河北省石家莊市望都金岸高級中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標為（

）A．(－3,4)

B．(5,4)

C．(－3,2)

D．(3,4)參考答案：A，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，故選A.

2.函數(shù)y=的圖象大致為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】函數(shù)的圖象．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域，特殊點的函數(shù)值符號，以及函數(shù)的單調(diào)性和極值進行判斷即可．【解答】解：由lnx≠0得，x＞0且x≠1，當0＜x＜1時，lnx＜0，此時y＜0，排除B，C，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=，由f′（x）＞0得lnx＞1，即x＞e此時函數(shù)單調(diào)遞增，由f′（x）＜0得lnx＜1且x≠1，即0＜x＜1或1＜x＜e，此時函數(shù)單調(diào)遞減，故選：D．【點評】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，利用定義域，單調(diào)性極值等函數(shù)特點是解決本題的關(guān)鍵．3.如圖，雙曲線的中心在坐標原點O，M、N分別為雙曲線虛軸的上、下端點，A是雙曲線的右頂點，F(xiàn)是雙曲線的右焦點，直線AM與FN相交于點P，若∠APF是銳角，則此雙曲線的離心率的取值范圍是（）A．（，+∞） B．（1+，+∞） C．（0，） D．（，+∞）參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)雙曲線的方程為﹣=1，求出點P的坐標，再根據(jù)∠APF是銳角，則＜0，得到b2＜ac，繼而得到e2﹣e﹣1＜0，解得即可．【解答】解：設(shè)雙曲線的方程為﹣=1，由題意可得A（a，0），F(xiàn)（c，0），M（0，b），N（0，﹣b），故直線AF的方程為y+b=x，直線NF的方程為y﹣b=﹣x，聯(lián)立方程組，解得x=，y=，即P（，），∴=（，），=（，），∵∠APF是銳角，∴=?+?＜0，∴b2＜ac，∴c2﹣a2＜ac∴e﹣＜1，即e2﹣e﹣1＜0，解得e＞，e＜（舍去），故選：A4.定義集合運算：A⊙B=｛z︳z=xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，設(shè)集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，則集合A⊙B的所有元素之和為

(

)

A．

0

B.

6

C.

12

D.

18參考答案：D5.已知m，則“m＞2”是“方程表示雙橢圓”的

（

）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A6.《九章算術(shù)》涉及到中國古代的一種幾何體――陽馬，它是底面為矩形，兩個側(cè)面與底面垂直的四棱錐，已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為１，現(xiàn)有一體積為4的陽馬，則該陽馬對應(yīng)的三視圖（用粗實線畫出）可能為（）參考答案：C7.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且對任意x∈R都有f′（x），則不等式f（x2）＞的解集為（）A．（1，2） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（﹣1，1）參考答案：D考點： 導(dǎo)數(shù)的運算；其他不等式的解法．專題： 計算題．分析： 所求解的不等式是抽象不等式，是與函數(shù)有關(guān)的不等式，函數(shù)的單調(diào)性和不等關(guān)系最密切．由f′（x），構(gòu)造單調(diào)遞減函數(shù)h（x）=f（x）﹣，利用其單減性求解．解答： 解：∵f′（x），∴f′（x）﹣＜0，設(shè)h（x）=f（x）﹣，則h′（x）=f′（x）﹣＜0，∴h（x）是R上的減函數(shù)，且h（1）=f（1）﹣=1﹣=．不等式f（x2）＞，即為f（x2）x2＞，即h（x2）＞h（1），得x2＜1，解得﹣1＜x＜1，∴原不等式的解集為（﹣1，1）．故選：D．點評： 本題考查抽象不等式求解，關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)已知條件和所要解的不等式，找到合適的函數(shù)作載體是關(guān)鍵．8.若，，是虛數(shù)單位，且，則的值為

（

）A． B．

C． D．參考答案：D根據(jù)復(fù)數(shù)相等，可知，即，所以，選D.9.為了配合創(chuàng)建全國文明城市的活動，我校現(xiàn)從4名男教師和5名女教師中，選取3人，組成文明志愿者小組，若男女至少各有一人，則不同的選法共有（

）A.140種B.70種C.35種D.84種參考答案：B10.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是正三角形，則幾何體的外接球的表面積為(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】幾何體是三棱錐，根據(jù)三視圖知最里面的面與底面垂直，高為2，結(jié)合直觀圖判定外接球的球心在SO上，利用球心到A、S的距離相等求得半徑，代入球的表面積公式計算．【解答】解：由三視圖知：幾何體是三棱錐，且最里面的面與底面垂直，高為2，如圖：

其中OA=OB=OC=2，SO⊥平面ABC，且SO=2，其外接球的球心在SO上，設(shè)球心為M，OM=x，則=2﹣x?x=，∴外接球的半徑R=，∴幾何體的外接球的表面積S=4π×=π．故選：D．【點評】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，考查了學(xué)生的空間想象能力及作圖能力，判斷幾何體的特征及利用特征求外接球的半徑是關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知共有項的數(shù)列，，定義向量、，若，則滿足條件的數(shù)列的個數(shù)為

．參考答案：12.某人5次上班途中所花的時間(單位:分鐘)分別為,已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,則其方差為___________.參考答案：213.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，其中，，，，若存在常數(shù)對任意正整數(shù)都有，則

