考點(diǎn)36橢圓【考綱要求】〔1〕了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用；〔2〕掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì).；〔3〕了解橢圓的簡單應(yīng)用；〔4〕理解數(shù)形結(jié)合的思想．【命題規(guī)律】高考對橢圓的考查多以解答題的形式考查，也有少數(shù)年份在客觀題中進(jìn)行考查．以選擇題、填空題的形式考查橢圓的定義、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、標(biāo)準(zhǔn)方程等問題；以解答題的形式考查橢圓的性質(zhì)、直線與橢圓的關(guān)系、與其它知識交匯〔如平面向量〕，涉及到最值問題、定值〔定點(diǎn)〕問題、幾何量的取值范圍問題，以及存在型探索性問題．預(yù)計(jì)2023年高考對橢圓的命題有以下特點(diǎn)：〔1〕以選擇題或填空題考查橢圓的定義和性質(zhì)，難度中等；〔2〕以解答題形式重點(diǎn)考查橢圓的綜合問題，多與直線結(jié)合進(jìn)行命題，難度較大．【典型高考試題變式】〔一〕橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】【2023天津卷】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為.，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率．〔1〕求橢圓的方程；〔2〕略．【答案】.【方法技巧歸納】根據(jù)條件求橢圓方程常用的主要方法有：〔1〕定義法，定義法的要點(diǎn)是根據(jù)題目所給的條件確定動點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義；〔2〕待定系數(shù)法，待定系數(shù)法的要點(diǎn)是根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的兩個系數(shù).當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個坐標(biāo)軸上時，一般可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，再用待定系數(shù)法求出的值即可.【變式1】【變換條件求橢圓方程】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，，那么橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】【解析】由離心率不妨設(shè)，那么橢圓方程為：，與直線，聯(lián)立可得，且，由弦長公式，解得，據(jù)此可得橢圓方程為．【變式2】【變?yōu)槔命c(diǎn)差法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程】橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)．假設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，那么的方程為〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，直線的斜率，，兩式相減得，即，∴,即，，解得：，方程是，應(yīng)選D．〔二〕橢圓的定義的應(yīng)用【例2】【2023全國大綱卷】橢圓：的左、右焦點(diǎn)為、，離心率為，過的直線交于兩點(diǎn)，假設(shè)的周長為，那么的方程為〔〕A．B．C．D．【答案】A【方法技巧歸納】橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面：一是確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓；二是當(dāng)在橢圓上時，與橢圓的兩焦點(diǎn)組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形〞，利用定義可求其周長，利用定義和余弦定理可求，通過整體代入可求其面積等．【變式1】【由利用定義根據(jù)周期求方程變?yōu)槔脵E圓定義求周長】過橢圓的左焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓右焦點(diǎn)，那么的周長為〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】〔1〕因?yàn)闄E圓為，所以橢圓的半長軸，由橢圓的定義可得，且，的周長為，應(yīng)選A．【變式2】【變周長問題為面積問題】假設(shè)橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個焦點(diǎn)、的連線互相垂直，那么的面積為〔〕A．36B．16C．20D．【答案】B【解析】設(shè)那么,即,又,應(yīng)選B．〔三〕橢圓的幾何性質(zhì)【例3】【2023全國新課標(biāo)3卷】橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段為直徑的圓與直線相切，那么C的離心率為〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，那么橢圓的離心率，應(yīng)選A．【方法技巧歸納】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)有兩種常用方法：〔1〕求出，代入公式；〔2〕根據(jù)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為關(guān)于的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得的值或取值范圍．【變式1】【變題圓的位置與大小】設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),與直線相切的交橢圓于點(diǎn),且點(diǎn)恰好是直線與的切點(diǎn),那么橢圓的離心率為()A．B．C．D．【答案】C【解析】〔1〕依題意，直線與相切,所以的半徑為,所以,由橢圓的定義有,根據(jù)點(diǎn)E為直線與相切的切點(diǎn),所以,由勾股定理有,而,化簡有,所以,故橢圓離心率，應(yīng)選C．【變式2】【變直線與圓相切為三角形外接圓】橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，假設(shè)的外接圓圓心在直線的左下方，那么該橢圓離心率的取值范圍為〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)，且的外接圓的方程為，將分別代入可得，由可得，即，所以，即，那么所以，應(yīng)選A．〔四〕直線與橢圓的位置關(guān)系【例4】【2023全國新課標(biāo)Ⅰ卷】橢圓：，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上．〔1〕求的方程；〔2〕設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)．假設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l【答案】〔1〕．〔2〕見解析。