202L2022學(xué)年山東省淄博市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.（）分）

1.sinl70cosl30+sin730cos770=（）

A.更B.JC.—更D.-J

2222

2.下列命題中正確的是（）

A.OA-OB=ABB.AB+BA=0

C.0-AB=0D.AB+BC+~CD=AD

3.已知W（l+2i）=2-i,則復(fù)數(shù)z=（）

A.—1B.—iC.iD.2+i

4.在三角形中，下列各式正確的是（）

=

A.7b~si~nA~B.asinC=csinB

C.c2=a24-h2-2abcos{A+8）D.asin^A+B）=csinA

5.要得到函數(shù)y=4s譏。+》85（X+*）圖象，只需把函數(shù)y=2s歷2x的圖象（）

A.向左平移g個(gè)單位B.向左平移?個(gè)單位

5O

向右平移弓個(gè)單位向右平移?個(gè)單位

C.-5D.O

6.在△ABC中，已知。是山5邊上的一點(diǎn)，若下=：不+4正，貝IJ/L等于（）

A.1B.|C.|D.：

7.設(shè)a,b是兩條不同的直線，a是平面且bua,那么“a〃b”是“a〃a”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.所有棱長(zhǎng)都是3的直三棱柱ABC-4&G的六個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表

面積是（）

A.127rB.187rC.217rD.397r

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.在中，如下判斷正確的是（）

A.若s譏24=sin2B,則△ABC為等腰三角形

B.若4>B,則sinA>sinB

C.若△4BC為銳角三角形，則sirM〉cosB

D.若sin4>sinB,則A>B

10.已知平面an平面/?=c,直線aua,a//c,直線bu0,且b與c相交，則a和b的

位置關(guān)系不正確的是（）

A.平行B.相交C.異面D.以上都有可能

11.下列命題正確的是（）

A.復(fù)數(shù)Zi，Z2的模相等，則Zi，Z2互為共輾復(fù)數(shù)

B.Z1，Z2都是復(fù)數(shù)，若Z1+Z2是虛數(shù)，則Z1不是Z2的共輾復(fù)數(shù)

C.復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是z=2（5是z的共輔復(fù)數(shù)）

D.已知復(fù)數(shù)Z]=-1+2i,z2=1-i,Z3=3-2i（i是虛數(shù)單位）,它們對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別

為A,B,C,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若比=+y而（x,yeR）,則x+y=5

12.如圖是一幾何體的平面展開(kāi)圖，其中四邊形4BCD為

正方形，E,F,G,H分別為PA,PD,PC,PB的

中點(diǎn).在此幾何體中，給出下列結(jié)論，其中正確的

結(jié)論是（）

A.平面EFGH〃平面4BCD

B.直線P4〃平面BDG

C.直線EF〃平面PBC

D.直線EF〃平面8DG

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知I初=|K|=3，E是與向量方方向相同的單位向量，向量3在向量石上的投影向

量為:落則五與方的夾角為.

14.如圖，4B=1,4C=3,44=90。,備=2而，則而?而=.Ci

M

15.一船向正北方向航行，看見(jiàn)正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線

上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60。方向，另一燈塔在船的南偏

西75。方向，則這只船的速度是.

第2頁(yè)，共14頁(yè)

16.在△力BC中，a,b,c分別是角4,B,C的對(duì)邊，若a=百，b+c=3,向量記=

(2cos2A+3,2),n=(_2cosA,1),且記〃冗則△4BC的面積是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知落石,H是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中1=(1,2),b=(-2,4).c=(-2,m).

(1)若不_L3+?＞求|引；

(2)若k1十酒2乙-秧線，求k的值.

18.(1)已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+?nx+n=0,若1+是方程M+mx+n=0的

一個(gè)復(fù)數(shù)根，求出zn,n的值；

(2)復(fù)數(shù)|z/=l,z2=2+2i,-—Z21的最大和最小值各是多少？(此小題只寫出

結(jié)果)

19.已知f(x)=2s皿3x+9)(3＞0,—]＜勿＜0)的最小正周期為2兀，八功圖象關(guān)于

直線x=等對(duì)稱.

