的狀態(tài)態(tài)可能能取值值為n＋1個.若n→∞，即每每個階階段所所對應(yīng)應(yīng)的長長度無無窮小小，則則完全全有理理由用用二叉叉樹來來近似似表示示標的的資產(chǎn)產(chǎn)價格格的連連續(xù)變變化過過程。。數(shù)學(xué)意意義：：根據(jù)據(jù)中心心極限限定理理，若若n充分大大，則則二項項分布布收斂斂于正正態(tài)分分布思路：：推導(dǎo)出出n期的二二項式式模型型，然然后令令n趨于無無窮。。標的股股票當當前價價格為為St=S，而在在以后后任意意一期期，股股價的的變化化有上上升和和下降降兩個個可能能。這這樣經(jīng)經(jīng)過n期后（（到期期日T），若若該股股票上上漲j次，下下跌n-j次，到到期日日T股價ST為38由概率率論可可知，，sT服從二二項分分布（（binomialdistribution)，所以以，具具有j次上漲漲，n-j次下降降的股股票價價格sT的概率率為recall：binomialdistribution假設(shè)在在一個個不透透明的的袋子子中有有N個球，，其中中M個是白白色的的，其其余N-M個球是是黑色色的，，則每每次取取球取取到白白球的的概率率是p=M/N。若有放放回地地取球球n次，稱稱之為為n重貝努努里試試驗。。在貝貝努里里試驗驗中剛剛好取取到j(luò)次白球球的概概率記記為b(j;n,p)39recall：binomialdistribution由于于b(j;n,p)剛好好是是二二項項式式40例如如第第j項就就是是故上上述述分分布布又又稱稱為為二二項項式式分分布布，，并并且且成成立立recall：binomialdistribution由于于二二項項式式分分布布計計算算復(fù)復(fù)雜雜，，為為簡簡化化計計算算。。當當n→∞∞，可以以用用正正態(tài)態(tài)分分布布逼逼近近（（定定理理：：獨獨立立同同分分布布下下的的中中心心極極限限定定理理））。。設(shè)隨隨機機變變量量Yn~b(j;n,p)，則則隨隨機機變變量量4142參照照2階段段模模型型的的思思路路，，從從最最后后的的n期（（T時刻刻））開開始始逐逐期期向向前前推推導(dǎo)導(dǎo)，，則則期期權(quán)權(quán)在在當當前前時時刻刻t的價價格格為為公式式意意義義：：在在風(fēng)險險中中性性世世界界里里，將將期期權(quán)權(quán)到到期期時時所所有有的的可可能能值值對對當當前前時時刻刻貼貼現(xiàn)現(xiàn)，，并并以以風(fēng)風(fēng)險險中中性性概概率率加加權(quán)權(quán)，，得得到到的的是是期期權(quán)權(quán)現(xiàn)現(xiàn)值值的的期期望望值值。。此期期望望值值是是期期權(quán)權(quán)的的真真實實值值嗎嗎？？Forexample:two-stepbinomialtrees43CRRmodel:n-stepbinomialtrees444546Howtocomputeuord?ChoosinguanddOnewayofmatchingthevolatilityistoset48wheresisthevolatilityandhisthelengthofthetimestep.ThisistheapproachusedbyCox,Ross,andRubinstein.Neutral-riskprobabilityisSimplifyfirstterm49=150Binomialequation51Simplifysecondterm52Simplifyallterms53Nextstep,wemustdeduced1andd2whenn→∞∞deducingd1andd2(form)54deducingd1andd2(forp)555657deducingd258Result:Black-Scholesformula59HowtochooseuanddBlack-scholesmodelassumethemotionofstockpricesatisfiestheGeometryBrownmotionorlogarithmnormaldistribution60Howtochooseuandd61Inbinomialmodel,weassumeqisprobabilityofstockpriceupinrealworlds.Howtochooseuandd626364So,wefindonesolveoftheequationInrisk-neutralworld,thereturnofsecuritiesmustber,whichmeansDisscusion:ChoosinguanddWehaveknowneutralprobabilitypforanystep65ud1p1-pWecanget66Prove:inrisk-neutralworldVarianofastock’’sreturninAccordingtoGeometryBrownmotion67ud1p1-p68Substitutingforuandd,thetermsofhigherthan2powerareignored.FromCox，RossandRubinstein(1979)美式式期期權(quán)權(quán)可可以以提提前前執(zhí)執(zhí)行行，，提提前前執(zhí)執(zhí)行行從從表表面面上上看看是是一一個個非非常常微微小小的的變變化化，，但但是是歐歐式式期期權(quán)權(quán)與與美美式式期期權(quán)權(quán)（（尤尤其其是是看看跌跌期期權(quán)權(quán)））價價值值有有很很大大的的不不同同。。WeknowthevalueoftheoptionatthefinalnodesWeworkbackthroughthetreeusingrisk-neutralvaluationtocalculatethevalueoftheoptionateachnode,testingforearlyexercisewhenappropriate美式期權(quán)沒有有解析解，故故采用二叉樹方法來逼近。。695.7Application:AmericanoptionpricingAmericanoptionpricing70以無收益證券券的美式看跌跌期權(quán)為例。。