．參考答案：614.設(shè)x，y滿足約束條件，則的最小值是__________．參考答案：-2.【分析】畫出約束條件所表示平面區(qū)域，結(jié)合圖象，確定目標函數(shù)最優(yōu)解，代入即可求解，得到答案.【詳解】畫出約束條件所表示平面區(qū)域，如圖所示，目標函數(shù)化為，當直線過點A時，此時在y軸上的截距最大，目標函數(shù)取得最小值，又由，解得，所以目標函數(shù)的最小值為.【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．15.如圖，已知PA、PB是圓O的切線，A、B分別為切點，C為圓O上不與A、B重合的另一點，若∠ACB=120°，則∠APB=

參考答案：16.一個由棱錐和半球體組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

．參考答案：由三視圖可得，該幾何體是一個組合體，其上半部分是一個四棱錐，四棱錐的底面是一個對角線長度為2的菱形，高為2，其體積為：，下半部分是半個球，球的半徑R=1，其體積為據(jù)此可得，該幾何體的體積為.點睛：(1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進行求解．17.設(shè)函數(shù)，若f（a）=2，則實數(shù)a=．參考答案：﹣1【考點】函數(shù)的值．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】將x=a代入到f（x），得到=2．再解方程即可得．【解答】解：由題意，f（a）==2，解得，a=﹣1．故a=﹣1．【點評】本題是對函數(shù)值的考查，屬于簡單題．對這樣問題的解答，旨在讓學(xué)生體會函數(shù)，函數(shù)值的意義，從而更好的把握函數(shù)概念，進一步研究函數(shù)的其他性質(zhì)．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)有兩個不同的極值點x1，x2，且x1＜x2．（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）求證：x1x2＜a2．參考答案：（1）（e，+∞）；（2）見解析【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)有兩個不同的零點，確定實數(shù)a所需滿足的條件，解得結(jié)果，（2）先根據(jù)極值點解得a，再代入化簡不等式x1x2＜a2，設(shè)，構(gòu)造一元函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，最后構(gòu)造單調(diào)性證明不等式.【詳解】（1）∵函數(shù)，∴x＞0，f′（x）=x-alnx，∵函數(shù)有兩個不同的極值點x1，x2，且x1＜x2．∴f′（x）=x-alnx=0有兩個不等根，令g（x）=x-alnx，則=，（x＞0），①當a≤0時，得g′（x）＞0，則g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（x）在（0，+∞）上不可能有兩個零點．②當a＞0時，由g′（x）＞0，解得x＞a，由g′（x）＜0，解得0＜x＜a，則g（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，要使函數(shù)g（x）有兩個零點，則g（a）=a-alna＜0，解得a＞e，∴實數(shù)a的取值范圍是（e，+∞）．（2）由x1，x2是g（x）=x-alnx=0的兩個根，則，兩式相減，得a（lnx2-lnx1）=x2-x1），即a=，即證x1x2＜，即證=，由x1＜x2，得=t＞1，只需證ln2t-t-，設(shè)g（t）=ln2t-t-，則g′（t）==，令h（t）=2lnt-t+，∴h′（t）==-（）2＜0，∴h（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴h（t）＜h（1）=0，∴g′（t）＜0，即g（t）在（1，+∞）上是減函數(shù)，∴g（t）＜g（1）=0，即ln2t＜t-2+（1，+∞）上恒成立，∴x1x2＜a2．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查綜合論證求解能力，屬難題.19.已知橢圓的離心率為,短軸一個端到右焦點的距離為.(Ⅰ)求橢圓C的方程:

(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點,坐標原點O到直線的距離為,求△AOB面積的最大值.參考答案：略20.（本題滿分16分）數(shù)列的前項和記為，且滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求和：；（3）設(shè)有項的數(shù)列是連續(xù)的正整數(shù)數(shù)列，并且滿足：試問數(shù)列最多有幾項？并求這些項的和.參考答案：解：（1）由得，相減得，即．又，得，數(shù)列是以1為首項2為公比的等比數(shù)列，．………………5分（2）由（1）知．………………10分（3）由已知得．又是連續(xù)的正整數(shù)數(shù)列，．上式化為．……又，消得．，由于，，時，的最大值為9.此時數(shù)列的所有項的和為……16分略21.如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，∠EBD=45°．（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求該幾何體的體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定．【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（I）四邊形ABCD是正方形，可得AC⊥DB．由DE⊥平面ABCD，可得DE⊥AC，利用線面垂直的判定定理即可證明．（II）四邊形ABCD是邊長為2的正方形，可得DB=2，又∠EBD=45°，可得DE=DB=2．又DE=2AF，可得AF=．利用線面垂直的性質(zhì)定理可得AF⊥AD．四邊形ADEF的面積S，利用已知可得AB⊥平面ADEF，V四棱錐ADEF=．V三棱錐E﹣BCD=，即可得出．【解答】（I）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥DB．∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DE⊥AC，又DE∩DB=D，∴AC⊥平面BDE．（II）解：四邊形ABCD是邊長為2的正方形，∴DB=2，又∠EBD=45°，∴DE=DB=2．∵DE=2AF，∴AF=．∵DE⊥平面ABCD，AF∥DE，∴DE⊥AD，AF⊥平面ABCD，∴AF⊥AD．四邊形ADEF的面積S==3．∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AB．又AB⊥AD，AD∩DE=D，∴AB⊥平面ADEF，∴V四棱錐B﹣ADEF===2．V三棱錐E﹣BCD===．∴該幾何體的體積=2