(1)求函數(shù)/(X)的解析式；

(2)將人乃的圖象上所有點(diǎn)向左平移卷個(gè)單位長(zhǎng)度，再將得到的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫

坐標(biāo)縮短到原來(lái)的三縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞增

區(qū)間.

20.已知向量訪=(sinx—V5cosx,1)，n=(2sinx,4cos2x),函數(shù)/(%)=沅?五.

⑴若XG[-pTT],求函數(shù)/(X)的減區(qū)間；

(2)若xe[0,g,方程f(x)=a有唯一解，求a的取值范圍.

21.如圖所示，正四棱錐P-4BCD的各棱長(zhǎng)均為13,M為

PA上的點(diǎn)，且PM：MA=5：8.

(1)在線段8D上是否存在一點(diǎn)N,使直線MN〃平面

PBC?,如果存在，求出BN：ND的值，如果不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)假設(shè)存在滿足條件(1)的N點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng).

△4BC的內(nèi)角4,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c.已知asin-丁=bsin(8+C).

⑴求B；

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=2,求△力8C面積的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

由題意利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式，求得式子的值.

本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：sinl70cosl3°+sin73°cos770

=sinl70cosl30+cosl70sinl30

=sin(17°+13°),

故選：B.

2.【答案】D

【解析】解：對(duì)于4利用向量的減法，可得用-布=瓦?，即4不正確；

對(duì)于B,結(jié)果應(yīng)該是6，即B不正確：

對(duì)于C,結(jié)果是0,即C不正確；

對(duì)于D,利用向量的加法法則，可知正確

故選：D.

對(duì)于4,利用向量的減法，可得函-布=瓦?；對(duì)于B,結(jié)果應(yīng)該是G；對(duì)于C,結(jié)果是

0；對(duì)于D,利用向量的加法法則，可得結(jié)論.

本題考查平面向量中的基本概念，考查學(xué)生對(duì)概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：：z(l+2i)=2-i,

.±±-(2T)(l-2i)_

"Z-l+2i-(l+2i)(l-2i)-h

■■z=i,

故選：C.

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后利用共擾復(fù)數(shù)的概念得答案.

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了共輾復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題.

第4頁(yè)，共14頁(yè)

4.【答案】D

【解析】解：由正弦定理有號(hào)=號(hào)=三，故三=警，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

sinAsinBsinCbsinB

因?yàn)?故故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

sinAsinCasinC=csin43

由于cos(4+B)=—cosC,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得c2=a2+b2+

2abcos(A+B),故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

由正弦定理可得自=肅，再根據(jù)誘導(dǎo)公式可得就=就麗，即asin(4+B)=csinA,

故選項(xiàng)O正確.

故選：D.

由正弦定理，余弦定理分析各個(gè)選項(xiàng)即可求解.

本題考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

5.【答案】B

【解析】解：，.,函數(shù)y=4sin(x+^)cos(x+》=2sin[2(x+，)],

要得到函數(shù)y=4sinQ+》cos(x+》的圖象，

只需把函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移今個(gè)單位.

故選：B.

根據(jù)三角恒等變換與平移法則，先化筒函數(shù)y,再判斷平移過(guò)程.

本題考查了三角恒等變換與圖象平移的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目.

6.【答案】B

【解析】解：????1、B、D、三點(diǎn)共線，CD=1CA+ACB,

?4+4=1,

：?A=-.

3

故選：B.

由題意可得[+2=1,從而即可求出4的值.

本題考查平面向量基本定理，考查學(xué)生邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：由a〃a推不出a〃b,

由(1〃8也推不出火/a,如a在a內(nèi)，

故?！▋?yōu)'是“a〃b”既不充分也不必耍條件，

故選：D.

根據(jù)線面平行的判定定理以及充分必要條件的定義判斷即可.

本題考查了充分必要條件，考查線面關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

正三棱柱的上下底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球的球心，求出球的半徑即可求出球的

表面積.

