專題11圓一、選擇題1.〔2023貴州遵義第8題〕圓錐的底面積為9πcm2，母線長(zhǎng)為6cm，那么圓錐的側(cè)面積是〔〕A．18πcm2 B．27πcm2 C．18cm2 D．27cm【答案】A.考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算．2.〔2023湖南株洲第6題〕以下圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對(duì)的圓心角最大的圖形是〔〕A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形【答案】A.【解析】試題分析：∵正三角形一條邊所對(duì)的圓心角是360°÷3=120°，正方形一條邊所對(duì)的圓心角是360°÷4=90°，正五邊形一條邊所對(duì)的圓心角是360°÷5=72°，正六邊形一條邊所對(duì)的圓心角是360°÷6=60°，∴一條邊所對(duì)的圓心角最大的圖形是正三角形，應(yīng)選A．3.〔2023內(nèi)蒙古通遼第9題〕以下命題中，假命題有〔〕①兩點(diǎn)之間線段最短；②到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上；③過一點(diǎn)有且只有一條直線與直線平行；④垂直于同一直線的兩條直線平行；⑤假設(shè)⊙的弦交于點(diǎn)，那么.A．4個(gè)B．3個(gè)C.2個(gè)D．1個(gè)【答案】C考點(diǎn)：命題與定理4.〔2023湖北咸寧第7題〕如圖，⊙的半徑為，四邊形內(nèi)接于⊙，連接,假設(shè)，那么的長(zhǎng)為〔〕A．B．C.D．【答案】C．試題分析：四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可得∠BCD+∠A=180°，由圓周角定理可得∠BOD=2∠A，再由∠BOD=∠BCD可得2∠A+∠A=180°，所以∠A=60°，即可得∠BOD=120°，所以的長(zhǎng)==2π；應(yīng)選C．考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．5.〔2023廣西百色第11題〕以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，作半徑為2的圓，假設(shè)直線與相交，那么的取值范圍是〔〕A．B．C.D．【答案】D考點(diǎn)：1.直線與圓的位置關(guān)系；2.一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．6.〔2023哈爾濱第7題〕如圖，中，弦，相交于點(diǎn)，，，那么的大小是()A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：∵∠D=∠A=42°，∴∠B=∠APD﹣∠D=35°，應(yīng)選B．考點(diǎn)：圓周角定理．7.〔2023黑龍江齊齊哈爾第9題〕一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，那么圓錐側(cè)面展開圖的扇形的圓心角是〔〕A． B． C． D．【答案】A考點(diǎn)：1.圓錐的計(jì)算；2.幾何體的展開圖．8.〔2023內(nèi)蒙古呼和浩特第7題〕如圖，是的直徑，弦，垂足為，假設(shè)，，那么的周長(zhǎng)為〔〕A． B． C． D．【答案】B考點(diǎn)：垂徑定理．9.〔2023青海西寧第8題〕如圖，是的直徑，弦交于點(diǎn)，，.那么的長(zhǎng)為〔〕A．B．C.D．8【答案】C【解析】試題分析：作OH⊥CD于H，連結(jié)OC，如圖，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=30°，∴OH=OP=1，在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，∴CH==，∴CD=2CH=2．應(yīng)選C．10.〔2023湖南張家界第3題〕如圖，在⊙O中，AB是直徑，AC是弦，連接OC，假設(shè)∠ACO=30°，那么∠BOC的度數(shù)是〔〕A．30°B．45°C．55°D．60°【答案】D．考點(diǎn)：圓周角定理．11.〔2023海南第12題〕如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，那么∠BOC的度數(shù)為〔〕A．25° B．50° C．60° D．80°【答案】B.【解析】試題分析：先根據(jù)OA=OB，∠BAO=25°得出∠B=25°，再由平行線的性質(zhì)得出∠B=∠CAB=25°，根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論．∵OA=OB，∠BAO=25°，∴∠B=25°．∵AC∥OB，∴∠B=∠CAB=25°，∴∠BOC=2∠CAB=50°．應(yīng)選B．考點(diǎn)：圓周角定理及推論，平行線的性質(zhì).12.〔2023河池第8題〕如圖，⊙的直徑垂直于弦，那么的大小是〔〕A．B．C.D．【答案】B.考點(diǎn)：圓周角定理；垂徑定理.13.〔2023新疆烏魯木齊第8題〕如圖，是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)計(jì)算這個(gè)幾何體的側(cè)面積是〔〕A．B．C.D．【答案】B.【解析】試題解析：由三視圖可知，原幾何體為圓錐，∵l=，∴S側(cè)=?2πr?l=×2π××2=2π．應(yīng)選B．考點(diǎn)：由三視圖判斷幾何體；圓錐的計(jì)算．二、填空題1.〔2023貴州遵義第17題〕如圖，AB是⊙O的直徑，AB=4，點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線與⊙O交于C，D兩點(diǎn)．