河南省商丘市永城天齊中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（5分）（2015?嘉興二模）若sinθ+cosθ=，θ∈，則tanθ=（）A．﹣B．C．﹣2D．2參考答案：C【考點(diǎn)】：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．【專題】：三角函數(shù)的求值．【分析】：由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，求得tanθ的值．解：∵sinθ+cosθ=，θ∈，sin2θ+cos2θ=1，∴sinθ=，cosθ=﹣，∴tanθ==﹣2，故選：C．【點(diǎn)評】：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題．2.設(shè)為全集，對集合，定義運(yùn)算“”，滿足，則對于任意集合，

A．

B．

C．

D．參考答案：

D3.有一個(gè)共有項(xiàng)的等差數(shù)列中，前四項(xiàng)之和為20，最后四項(xiàng)之和為60，前項(xiàng)之和是100，則項(xiàng)數(shù)為A、9

B、10

C、11

D、12參考答案：B由題意可知，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得=20，因?yàn)椋裕蔅正確．4.已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B=，那么A∩（?UB）=（）A．? B．（0，1] C．（0，1） D．（1，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】1H：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】由對數(shù)函數(shù)的定義域求出A，由函數(shù)的值域求出B，由補(bǔ)集和交集的運(yùn)算求出答案，【解答】解：由題意知，A={x|y=lgx}={x|x＞0}=（0，+∞），又，則B={y|y≥1},所以A∩（?UB）=（0，1）.5.已知符號(hào)函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C試題分析：設(shè)，則時(shí)，，因?yàn)椋瑫r(shí)可得，此時(shí)；時(shí)可得，此時(shí)；時(shí)可得，此時(shí)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，故選C.考點(diǎn)：1、分段函數(shù)的解析式；2、函數(shù)零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系.6.設(shè)x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．

【專題】簡易邏輯．【分析】由“x≥2且y≥2”推出“x2+y2≥4”可證明充分性；由滿足“x2+y2≥4”可舉出反例推翻“x≥2且y≥2”，則證明不必要性，綜合可得答案．【解答】解：若x≥2且y≥2，則x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；若x2+y2≥4，則如（﹣2，﹣2）滿足條件，但不滿足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要條件．故選A．【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件與必要條件的含義．7.在四面體S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，則該四面體的外接球的表面積為（）A．11π B．7π C． D．參考答案：D考點(diǎn)：球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圓的半徑，從而可求該三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球表面積．解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圓半徑為r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA為等腰三角形，則有該三棱錐的外接球的半徑R═=，∴該三棱錐的外接球的表面積為S=4πR2=4π×（）2=．故選：D．點(diǎn)評：本題考查三棱錐的外接球表面積，考查直線和平面的位置關(guān)系，確定三棱錐的外接球的半徑是關(guān)鍵．8.（5分）（2015?欽州模擬）設(shè)變量x、y滿足約束條件，則z=2x﹣2y的最小值為（）A．B．C．D．參考答案：B【考點(diǎn)】：簡單線性規(guī)劃．【專題】：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，設(shè)m=x﹣2y，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，進(jìn)行求最值即可．解：設(shè)m=x﹣2y得y=，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分）：平移直線y=，由圖象可知當(dāng)直線y=，過點(diǎn)A時(shí)，直線y=距最大，此時(shí)m最小，由，解得，即A（2，2），此時(shí)m最小為m=2﹣2×2=﹣2，則z=2x﹣2y的最小值為2﹣2=故選：B．【點(diǎn)評】：本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法．9.已知，則（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】由輔助角公式將化簡求出，進(jìn)而得出答案?！驹斀狻坑奢o助角公式可得所以，即所以故選D.10.命題“函數(shù)是偶函數(shù)”的否定可表示為（

）A、

B、C、

D、參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是曲線上一點(diǎn)，若，的最小內(nèi)角為，則曲線的離心率為

．參考答案：12.函數(shù)y=的定義域是

．參考答案：（﹣∞，0]【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，求解指數(shù)不等式得答案．【解答】解：由，得，∴2x≤0，即x≤0．∴函數(shù)y=的定義域是：（﹣∞，0]．故答案為：（﹣∞，0]．13.若復(fù)數(shù)z滿足，其中i為虛數(shù)單位，則_____．參考答案：【分析】先求出，則?！驹斀狻坷脧?fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡求得z，則可求．【解答】解：由＝﹣i，得，∴．故答案為：1﹣i．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題．14.函數(shù)f（x）=cos（3x+φ）（0≤φ≤π）是奇函數(shù)，則φ的值為．參考答案：【考點(diǎn)】余弦函數(shù)的奇偶性．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】利用函數(shù)是奇函數(shù)，推出方程求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=cos（3x+φ）（0≤φ≤π）是奇函數(shù)，可得φ=kπ+，k∈Z．k=0滿足題意．所以φ的值為：．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．15.已知函數(shù)，若，使得，則m的取值范圍是________.參考答案：