本題是中檔題，考查正三棱柱的外接球的表面積的求法，找出球的球心是解題的關(guān)鍵，

考查空間想象能力，計(jì)算能力.

【解答】

解：由題意可知：正三棱柱的上下底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球的球心，

底面中心到頂點(diǎn)的距離為：2x立x3=百；

32

所以外接球的半徑為：J(b)2+(|)2=誓.

所以外接球的表面積為：4兀(亨)2=217r.

故選：C.

9.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題考查命題真假的判斷，考查三角函數(shù)的性質(zhì)與圖象等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，

是中檔題.

對(duì)于A,若sin2A=sin2B,則24與2B相等或互補(bǔ)，對(duì)于B,由4>B,根

據(jù)“大角對(duì)大邊"，則有a>b,根據(jù)正弦定理，得sinA>sinB，對(duì)于C,若△ABC

為銳角三角形，則4+B*,可得sinA>sin(^-B),sinA>cosB，對(duì)于0,

根據(jù)正弦定理可求.

【解答】

第6頁(yè)，共14頁(yè)

解：A：vsin2A=sin2B,A,BG,

??.24=28或2/+28=180°,???4=8或4+8=90。，

則AABC為等腰或直角三角形，故A錯(cuò)誤.

B：設(shè)>ABC外接圓的半徑為r,A>B,：.a>b,:.2rsinA>2rsinB,:.

sinA>sinB,故B正確.

C：MABC為銳角三角形，AC為銳角，

+,；.sinA>sing-B),二sinA>cosB,故C正確.

D:設(shè)AABC外接圓的半徑為r,"sinA>sinB,:.2rsinA>2rsinB,

a>b,二A>B,故。正確.

故選：BCD.

10.【答案】ABD

【解析】解：若a與b平行，a〃c,b〃c,與b與c相交矛盾，所以A錯(cuò)誤；

若a與b相交，由直線aua,直線bu0,平面an平面/?=c,可知a與b都在同一點(diǎn)處

與c相交，這與a〃c矛盾，所以B錯(cuò)誤；

因?yàn)榭臻g中兩條直線的位置關(guān)系由平行、相交、異面這三種情況，故a與b只能異面，所

以選項(xiàng)C正確；

綜上所述，選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：ABD.

通過(guò)空間中線面與線線的位置關(guān)系，對(duì)三種不同情況進(jìn)行討論與判斷，即可得到答案.

本題考查了空間中直線與直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于4若z「Z2互為共輾復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)Zi，Z2的模相等，反之不成立，

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若z「Z2都是復(fù)數(shù)，設(shè)Zi=a+bi,z2=-a+di,則若z1+z?=(b+d)i是虛

數(shù)，則Zi不是Z2的共朝復(fù)數(shù)，故B正確；

對(duì)于C：復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是z=zoa+=a—biob=0,故C正確；

對(duì)于D：復(fù)數(shù)zi=-l+2i,z2=l-i,Z3=3-2i(i是虛數(shù)單位)，它們對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別

為A,B,C,。為坐標(biāo)原點(diǎn)；

所以65=(—1,2)，0B=(1,-1).0C=(3,-2)，

由于。C=xOA+yOB，故(3,—2)=x(—l,2)+y(l,-1),

整理得，解得，故x+y=5,故O正確.

故選：BCD.

直接利用共利復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的運(yùn)算及充分條件和必要條件的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共輒復(fù)數(shù)，充分條件和必要條件，主要考查學(xué)生的

運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

12.【答案】ABC

【解析】解：作出立體圖形如圖所示，連結(jié)E,F,G,卜

“四點(diǎn)構(gòu)成平面EFGH,/；V\

對(duì)于4因?yàn)镋,F分別是P4PD的中點(diǎn)，所以EF“AD,

又EFC平面ABCO,4Du平面4BC。，所以EF〃平面ZzD'sC

ABCD,同理EH〃平面4BDCD,又EHnEF=E,EF,

D

EHu平面EFGH,所以平面EFGH〃平面力BCD,故選項(xiàng)

