學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE4-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精（五）坐標(biāo)系與參數(shù)方程1．已知曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝3＋\r（10）cosα，，y＝1＋\r(10）sinα)）(α為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1）求曲線C的極坐標(biāo)方程,并說明方程表示什么軌跡；(2）若直線l的極坐標(biāo)方程為sinθ－cosθ＝eq\f（1，ρ),求直線l被曲線C截得的弦長．解（1)因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝3＋\r(10）cosα，,y＝1＋\r(10)sinα））(α為參數(shù))，所以曲線C的普通方程為(x－3）2＋(y－1）2＝10， ①曲線C表示以C(3，1）為圓心,eq\r（10）為半徑的圓．將eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入①并化簡，得ρ＝6cosθ＋2sinθ，即曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6cosθ＋2sinθ.（2)因?yàn)橹本€l的直角坐標(biāo)方程為y－x＝1,所以圓心C到直線y＝x＋1的距離d＝eq\f(3\r(2）,2)，所以直線被曲線C截得的弦長為2eq\r（10－\f（9，2)）＝eq\r（22）.2．(2017·河南鄭州一中模擬)已知曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－2－\f(\r(3),2)t，，y＝\f(1,2)t）)（t為參數(shù)），曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2eq\r（2)coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4））)，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)求曲線C2上的動(dòng)點(diǎn)M到曲線C1的距離的最大值．解(1）ρ＝2eq\r（2）coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(θ－\f（π,4）))＝2（cosθ＋sinθ），即ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ),可得x2＋y2－2x－2y＝0，故C2的直角坐標(biāo)方程為（x－1)2＋（y－1)2＝2。(2)易知C1的普通方程為x＋eq\r（3)y＋2＝0。由（1）知曲線C2是以（1,1）為圓心的圓,且圓心到直線C1的距離d＝eq\f（|1＋\r(3)＋2|，\r（12＋\r（3)2））＝eq\f(3＋\r(3）,2),所以動(dòng)點(diǎn)M到曲線C1的距離的最大值為eq\f（3＋\r（3)＋2\r(2）,2）。3．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l與橢圓C的極坐標(biāo)方程分別為cosθ＋2sinθ＝0和ρ2＝eq\f（4，cos2θ＋4sin2θ).(1)求直線l與橢圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)若Q是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q到直線l距離的最大值．解（1）由cosθ＋2sinθ＝0?ρcosθ＋2ρsinθ＝0?x＋2y＝0，即直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋2y＝0.由ρ2＝eq\f（4，cos2θ＋4sin2θ)?ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4?x2＋4y2＝4?eq\f（x2，4）＋y2＝1,即橢圓C的直角坐標(biāo)方程為eq\f（x2，4)＋y2＝1。（2)因?yàn)闄E圓C：eq\f（x2,4）＋y2＝1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝sinα）)（α為參數(shù)），可設(shè)Q（2cosα，sinα)．因此點(diǎn)Q到直線l：x＋2y＝0的距離d＝eq\f(|2cosα＋2sinα|,\r（12＋22))＝eq\f(2\r（2)\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(α＋\f（π，4))))），\r(5)），所以當(dāng)α＝kπ＋eq\f（π，4)，k∈Z時(shí),d取得最大值eq\f（2\r（10),5）。故點(diǎn)Q到直線l距離的最大值為eq\f(2\r(10)，5）。4．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f（\r（2），2)t，，y＝3＋\f（\r(2),2）t))(t為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ－2cosθ。(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與y軸的交點(diǎn)為P，直線l與曲線C的交點(diǎn)為A,B，求｜PA｜｜PB｜的值．解(1)直線l的普通方程為x－y＋3＝0.因?yàn)棣?＝4ρsinθ－2ρcosθ,所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4y＋2x＝0，即(x＋1)2＋(y－2)2＝5。(2)易知P(0，3），將直線l的參數(shù)方程eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f（\r（2）,2)t，，y＝3＋\f（\r（2)，2)t))(t為參數(shù)）代入曲線C：（x＋1)2＋(y－2）2＝5，得t2＋2eq\r(2）t－3＝0，所以t1t2＝－3,所以｜PA｜|PB｜＝｜t1t2｜＝3。5．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\r（3）＋\r（3）cosφ1，，y＝\r(3）sinφ1）)(φ1是參數(shù)),圓C2的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝cosφ2，,y＝1＋sinφ2))(φ是參數(shù)）,以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求圓C1,圓C2的極坐標(biāo)方程；（2）射線θ＝α(0≤α〈2π）同時(shí)與圓C1交于O，M兩點(diǎn)，與圓C2交于O，N兩點(diǎn),求｜OM|＋|ON｜的最大值．解（1）圓C1：（x－eq\r(3））2＋y2＝3,圓C2：x2＋（y－1)2＝1，故圓C1:ρ＝2eq\r（3)cosθ，圓C2：ρ＝2sinθ。（2）當(dāng)θ＝α?xí)r,M的極坐標(biāo)為(2eq\r(3)cosα，α),N的極坐標(biāo)為（2sinα，α），所以|OM|＋｜ON|＝2eq\r（3）cosα＋2sinα,所以|OM|＋｜ON|＝4sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（α＋\f(π，3）））.因?yàn)閑q\f(π，3)≤α＋eq\f(π，3)<eq\f(7π,3),