PAGEPAGE3拓展題型(四)最值問題最短路徑問題在四川省的中考中出現(xiàn)的頻率很高，一般與垂線段最短、兩點之間線段最短密切相關(guān)．除了以選擇題、填空題的形式考查外，還經(jīng)常在幾何綜合題、二次函數(shù)與幾何圖形綜合題中出現(xiàn)，復(fù)習(xí)時應(yīng)予以重視．類型1利用“垂線段最短〞求最值1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB上一動點，過點D作DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F，連接EF，那么線段EF的最小值是(B)A．5B．4.8C．4.6D．4.4提示：由題意可證四邊形CFDE是矩形，由矩形性質(zhì)知EF＝CD，從而將求EF轉(zhuǎn)化為求CD.由垂線段最短可知當(dāng)CD⊥AB時CD最短．由勾股定理可求得AB＝10，再由三角形的等積式可求得CD＝4.8.2．(2022·東營)如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＞AB，點D在BC上，以AC為對角線的?ADCE中，DE的最小值是4．提示：由平行四邊形的性質(zhì)可得OC＝OA，OE＝OD，即DE＝2OD.要使DE的值最小時，只需要滿足OD最小即可，此時OD⊥BC.又∠B＝90°，所以O(shè)D為△ABC的中位線，所以O(shè)D＝eq\f(1,2)AB＝2.所以DE的最小值為4.3．如圖，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半徑為1，點P是AB邊上的動點，過點P作⊙O的一條切線PQ(點Q為切點)，那么切線PQ的最小值為2eq\r(2)．提示：連接OQ，OP.由PQ為⊙O的切線，所以∠OQP＝90°.在Rt△OPQ中，由勾股定理得PQ＝eq\r(OP2－OQ2)＝eq\r(OP2－1).所以要求PQ的最小值，只需滿足OP的值最小即可，此時OP⊥AB，求得OP＝eq\f(3,2)eq\r(2).所以PQ的最小值為eq\f(\r(14),2).類型2利用“兩點之間線段最短〞求最值4．(2022·內(nèi)江)如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD＋PE最小，那么這個最小值為(B)A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．2eq\r(6)D.eq\r(6)5．(2022·龍巖)如圖，在周長為12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，假設(shè)P為對角線BD上一動點，那么EP＋FP的最小值為(C)A．1B．2C．3D．46．如圖，△ABC中，CA＝CB，AB＝6，CD＝4，E是高線CD的中點，CE是⊙C的半徑．G是⊙C上一動點，P是AG的中點，那么DP的最大值為(A)A.eq\f(7,2)B.eq\f(3\r(5),2)C.eq\f(2\r(5),25)D.eq\f(1,2)提示：連接BG.因為P，D分別為AG，AB的中點，所以DP是△ABG的中位線，所以PD＝eq\f(1,2)BG.要使PD的值最大，只要滿足BG的值最大即可，此時B，C，G三點共線，那么BG的最大值為BC＋CG＝5＋2＝7.所以DP的最大值為eq\f(7,2).7．(2022·雅安)如圖，在矩形ABCD中，AD＝6，AE⊥BD，垂足為E，ED＝3BE，點P，Q分別在BD，AD上，AP＋PQ的最小值為(D)A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C．2eq\r(3)D．3eq\r(3)提示：利用三角形相似和勾股定理可求得AE，DE的長．設(shè)A點關(guān)于BD的對稱點A′，連接A′D，可證明△ADA′為等邊三角形，當(dāng)A′Q⊥AD時，AP＋PQ最小，從而可求得AP＋PQ的最小值等于DE的長，可得出答案．8．(2022·攀枝花)如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，D為BC的中點，E是AC邊上一點，那么BE＋DE的最小值為eq\r(7)．9．(2022·瀘州)如圖，在平面直角坐標系中，點A(1，0)，B(1－a，0)，C(1＋a，0)(a>0)，點P在以D(4，4)為圓心，1為半徑的圓上運動，且始終滿足∠BPC＝90°，那么a的最大值是6．提示：AP＝AB＝AC＝a.所以要求a的最大值，相當(dāng)于求圓上求一點P使PA的值最大，此時如下圖可以連接AD并延長，交⊙D于點P′，那么a的最大值為AP′＝AD＋1＝6.10．(2022·內(nèi)江)如下圖，點C(1，0)，直線y＝－x＋7與兩坐標軸分別交于A，B兩點，D，E分別是AB，OA上的動點，那么△CDE周長的最小值是8eq\r(2)．提示