A正確；

對(duì)于B,連結(jié)AC,BD,DG,BG,設(shè)AC的中點(diǎn)為M,則M也是BD的中點(diǎn)，所以MG〃P4,

又MGu平面BOG,P4C平面BDG,所以PA〃平面BDG,故選項(xiàng)2正確；

對(duì)于C,由4中的分析可知EF〃4D,AD//BC,所以EF〃BC,因?yàn)镋FC平面PBC,BCc

平面PBC,所以EF〃平面PBC,故選項(xiàng)C正確：

對(duì)于。，根據(jù)C中的分析可知，EF//BC,再結(jié)合圖形可得，BCCBD=B,則直線EF與

平面BDG不平行，故選項(xiàng)￡＞錯(cuò)誤.

故選：ABC.

作出立體圖形如圖所示，連結(jié)E,F,G,H四點(diǎn)構(gòu)成平面EFGH,利用線面平行的判定

定理和面面平行的判定定理以及性質(zhì)定理對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可.

本題考查了線面平行與面面平行的判定，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定定理和面面

平行的判定定理，考查了空間想象能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.

13.【答案】g

【解析】解：因?yàn)閨初=商|=3，3是與向量方方向相同的單位向量，

所以向量為在向量至上的投影向量為|五IcosOE-3cos9召=|e,

解得cos。=I，又。G[0,7r],

第8頁(yè)，共14頁(yè)

所以區(qū)與方的夾角”最

故答案為：I

根據(jù)平面向量與投影向量的定義，列式計(jì)算即可求出兩向量夾角的大小.

本題考查了投影向量的定義與計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】|

【解析】解：如圖，過(guò)。作。H垂直4B于點(diǎn)H,又乙4=90。，

???DH//CA,又而=2而，

。為線段BC的靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，

H為線段4B的靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，又4B=1,

AH=IAB=|,而在荏上的投影為4H=|,

根據(jù)向量數(shù)量積的幾何定義得：

AD-AB=ABxAH=lx-=~,

33

故答案為：

根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何定義，向量投影，數(shù)形結(jié)合即可求解.

本題考查平面向量數(shù)量積的幾何定義，向量投影，數(shù)形結(jié)合思想，屬基礎(chǔ)題.

15.【答案】10海里/小時(shí)

【解析】解：根據(jù)題意作出如圖所示的圖形，其中船由點(diǎn)4到達(dá)點(diǎn)。，兩個(gè)燈塔分別在

在AABO中，AB=ADtan60°,

1+逅

在△ACD中，AC=ADtan75°,這里tcm75°=tan(45。+30°)=f=2+遮,

1-T

所以8c=AC-AB=AD(tan75°-tan600),

即10=AD(tan750-tan600)=4D?(2+舊-遮)，所以4D=5,

所以這只船的速度u=?=京=10海里/小時(shí).

故答案為：10海里/小時(shí).

作出示意圖，由三角函數(shù)的知識(shí)表示出BC,進(jìn)而求得4D的長(zhǎng)，得解.

本題考查解三角形中的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，理解方位角的概念是

解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

16.【答案】3

2

【解析】解：UBC中，a,b,c分別是角4B,C的對(duì)邊，

va=V3,b+c=3,向量記=(2cos2A+3,2),n=(2cosA,1),且沆〃五.

???當(dāng)COSA00時(shí)，2C：S24：3_2即2cos24+3=4cosA,

2cosA1

即2(2cos2yl—1)+3=4cosA,即(2cos4—l)2=0,

求得cosZ=I，-%=%

由余弦定理可得a2=3=匕2+_2bc-cosA=(b+c)2—3bc=9—3bc,??.be=2,

則^ABC的面積為工be-sinA=—,

22

故答案為：立.

2

由題意，利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則求得4,再利用余弦

定理求得加，再利用正弦定理△ABC的面積.

本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，余弦定理、正弦定理的

應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)因?yàn)閎=(―2,4)，c=(-2,m),所以b+不=(―4,4+m)，

若蒼1(3+蕓)，則蒼?(b+c)=-4+2(4+m)=0,

解可得，m=—2,c=(—2,-2)

所以|研=2vL

(2)由已知可得k乙+3=(k-2,2k+4)，2a-b=(4,0)，

所以0x(k-2)=4(2k+4),

所以k=-2.

