學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第2章平面向量（B)(時間:120分鐘滿分:160分）一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）1．已知向量a＝（4,2）,b＝(x，3）,且a∥b，則x的值是________．2．設(shè)向量a＝（m－2，m＋3），b＝(2m＋1,m－2),若a與b的夾角大于90°，則實數(shù)m的取值范圍是________3．若三點A(2，2)，B(a，0），C(0，b）(ab≠0）共線,則eq\f(1，a）＋eq\f（1,b)＝________。4．平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若eq\o(AB，\s\up6(→)）＝(2，4），eq\o(AC，\s\up6(→））＝（1,3)，則eq\o（AD,\s\up6(→））·eq\o（BD,\s\up6(→）)＝________。5．已知|a|＝1，|b|＝6，a·（b－a）＝2，則向量a與向量b的夾角是________．6．關(guān)于平面向量a，b，c，有下列四個命題：①若a∥b，a≠0，則存在λ∈R，使得b＝λa；②若a·b＝0，則a＝0或b＝0；③存在不全為零的實數(shù)λ,μ使得c＝λa＋μb;④若a·b＝a·c，則a⊥(b－c)．其中正確的命題是________．（填序號)7．已知|a｜＝5，|b｜＝3,且a·b＝－12，則向量a在向量b上的投影等于________．8．a(chǎn)，b的夾角為120°，｜a｜＝1，｜b｜＝3，則｜5a－b｜＝9．已知向量a＝(6，2），b＝（－4，eq\f（1，2）），直線l過點A(3，－1），且與向量a＋2b垂直，則直線l的方程為________．10．已知3a＋4b＋5c＝0，且｜a|＝｜b|＝|c｜＝1，則a·（b＋c11．在△ABC中，eq\o(AR,\s\up6（→)）＝2eq\o（RB，\s\up6(→))，eq\o（CP,\s\up6（→))＝2eq\o(PR，\s\up6（→））,若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o（AB,\s\up6（→)）＋neq\o（AC,\s\up6(→))，則m＋n＝________。12．P是△ABC內(nèi)的一點，eq\o(AP，\s\up6（→))＝eq\f（1，3)（eq\o（AB，\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))）,則△ABC的面積與△ABP的面積之比為________．13．已知向量eq\o（OP，\s\up6(→）)＝（2，1），eq\o(OA，\s\up6（→））＝(1，7)，eq\o（OB,\s\up6（→）)＝(5，1），設(shè)M是直線OP上任意一點（O為坐標原點）,則eq\o（MA，\s\up6(→））·eq\o（MB，\s\up6（→)）的最小值為________．14．定義平面向量之間的一種運算“⊙"如下：對任意的a＝(m,n),b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np。下面說法正確的是________．（填相應(yīng)說法的序號）①若a與b共線，則a⊙b＝0；②a⊙b＝b⊙a;③對任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ（a⊙b）；④（a⊙b)2＋(a·b）2＝｜a|2｜b｜2.二、解答題（本大題共6小題,共90分)15．（14分）如圖所示，以向量eq\o（OA,\s\up6(→）)＝a，eq\o（OB,\s\up6(→)）＝b為邊作AOBD，又eq\o(BM,\s\up6（→）)＝eq\f(1,3)eq\o（BC,\s\up6（→))，eq\o(CN,\s\up6(→））＝eq\f（1,3)eq\o（CD,\s\up6(→）），用a，b表示eq\o（OM，\s\up6(→）)、eq\o（ON，\s\up6（→)）、eq\o（MN，\s\up6(→））。16．（14分）已知a，b的夾角為120°，且｜a|＝4，|b｜＝2,求：（1)（a－2b）·（a＋b）;(2）｜a＋b｜;（3）｜3a－4b17．(14分)已知a＝（eq\r（3），－1)，b＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)，\f（\r（3）,2））)，且存在實數(shù)k和t，使得x＝a＋（t2－3）b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，試求eq\f（k＋t2,t)的最小值．18．(16分）設(shè)eq\o（OA，\s\up6(→）)＝(2,5），eq\o（OB，\s\up6(→）)＝(3,1），eq\o（OC,\s\up6(→））＝（6,3）．在線段OC上是否存在點M,使MA⊥MB？若存在,求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．19．（16分)設(shè)兩個向量e1、e2滿足|e1|＝2，｜e2|＝1，e1、e2的夾角為60°,若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍．20．（16分)已知線段PQ過△OAB的重心G，且P、Q分別在OA、OB上,設(shè)eq\o（OA,\s\up6（→））＝a,eq\o（OB,\s\up6(→)）＝b,eq\o(OP,\s\up6(→）)＝ma,eq\o（OQ,\s\up6(→））＝nb。