把該期權(quán)有有效期劃分成成N個長度為h的小區(qū)間，令令表示在時間時時第j個結(jié)點處的美美式看跌期權(quán)權(quán)的價值，同時用表表示結(jié)點處處的的證券價格，可得：后，假定期權(quán)不被被提前執(zhí)行，，則在風(fēng)險中中性條件下：：71Example:AmericanPutOption(SeeExample16.1,page391)S=50;X=50;r=10%;s=40%;T=5months=0.4167(year);h=1month=0.0833(year);Theparametersimplyu=1.1224;d=0.8909;=1.0084;p=0.507672為了構(gòu)造二叉叉樹，我們把把期權(quán)有效期期分為五段，，每段一個月月（等于0.0833年年）。可以算算出：73Example74X＝50二叉樹模型的的程序example：PriceanAmericancalloptionusingabinomialmodel.Again,theassetpriceis$100.00,theexercisepriceis$95.00,therisk-freeinterestrateis10%,andthetimetomaturityis0.25years.Itcomputesthetreeinincrementsof0.01years,sothereare0.25/0.01=25periodsintheexample.Thevolatilityis0.50,thisisacall(flag=1),thedividendrateis0,anditpaysdividendof$5.00afterthreeperiods(anex-dividenddate).Executingthetoolboxfunction75MATLABfinancialtoolbox[AssetPrice,OptionPrice]=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volatility,Flag,DividendRate,Dividend,ExDiv)[StockPrice,OptionPrice]=binprice(100,95,0.10,0.25,0.05,0.50,1,0,5.0,3);76StockPrice=Columns1through4100.0000111.2713123.8732137.9629085.9677100.0495111.32110080.999490.017500072.982500000000Columns5through6148.6915166.2807118.8981132.962995.0744106.321176.024385.017560.791367.9825054.360878OptionPrice=Columns1through412.101115.170825.347042.962905.30685.408116.3211001.34812.7402000000000000Columns5through654.165371.280724.371937.96295.569811.3211000000Keyconclusions二叉樹模型的的基本依據(jù)：：假設(shè)資產(chǎn)價價格的運動是是由大量的小小幅度二值運運動構(gòu)成，用用離散的隨機機游走模型模模擬資產(chǎn)價格格的連續(xù)運動動可能遵循的的路徑。二叉樹模型與與風(fēng)險中性定定價原理相一一致，即模型型中的收益率率和貼現(xiàn)率均均為無風(fēng)險收收益率，資產(chǎn)產(chǎn)價格向上運運動和向下運運動的實際概概率并沒有進進入二叉樹模模型，模型中中隱含導(dǎo)出的的概率是風(fēng)險險中性世界中中的概率，從從而為期權(quán)定定價。當二叉樹模型型相繼兩步之之間的時間長長度趨于零的的時候，該模模型將會收斂斂到連續(xù)的對對數(shù)正態(tài)分布布模型，即Black-Scholes方程。79共同基金與對對沖基金？謝謝1月月-2301:28:5001:2801:281月月-231月月-2301:2801:2801:28:511月-231月-2301:28:512023/1/61:28:519、靜夜四無鄰鄰，荒居舊業(yè)業(yè)貧。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中黃黃葉樹，，燈下白白頭人。。。01:28:5101:28:5101:281/6/20231:28:51AM11、以我獨沈久久，愧君相見見頻。。1月-2301:28:5101:28Jan-2306-Jan-2312、故故人人江江海海別別，，幾幾度度隔隔山山川川。。。。01:28:5101:28:5101:28Friday,January6,202313、乍乍見見翻翻疑疑夢夢，，相相悲悲各各問問年年。。。。1月月-231月月-2301:28:5101:28:51January6,202314、他鄉(xiāng)生生白發(fā)，，舊國見見青山。。。06一一月20231:28:51上午午01:28:511月-2315、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。一月231:28上午午1月-2301:28January6,202316、行動出成成果，工作作出財富。。。2023/1/61:28:5201:28:5206January202317、做做前前，，能能夠夠環(huán)環(huán)視視四四周周；；做做時時，，你你只只能能或或者者最最好好沿沿著著以以腳腳為為起起點點的的射射線線向向前前。。。。1:28:52上午午1:28上午午01:28:521月-239、沒有失敗敗，只有暫暫時停止成成功！。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事事情努力力了未必必有結(jié)果果，但是是不努力力卻什么么改變也也沒有。。。01:28:5201:28:5201:281/6/20231:28:52AM11、成功功就是是日復(fù)復(fù)一日日那一一點點點小小小努力力的積積累。。。1月-2301:28:5201:28Jan-2306-Jan-2312、世間成事事，不求其其絕對圓滿滿，留一份份不足，可可得無限完完美。。01