假設(shè)∠CMA=45°，那么弦CD的長(zhǎng)為．【答案】.考點(diǎn)：垂徑定理；勾股定理；等腰直角三角形．2.〔2023湖南株洲第15題〕如圖，AM為⊙O的直徑，直線BC經(jīng)過點(diǎn)M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，線段AB和AC分別交⊙O于點(diǎn)D、E，∠BMD=40°，那么∠EOM=．【答案】80°.考點(diǎn)：圓周角定理．3.〔2023郴州第14題〕圓錐的母線長(zhǎng)為，高為，那么該圓錐的側(cè)面積為〔結(jié)果保存〕．【答案】15π．【解析】試題分析：由圖可知，圓錐的高是4cm，母線長(zhǎng)5cm，根據(jù)勾股定理得圓錐的底面半徑為3cm，所以圓錐的側(cè)面積=π×3×5=15π．考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算.4.〔2023哈爾濱第18題〕扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為8，那么此扇形的圓心角為.【答案】90°【解析】試題分析：設(shè)扇形的圓心角為n°，那么=4π，解得，n=90，故圓心角為90°.考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算．5.〔2023黑龍江齊齊哈爾第15題〕如圖，是的切線，切點(diǎn)為，是的直徑，交于點(diǎn)，連接，假設(shè)，那么的度數(shù)為．【答案】80°【解析】試題分析：∵AC是⊙O的切線，∴∠C=90°，∵∠A=50°，∴∠B=40°，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB=40°，∴∠COD=2×40°=80°考點(diǎn)：切線的性質(zhì)．6.〔2023黑龍江綏化第16題〕一個(gè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，那么此扇形的面積為．〔用含的式子表示〕【答案】3π.考點(diǎn)：1.扇形面積的計(jì)算；2.弧長(zhǎng)的計(jì)算．7.〔2023黑龍江綏化第18題〕半徑為2的圓內(nèi)接正三角形，正四邊形，正六邊形的邊心距之比為．【答案】1：：.【解析】試題分析：由題意可得，正三角形的邊心距是：2×sin30°=2×=1，正四邊形的邊心距是：2×sin45°=2×=，正六邊形的邊心距是：2×sin60°=2×=，∴半徑為2的圓內(nèi)接正三角形，正四邊形，正六邊形的邊心距之比為：1：：.考點(diǎn)：正多邊形和圓．8.〔2023湖北孝感第15題〕半徑為的中，弦，弦，那么的度數(shù)為．【答案】150°或30°考點(diǎn)：1.垂徑定理；2.解直角三角形；3.等邊三角形的判定與性質(zhì)；4.圓周角定理.9.〔2023青海西寧第16題〕圓錐的主視圖是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，那么該圓錐側(cè)面展開圖的面積是.【答案】8π【解析】試題分析：根據(jù)題意得：圓錐的底面半徑為2cm，母線長(zhǎng)為4cm，那么該圓錐側(cè)面展開圖的面積是8πcm2．考點(diǎn)：1.三視圖；2..圓錐的計(jì)算．10.〔2023青海西寧第17題〕如圖，四邊形內(nèi)接于，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，假設(shè)，那么______.【答案】60°【解析】試題分析：∵∠BOD=120°，∴∠A=∠BOD=60°．∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠DCE=∠A=60°．考點(diǎn)：1.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；2.圓周角定理．11.〔2023上海第17題〕如圖，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4．分別以點(diǎn)A、B為圓心畫圓．如果點(diǎn)C在⊙A內(nèi)，點(diǎn)B在⊙A外，且⊙B與⊙A內(nèi)切，那么⊙B的半徑長(zhǎng)r的取值范圍是．【答案】8＜r＜10如圖2，當(dāng)B在⊙A上，⊙B與⊙A內(nèi)切時(shí)，⊙A的半徑為：AB=AD=5，⊙B的半徑為：r=2AB=10；∴⊙B的半徑長(zhǎng)r的取值范圍是：8＜r＜10．故答案為：8＜r＜10．考點(diǎn)：1.圓與圓的位置關(guān)系；2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；3.勾股定理.12.〔2023上海第18題〕我們規(guī)定：一個(gè)正n邊形〔n為整數(shù)，n≥4〕的最短對(duì)角線與最長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)度的比值叫做這個(gè)正n邊形的“特征值〞，記為λn，那么λ6=．【答案】考點(diǎn)：1.正多邊形與圓；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.銳角三角函數(shù)13.〔2023遼寧大連第12題〕如圖，在⊙中，弦，，垂足為，，那么⊙的半徑為．【答案】5.【解析】試題分析：先根據(jù)垂徑定理得出AC的長(zhǎng)，再由勾股定理即可得出結(jié)論．連接OA，∵OC⊥AB，AB=8，∴AC=4，∵OC=3，∴OA==5．故答案為5．考點(diǎn)：垂徑定理；勾股定理.14.〔2023海南第18題〕如圖，AB是⊙O的弦，AB=5，點(diǎn)C是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=45°，假設(shè)點(diǎn)M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，那么MN長(zhǎng)的最大值是．