【解析】〔1〕由于，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過，兩點(diǎn)．又由知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上．因此，解得，故C的方程為．〔2〕設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為〔t，〕，〔t，〕．那么，得，不符合題設(shè)．從而可設(shè)l：〔〕．將代入得由題設(shè)可知．設(shè)A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么x1+x2=，x1x2=．而．由題設(shè)，故．即，解得．當(dāng)且僅當(dāng)時，，欲使l：，即，所以l過定點(diǎn)．【方法技巧歸納】〔1〕解決直線與橢圓的位置關(guān)系的問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系，解決相關(guān)問題．〔2〕設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，那么＝〔為直線斜率)．〔3〕直線與橢圓相交時的常見問題的處理方法：涉及問題處理方法弦長根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式(直線與橢圓有兩交點(diǎn))中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)點(diǎn)差法(結(jié)果要檢驗(yàn))【變式1】【第〔2〕問變定點(diǎn)問題為定值問題】中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，離心率為的橢圓C過點(diǎn)．〔1〕求橢圓C的方程；〔2〕設(shè)不過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)，假設(shè),證明：點(diǎn)O到直線的距離為定值．【答案】〔1〕；〔2〕當(dāng)時，點(diǎn)O到直線的距離為定值．【解析】〔1〕由題意可設(shè)橢圓方程為又，解得，所以橢圓方程為．〔2〕當(dāng)直線的斜率都存在時，設(shè)直線的方程為，那么得，解得，．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，在中，由得，所以點(diǎn)O到直線的距離為，當(dāng)直線之一的斜率不存在時，另一個的斜率一定為0，此時P,Q分別為橢圓的長軸和短軸的端點(diǎn)，點(diǎn)O到直線的距離為．綜上可知，當(dāng)時，點(diǎn)O到直線的距離為定值．【變式2】【第〔1〕問變?yōu)榍箅x心率；第〔2〕問變?yōu)榍笞钪祮栴}】橢圓〔〕的兩個頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上異于的點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，.〔1〕求橢圓的離心率；〔2〕假設(shè)，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，求的面積的最大值．【答案】〔1〕；〔2〕【解析】〔1〕，整理得，又，，所以，．〔2〕由〔Ⅰ〕知，又，所以橢圓C的方程為.設(shè)直線的方程為：代入橢圓的方程有：，設(shè)，，令，那么有，代入上式有，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以的面積的最大值為．【數(shù)學(xué)思想】1．函數(shù)思想的滲透由于橢圓問題中某些元素處于運(yùn)動變化之中，存在著相互聯(lián)系、相互制約的量，它們之間往往構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，從而可用函數(shù)的思想方法來解決，如求距離、面積、角度的最值及取值范圍等．2．方程思想的滲透求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一般結(jié)合待定系數(shù)法，通過建立方程(組)來解決；判斷直線與橢圓的位置關(guān)系和求相關(guān)參數(shù)的值常常須建立關(guān)于參數(shù)的方程來解決；解決直線與橢圓的位置關(guān)系問題往往須轉(zhuǎn)化為二次方程來解決．3．分類討論思想的滲透假設(shè)題中的涉及到橢圓曲線類型或點(diǎn)、直線、曲線的相互間的位置變化不明確時，常常需要進(jìn)行分類討論解答．4．轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想在橢圓問題的解決中可謂無處不在，特別是利用定義轉(zhuǎn)化焦半徑、平面幾何知識的轉(zhuǎn)化，往往能使問題得到快速的解決．【處理集合問題注意點(diǎn)】1．橢圓的定義中易無視這一條件；2．易忽略橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的條件；3．求解橢圓方程方程中含有參數(shù)問題時，或根據(jù)條件無法確定焦點(diǎn)的位置時，注意不要無視焦點(diǎn)的位置，常常要通過分類討論進(jìn)行解答；4．求解與橢圓相關(guān)的最值或幾何量的取值范圍時，如果建立的函數(shù)的自變量是橢圓點(diǎn)的坐標(biāo)，此時易無視橢圓方程中未知數(shù)的取值范圍．5．解答直線與橢圓位置關(guān)系綜合題時，一般要注意直線與橢圓的位置關(guān)系的限制條件，直線的斜率是否存在的討論，也可能存在考慮問題不全面或不進(jìn)行嚴(yán)密的推導(dǎo)而導(dǎo)致錯誤．【典例試題演練】1．【2023屆陜西黃陵中學(xué)高三下二模】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，那么橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為〔〕A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】由，且焦點(diǎn)在軸上，那么，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，應(yīng)選C．2．【2023河南息縣第一高級中學(xué)次階段測試二】圓〔為坐標(biāo)原點(diǎn)〕經(jīng)過橢圓的短軸端點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)，那么橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】由題設(shè)可得，故，應(yīng)選B．3．【2023屆安徽省淮北市高三上學(xué)期摸底】橢圓的右焦點(diǎn)到直線的距離是〔〕A．B．C．1D．【答案】B【解析】橢圓的一個焦點(diǎn)為，所求距離為．應(yīng)選B．4．【湖南省株洲市2023屆高三一?！繖E圓，為左焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn),,分別為上、下頂點(diǎn)，假設(shè)、、、四點(diǎn)在同一個圓上，那么此橢圓的離心率為()A．B．C．D．【答案】B【解析】由題設(shè)圓的半徑，那么，即，∴，解之得，應(yīng)選B．5．