求證：eq\f(1,m）＋eq\f（1,n）＝3.第2章平面向量（B)1．6解析∵a∥b，∴4×3－2x＝0，∴x＝6.2．(－eq\f（4，3），2）解析∵a與b的夾角大于90°，∴a·b〈0，∴(m－2)（2m＋1）＋(m＋3)(m－2）即3m2－∴－eq\f（4，3)〈m〈2。3。eq\f(1，2）解析eq\o(AB,\s\up6(→））＝(a－2，－2)，eq\o（AC，\s\up6(→））＝（－2，b－2)，∵eq\o（AB，\s\up6(→）)∥eq\o（AC,\s\up6(→))，∴（a－2)(b－2)－4＝0，∴ab－2(a＋b）＝0，該等式兩邊同除以ab，可得eq\f(ab－2a＋b，ab)＝0，∴1－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1，b)))＝0，∴eq\f(1,a)＋eq\f（1,b）＝eq\f(1，2)。4．8解析∵eq\o（AD,\s\up6(→)）＝eq\o（BC，\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6（→）)－eq\o(AB,\s\up6（→））＝(－1，－1），∴eq\o(BD,\s\up6（→））＝eq\o(AD,\s\up6（→））－eq\o(AB,\s\up6（→）)＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3,－5）,∴eq\o（AD,\s\up6（→）)·eq\o（BD,\s\up6(→))＝（－1，－1)·（－3，－5）＝8。5.eq\f(π，3)解析∵a(b－a）＝a·b－｜a｜2＝2，∴a·b＝3,∴cos<a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f（3,1×6)＝eq\f（1，2)，∴<a，b〉＝eq\f(π，3）。6．①④解析由向量共線定理知①正確；若a·b＝0，則a＝0或b＝0或a⊥b，所以②錯誤；在a，b能夠作為基底時，對平面上任意向量，存在實數(shù)λ，μ使得c＝λa＋μb，所以③錯誤；若a·b＝a·c,則a(b－c）＝0,所以a⊥（b－c），所以④正確，即正確命題序號是①④.7．－4解析向量a在向量b上的投影為|a|cos<a，b〉＝|a｜·eq\f（a·b,｜a||b｜）＝eq\f(a·b，｜b|)＝－eq\f（12，3）＝－4。8．7解析∵｜5a－b｜2＝(5a－b）2＝25a2＋b2－10a·b＝25×12＋32－10×1×3×（－eq\f（1,2))∴｜5a－b9．2x－3y－9＝0解析設(shè)P（x，y)是直線上任意一點,根據(jù)題意，有eq\o（AP,\s\up6（→))·(a＋2b)＝(x－3,y＋1)·（－2,3)＝0，整理化簡得2x－3y－9＝0。10．－eq\f（3，5）解析由已知得4b＝－3a－5c，將等式兩邊平方得（4b)2＝(－3a－5c)2，化簡得a·c＝－eq\f(3,5).同理由5c＝－3a－4b兩邊平方得a·b＝0，∴a·（b＋c)＝a·b＋a·c＝－eq\f（3,5)。11.eq\f（7,9）解析eq\o（AP，\s\up6(→)）＝eq\o（AC,\s\up6（→）)＋eq\o(CP，\s\up6(→))＝eq\o(AC，\s\up6(→)）＋eq\f(2，3）eq\o(CR，\s\up6(→）)＝eq\o（AC，\s\up6（→)）＋eq\f（2,3）（eq\f(2,3）eq\o（AB,\s\up6（→））－eq\o（AC，\s\up6(→）))＝eq\f（4,9)eq\o（AB,\s\up6（→））＋eq\f（1，3）eq\o(AC，\s\up6(→))故有m＋n＝eq\f（4,9)＋eq\f(1,3）＝eq\f（7，9)。12．3解析設(shè)△ABC邊BC的中點為D，則eq\f(S△ABC，S△ABP)＝eq\f（2S△ABD,S△ABP)＝eq\f（2AD,AP)。∵eq\o（AP,\s\up6(→））＝eq\f(1,3）（eq\o（AB,\s\up6(→））＋eq\o（AC，\s\up6(→)））＝eq\f（2,3）eq\o(AD，\s\up6（→))，∴eq\o（AD,\s\up6(→)）＝eq\f（3,2)eq\o(AP,\s\up6(→））,∴｜eq\o（AD,\s\up6（→）)|＝eq\f(3,2)|eq\o(AP,\s\up6(→））｜.∴eq\f(S△ABC,S△ABP）＝3。13．－8解析設(shè)eq\o（OM,\s\up6(→）)＝teq\o（OP,\s\up6(→）)＝(2t，t)，故有eq\o(MA，\s\up6（→)）·eq\o(MB,\s\up6（→））＝（1－2t,7－t)·（5－2t，1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2）2－8，故當t＝2時，eq\o(MA,\s\up6（→))·eq\o(MB，\s\up6(→)）取得最小值－8。14．①③④解析若a＝(m，n）與b＝(p，q）共線，則mq－np＝0,依運算“⊙"知a⊙b＝0，故①正確．由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故②不正確．對于③，由于λa＝(λm，λn)，因此（λa)⊙b＝λmq－λnp,又λ（a⊙b)＝λ(mq－np）＝λmq－λnp，故③正確．