【解析】(1)先分別求出向量的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)的坐標(biāo)表示可求;

(2)根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可直接求解.

本題考查了向量平行及垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)試題.

第10頁(yè)，共14頁(yè)

18.【答案】解：(1)???l+&i是實(shí)系數(shù)方程/++幾=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，

:.(1+V2i)2+m(l+V2i)+九=0,

A(m+n—1)+V2(m+2)i=0,

Am4-n-1=0且?n+2=0,

,*?771=-2,71=3.

=

(2)vz22+2i,\z2\=\/4+4=2或，

???|zj=1,二|Zi-Zzl的最大值為2企+1,最小值為2企-1.

【解析】(1)利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的相等求解即可.

(2)利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等，復(fù)數(shù)的幾何意義，是基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：(1)〃>)=25譏(3%+0)(3>0(<9<0)的最小正周期為2兀，所以

T=—=兀，可得3=；

O)21

因?yàn)?Q)圖象關(guān)于直線》=與對(duì)稱，可得1-|兀+0=；+而，kez,而”(一1,0),

可得3=一算

所以/(X)=2sin(x-^)；

O

(2)由(1)可得及/(x)的圖象上所有點(diǎn)向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再將得到的圖象上每個(gè)點(diǎn)

的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的“縱坐標(biāo)不變)，

可得g(x)=2sin(2x+^-7)=2sin(2x-^),

INo1Z

則單調(diào)遞增區(qū)間滿足一/2kn<2x-^<^+kn9keZ,

解得：—37i+knWxW工冗+kmkEZ,

2424

所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間[―成兀+/ot,或TT+/OT],k&Z.

【解析】(1)由函數(shù)的最小正周期可得3的值，再由函數(shù)的對(duì)稱軸可得w的值，進(jìn)而求出

函數(shù)f(x)的解析式；

(2)由(1)可得函數(shù)f(x)向左平移及橫坐標(biāo)伸縮變化可得g(x)的解析式，再求滿足函數(shù)單

調(diào)遞增的條件，進(jìn)而可得單調(diào)遞增區(qū)間.

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及伸縮變化的性質(zhì)，三角函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間的求法,

屬于中檔題.

20.【答案】解：/(%)=m-n=2sin2x-2y/3sinxcosx+4cos2x=2(sin2x+cos2%)—

V3sm2x+cos2x+1=—2sin(2x--)4-3.

(1)令一]+2k兀42%—：4]+2攵兀，kEZ,則一:+k"W%Wg+/CTT,kez,

轉(zhuǎn)或等4%Ww,

故函數(shù)/(%)的減區(qū)間為[一號(hào)井口修㈤.

(2)vx6[0,^],2%—G[~~>~]^sin(2x—€[―；,1],

/ooooZ

???方程f(x)=a有唯一解，

???sin(2x-J)e[-|,|)U{1},對(duì)應(yīng)的f(x)的值域?yàn)?2,4]U{1},

???Q=1或2Va44.

故Q的取值范圍為{1}U(2,4].

【解析】結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)/(%)化簡(jiǎn)為

/(%)=-2sin(2x--)4-3.

6

(1)令一+2k"42%—*41+2/CTT,kEZ,解得一2+k"W%4g+k",kWZ,再結(jié)

合工￡[-(初的限定，即可得到函數(shù)"X)的減區(qū)間；

(2)由*6[0,3,可知2%-法[一％芍，由于方程f(x)=a有唯一解，結(jié)合正弦型函數(shù)

的圖象可推出sin(2x-[)6[TJ)U{1},再求得與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)/(x)的值域，從而得a

的取值范圍.

本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、三角函數(shù)與三角恒等變換的綜合，熟練掌握二倍角公

式、輔助角公式以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想、

邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)存在，BN：ND=5：8；理由如下：

連接4N并延長(zhǎng)，交BC于E,連接PE.

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