【答案】.∵∠ACB=45°，AB=5，∴∠AC′B=45°，∴BC′===5，∴MN最大=．故答案為：．考點(diǎn)：三角形的中位線定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形.15.〔2023河池第17題〕圓錐的底面半徑長(zhǎng)為，將其側(cè)面展開后得到一個(gè)半圓，那么該半圓的半徑長(zhǎng)是．【答案】10.考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算.16.〔2023新疆烏魯木齊第14題〕用等分圓周的方法，在半徑為的圖中畫出如下圖圖形，那么圖中陰影局部面積為．【答案】π﹣．【解析】試題解析：如圖，設(shè)的中點(diǎn)我P，連接OA，OP，AP，△OAP的面積是：×12=，扇形OAP的面積是：S扇形=，AP直線和AP弧面積：S弓形=﹣，陰影面積：3×2S弓形=π﹣．故答案為：π﹣．考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算．三、解答題1.〔2023貴州遵義第24題〕如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，∠APB=60°，連接PO并延長(zhǎng)與⊙O交于C點(diǎn)，連接AC，BC．〔1〕求證：四邊形ACBP是菱形；〔2〕假設(shè)⊙O半徑為1，求菱形ACBP的面積．【答案】〔1〕.證明見解析；〔2〕菱形ACBP的面積=．考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)．2.〔2023湖南株洲第25題〕如圖示AB為⊙O的一條弦，點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn)，E為優(yōu)弧AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上，且BE=EF，線段CE交弦AB于點(diǎn)D．①求證：CE∥BF；②假設(shè)BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求△BCD的面積〔注：根據(jù)圓的對(duì)稱性可知OC⊥AB〕．【答案】①證明見解析；②△BCD的面積為：2．【解析】試題分析：①連接AC，BE，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得出∠F=∠AEB，由圓周角定理得②解：∵∠DAE=∠DCB，∠AED=∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴，即，∵∠CBD=∠CEB，∠BCD=∠ECB，∴△CBE∽△CDB，∴，即，∴CB=2，∴AD=6，∴AB=8，∵點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB，AG=BG=AB=4，∴CG==2，∴△BCD的面積=BD?CG=×2×2=2．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理；三角形的外角性質(zhì)；勾股定理.3.〔2023內(nèi)蒙古通遼第24題〕如圖，為⊙的直徑，為的中點(diǎn)，連接交弦于點(diǎn).過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).〔1〕求證：是⊙的切線；〔2〕連接，假設(shè)，求四邊形的面積.【答案】〔1〕證明見解析〔2〕8考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)4.〔2023郴州第23題〕如圖，是的弦，切于點(diǎn)垂足為是的半徑，且.〔1〕求證：平分；〔2〕假設(shè)點(diǎn)是優(yōu)弧上一點(diǎn)，且，求扇形的面積〔計(jì)算結(jié)果保存〕【答案】(1)詳見解析；〔2〕3π．考點(diǎn)：圓的綜合題.5.〔2023湖北咸寧第21題〕如圖，在中，，以為直徑的⊙與邊分別交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn).⑴求證：是⊙的切線；⑵假設(shè)，求的長(zhǎng)【答案】〔1〕詳見解析；〔2〕．考點(diǎn)：圓的綜合題.6.〔2023湖北咸寧第23題〕定義：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下定義：如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱三角形為“智慧三角形〞.理解：⑴如圖，是⊙上兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫A上找出滿足條件的點(diǎn)，使為“智慧三角形〞〔畫出點(diǎn)的位置，保存作圖痕跡〕；⑵如圖，在正方形中，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，試判斷是否為“智慧三角形〞，并說明理由；運(yùn)用：⑶如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙的半徑為，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，假設(shè)在⊙上存在一點(diǎn)，使得為“智慧三角形〞，當(dāng)其面積取得最小值時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】〔1〕詳見解析；〔2〕詳見解析；〔3〕P的坐標(biāo)〔﹣，〕，〔，〕．考點(diǎn)：圓的綜合題．7.〔2023湖南常德第22題〕如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于C，BE∥CO．