【廣東省韶關(guān)市2023屆高三4月高考模擬】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn),在軸上,離心率為,點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn),且的周長為12,那么的方程為()A．B．C．D．【答案】D【解析】由題設(shè)可得．又橢圓的定義可得，即，所以，那么橢圓方程為，應(yīng)選D．6．【2023福建省閩侯第六中學(xué)第一次月考】橢圓：，左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，假設(shè)的最大值為5，那么的值是〔〕A．1B．C．D．【答案】D【解析】由橢圓定義，得，所以當(dāng)線段長度達(dá)最小值時，有最大值．當(dāng)垂直于軸時，，所以的最大值為，所以，即，應(yīng)選D．7．【2023安徽省合肥市教學(xué)質(zhì)量檢測二】橢圓的左，右焦點(diǎn)為，離心率為．是橢圓上一點(diǎn)，滿足，點(diǎn)在線段上，且．假設(shè)，那么〔〕A．B．C．D．【答案】C8．【2023湖南省考前演練卷〔三〕】中心為原點(diǎn)的橢圓焦點(diǎn)在軸上，為該橢圓右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，那么該橢圓的離心率的取值范圍是〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，圓的方程，化簡為，可得。那么所雙可得，應(yīng)選B．9．【福建省泉州市2023屆高三高考考前適應(yīng)性模擬】橢圓：的左焦點(diǎn)為，假設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓上，那么橢圓的離心率為〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】橢圓左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，它關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，據(jù)此可得，整理可得：，結(jié)合整理可得：，即：，橢圓的離心率，那么．應(yīng)選D．10．【2023遼寧省沈陽市東北育才學(xué)校九?！繖E圓的左右焦點(diǎn)分別為，弦過，假設(shè)的內(nèi)切圓周長為，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，那么值為〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】由橢圓方程知：那么；根據(jù)橢圓定義得：；所以假設(shè)的內(nèi)切圓周長為，那么內(nèi)切圓半徑為那么面積為又面積為＝＝，所以，那么，應(yīng)選A．11．【福建省泉州市2023屆高三〔5月〕第二次質(zhì)量檢查】橢圓的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)分別為，那么__________．【答案】【解析】由橢圓方程知，，所以．12．【河南省師范大學(xué)附屬中學(xué)2023屆高三8月開學(xué)考試】橢圓：的左焦點(diǎn)為，假設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，那么橢圓的離心率為__________．【答案】【解析】設(shè)為右焦點(diǎn),那么，，，因此橢圓的離心率為．13．【2023屆廣西南寧市高三上學(xué)期期末】定義：橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形為橢圓的焦點(diǎn)三角形，橢圓的焦距為，焦點(diǎn)三角形的周長為，那么橢圓的方程是_________．【答案】【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，由題意得，，解得，所以，故橢圓的方程是．14．【山西省運(yùn)城市2023屆高三4月模擬調(diào)研】是橢圓，的左焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，軸，假設(shè)，那么該橢圓的離心率是__________．【答案】【解析】根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)可知，，所以，即，由因?yàn)椋杂?，整理可得，兩邊同除以得：，所以，由于，所以?5．【2023屆河南省鄭州市高三上學(xué)期月考】某同學(xué)的作業(yè)不小心被墨水玷污，經(jīng)仔細(xì)識別，整理出以下兩條有效信息：①題目：“在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作兩條斜率之積為2的射線與橢圓交于，，…〞②解：“設(shè)的斜率為，…點(diǎn)，，…〞據(jù)此，請你寫出直線的斜率為_________．〔用表示〕【答案】【解析】因?yàn)橹本€斜率之積為,所以的斜率為,由,,所以把換成,可得點(diǎn),那么直線的斜率為．16．【安徽省合肥市2023屆高三調(diào)研性檢】橢圓經(jīng)過點(diǎn)，左焦點(diǎn)為．〔1〕求橢圓的方程；〔2〕假設(shè)是橢圓的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的面積．【答案】(1)；(2)．【解析】〔1〕由橢圓的定義得：．又，故，∴橢圓的方程為：．〔2〕過的直線方程為，，聯(lián)立，設(shè)，那么，∴的面積．17．【江西省新余市2023屆高三高考全真模擬】如圖，橢圓的左右頂點(diǎn)分別是,離心率為,設(shè)點(diǎn),連接交橢圓于點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)是.〔1〕證明：；〔2〕假設(shè)三角形的面積不大于四邊形的面積，求的最小值．【答案】〔1〕見答案；〔2〕【解析】(1)由易得:橢圓方程為,設(shè)直線的方程為,由，整理得，解得：，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是，故直線的斜率為，由于故直線的斜率為，所以.18．【河南省名校聯(lián)盟2023屆高三第一次段考】橢圓〔〕的上下左右四個頂點(diǎn)分別為，，，，軸正半軸上的某點(diǎn)滿足，．〔1〕求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕過點(diǎn)作傾斜角為銳角的直線交橢圓于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn)，，且，是否存在這樣的直線，使得，，的面積相等？假設(shè)存在，請求出直線的斜率；假設(shè)不存在，請說明理由．【答案】〔1〕橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，點(diǎn)坐標(biāo)為；〔2〕．【解析】〔1〕設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為〔〕，易知，，，．因此橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，點(diǎn)坐標(biāo)為．〔2〕設(shè)直線的斜率為，，，，那么：，：、的面積相等，那么點(diǎn)，到直線的距離相等．所以，解之得或〔舍