對于,（a⊙b）2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋（mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2（p2＋q2）＝(m2＋n2）（p2＋q2）＝|a|2｜b|2，故④正確．15．解eq\o（BA,\s\up6(→)）＝eq\o(OA,\s\up6（→）)－eq\o(OB，\s\up6(→）)＝a－b。∴eq\o(OM，\s\up6(→））＝eq\o（OB,\s\up6（→）)＋eq\o（BM,\s\up6（→））＝eq\o(OB，\s\up6（→))＋eq\f(1，3)eq\o（BC,\s\up6（→））＝eq\o(OB,\s\up6（→））＋eq\f（1，6)eq\o（BA，\s\up6（→)）＝eq\f（1，6)a＋eq\f（5,6)b.又eq\o（OD，\s\up6(→))＝a＋b。eq\o（ON,\s\up6（→))＝eq\o(OC，\s\up6（→））＋eq\o（CN,\s\up6(→)）＝eq\f（1，2)eq\o（OD,\s\up6(→）)＋eq\f(1,6)eq\o（OD，\s\up6（→））＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2，3）a＋eq\f(2，3)b，∴eq\o（MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON，\s\up6（→)）－eq\o(OM,\s\up6(→））＝eq\f(2,3)a＋eq\f（2,3）b－eq\f(1,6）a－eq\f（5,6)b＝eq\f（1，2）a－eq\f（1,6)b。16．解a·b＝|a｜｜b|cos120°＝4×2×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)))＝－4。（1)(a－2b）·(a＋b)＝a2－2a·b＋a·b－2b＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12.（2）∵|a＋b｜2＝（a＋b)2＝a2＋2a·b＋b＝16＋2×(－4）＋4＝12.∴｜a＋b｜＝2eq\r（3）.（3)｜3a－4b|2＝9a2－24a·b＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19，∴|3a－4b|＝4eq\r（19).17．解由題意有|a｜＝eq\r（\r（3）2＋－12）＝2，｜b|＝eq\r(\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2))）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\r(3),2）)）2)＝1.∵a·b＝eq\r（3)×eq\f（1，2)－1×eq\f(\r（3),2)＝0，∴a⊥b.∵x·y＝0，∴[a＋(t2－3)b]（－ka＋tb)＝0?；喌胟＝eq\f(t3－3t,4）.∴eq\f(k＋t2，t）＝eq\f（1，4)(t2＋4t－3)＝eq\f(1,4）（t＋2）2－eq\f（7,4）。即t＝－2時，eq\f(k＋t2,t）有最小值為－eq\f(7，4).18．解設(shè)eq\o（OM，\s\up6(→))＝teq\o(OC，\s\up6（→))，t∈［0，1]，則eq\o（OM，\s\up6(→))＝（6t,3t)，即M（6t,3t）.eq\o(MA,\s\up6（→）)＝eq\o（OA，\s\up6（→)）－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(2－6t，5－3t)，eq\o（MB，\s\up6（→))＝eq\o（OB，\s\up6（→))－eq\o(OM,\s\up6（→））＝（3－6t,1－3t)．若MA⊥MB，則eq\o(MA，\s\up6（→)）·eq\o（MB，\s\up6（→))＝(2－6t)(3－6t）＋（5－3t)(1－3t)＝0.即45t2－48t＋11＝0,t＝eq\f(1,3)或t＝eq\f(11，15）?！啻嬖邳cM，M點的坐標為（2，1）或eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(22,5)，\f(11,5）)）。19．解由向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角,得eq\f（2te1＋7e2·e1＋te2，|2te1＋7e2|·｜e1＋te2｜）〈0，即（2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.整理得：2teeq\o\al（2，1）＋(2t2＋7)e1·e2＋7teeq\o\al（2，2)<0。（*）∵｜e1|＝2，｜e2｜＝1，〈e1，e2〉＝60°.∴e1·e2＝2×1×cos60°＝1∴(*)式化簡得:2t2＋15t＋7〈0。解得:－7<t<－eq\f（1，2)。當向量2te1＋7e2與e1＋te2夾角為180°時，設(shè)2te1＋7e2＝λ（e1＋te2）(λ〈0）．對比系數(shù)得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2t＝λ，7＝λt，λ<0）)，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(λ＝－\r(14),t＝－\f（\r（14），2）))∴所求實數(shù)t的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－7，－\f(\r(14）,2)））∪eq\b\lc\