〔1〕求證：BC是∠ABE的平分線；〔2〕假設(shè)DC=8，⊙O的半徑OA=6，求CE的長(zhǎng)．【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕4.8．考點(diǎn)：切線的性質(zhì)．8.〔2023廣西百色第25題〕的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)，假設(shè)，如圖1.判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；設(shè)與相交于點(diǎn)，如圖2，求的長(zhǎng).【答案】〔1〕△ABC為等腰三角形，證明見解析；〔2〕AM=．【解析】試題分析：〔1〕易證∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°和∠EOF=∠DOE，即可解題；〔2〕連接OB、OC、OD、OF，易證AD=AF，BD=CF可得DF∥BC，再根據(jù)AE長(zhǎng)度即可解題．考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．9.〔2023黑龍江綏化第26題〕如圖，梯形中，，于，的平分線交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，交于另一點(diǎn)．〔1〕求證：與相切；〔2〕假設(shè)，求的值．【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕tan∠ABC=．【解析】〔2〕如下圖：連接OF．∵OA⊥BC，∴BE=EF=BF=12．在Rt△OEF中，OE=5，EF=12，∴OF==13．∴AE=OA+OE=13+5=18．∴tan∠ABC==．考點(diǎn)：1.切線的判定與性質(zhì)；2.梯形；3.解直角三角形．10.〔2023湖北孝感第23題〕如圖，的直徑弦的平分線交于過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接〔1〕由，，圍成的曲邊三角形的面積是；〔2〕求證：是的切線；〔3〕求線段的長(zhǎng).【答案】〔1〕；〔2〕證明見解析；〔3〕．〔2〕由〔1〕知∠AOD=90°，即OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線；〔3〕∵AB=10、AC=6，∴BC==8，過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F，那么四邊形AODF是正方形，∴AF=OD=FD=5，∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC，∴tan∠EAF=tan∠CBA，∴，即，∴EF=，∴DE=DF+EF=+5=．考點(diǎn)：1.切線的判定；2.圓周角定理；3.正方形的判定與性質(zhì)；4.正切函數(shù)的定義.11.〔2023內(nèi)蒙古呼和浩特第24題〕如圖，點(diǎn)，，，是直徑為的上的四個(gè)點(diǎn)，是劣弧的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．〔1〕求證：；〔2〕假設(shè)，，求證：是正三角形；〔3〕在〔2〕的條件下，過點(diǎn)作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求的面積．【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕證明見解析；〔3〕△ACH的面積.考點(diǎn)：圓的綜合題．12.〔2023青海西寧第26題〕如圖，在中，，以為直徑作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn).〔1〕求證：；〔2〕假設(shè)，求的長(zhǎng).【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕BF=.【解析】試題分析：〔1〕連接OD、AD，由AB=AC且∠ADB=90°知D是BC的中點(diǎn)，由O是AB中點(diǎn)知OD∥AC，根據(jù)OD考點(diǎn)：1.切線的性質(zhì)；2.等腰三角形的性質(zhì)；3.相似三角形的判定與性質(zhì)．13.〔2023上海第25題〕如圖，⊙O的半徑長(zhǎng)為1，AB、AC是⊙O的兩條弦，且AB=AC，BO的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)OA、OC．〔1〕求證：△OAD∽△ABD；〔2〕當(dāng)△OCD是直角三角形時(shí)，求B、C兩點(diǎn)的距離；〔3〕記△AOB、△AOD、△COD的面積分別為S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中項(xiàng)，求OD的長(zhǎng)．【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕BC=．〔3〕OD=．【解析】試題分析：〔1〕由△AOB≌△AOC，推出∠C=∠B，由OA=OC，推出∠OAC=∠C=∠B，由∠ADO=∠ADB，即可證〔2〕如圖2中，∵BD⊥AC，OA=OC，∴AD=DC，∴BA=BC=AC，∴△ABC是等邊三角形，在Rt△OAD中，∵OA=1，∠OAD=30°，∴OD=OA=，∴AD==，∴BC=AC=2AD=．〔3〕如圖3中，作OH⊥AC于H，設(shè)OD=x．考點(diǎn)：1.圓綜合題；2.全等三角形的判定和性質(zhì)；3.相似三角形的判定和性質(zhì)；4.比例中項(xiàng).14.〔2023湖南張家界第21題〕在等腰△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O分別與AB，AC相交于點(diǎn)D