16.如圖所示的流程圖是將一系列指令和問題用框圖的形式排列而成，箭頭將告訴你下一步到哪一個(gè)框圖．閱讀右邊的流程圖，并回答下面問題：若，則輸出的數(shù)是．參考答案：略17.已知函數(shù)若方程有兩個(gè)大于零的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是

▲

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知橢圓：

（）的離心率為，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的四邊形的面積為.（1）求橢圓的方程；ks5u（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡的方程；（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，取上不同于O的點(diǎn)S，以O(shè)S為直徑作圓與相交另外一點(diǎn)R，求該圓面積的最小值時(shí)點(diǎn)S的坐標(biāo)．參考答案：解：（1）解：由，得，再由，解得

…………1分由題意可知，即

…………………2分解方程組得

………3分所以橢圓C1的方程是

………………3分（2）因?yàn)?，所以?dòng)點(diǎn)到定直線的距離等于它到定點(diǎn)（1，0）的距離，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)的拋物線，…6分所以點(diǎn)的軌跡的方程為

…………7分（3）因?yàn)橐詾橹睆降膱A與相交于點(diǎn)，所以∠ORS=90°，即

……………………8分設(shè)S（，），R（，），＝（-，-），=（，）所以因?yàn)?，，化簡?/p>

…………10分所以，當(dāng)且僅當(dāng)即＝16，y2＝±4時(shí)等號(hào)成立.………12分圓的直徑|OS|=因?yàn)椤?4，所以當(dāng)＝64即=±8時(shí)，，……………13分所以所求圓的面積的最小時(shí)，點(diǎn)S的坐標(biāo)為（16，±8）……14分19.(本題滿分14分)已知橢圓的焦點(diǎn)是,其上的動(dòng)點(diǎn)滿足.點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的下頂點(diǎn)為.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓的交于，兩點(diǎn)，求過三點(diǎn)的圓的方程；（Ⅲ）設(shè)過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，試證明：無論取何值時(shí)，恒為定值.參考答案：解：（Ⅰ）∵

，

……1分,

∴

…………3分∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

…4分(Ⅱ)聯(lián)立方程得

消得，解得

……………6分設(shè)所求圓的方程為：

依題有

………………8分解得所以所求圓的方程為：.

………9分（Ⅲ）證明：設(shè)，聯(lián)立方程組消得

---------------10分在橢圓內(nèi)，恒成立。設(shè)，則，

-----------11分，

---------12分

-------------13分為定值。

---------14分20.（滿分10分）《選修4—1：幾何證明選講》如下圖，AB、CD是圓的兩條平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圓于F，過A點(diǎn)的切線交DC的延長線于P，PC=ED=1，PA=2．（I）求AC的長；（II）求證：BE＝EF．參考答案：解：（I），，…（2分）又，，，…………（4分），

…………（5分）（II），，而，

…………（8分），．

…………（10分）

略21.（本小題滿分12分）某數(shù)學(xué)老師對本校2013屆高三學(xué)生某次聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行分析，按1：50進(jìn)行分層抽樣抽取20名學(xué)生的成績進(jìn)行分析，分?jǐn)?shù)用莖葉圖記錄如圖所示（部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失），得到的頻率分布表如下：（I）表中a，b的值及分?jǐn)?shù)在［90,100）范圍內(nèi)的學(xué)生，并估計(jì)這次考試全校學(xué)生數(shù)學(xué)成績及格率（分?jǐn)?shù)在［90,150］范圍為及格）；（II）從大于等于100分的學(xué)生隨機(jī)選2名學(xué)生得分，求2名學(xué)生的平均得分大于等于130分的概率。參考答案：（1）由莖葉圖可知分?jǐn)?shù)在[50,70)范圍內(nèi)的有2人，在[110,130)范圍內(nèi)的有3人，∴，b＝3． …………2分又分?jǐn)?shù)在[110,150)范圍內(nèi)的頻率為，∴分?jǐn)?shù)在[90,110)范圍內(nèi)的頻率為1－0.1－0.25－0.25＝0.4，∴分?jǐn)?shù)在[90,110)范圍內(nèi)的人數(shù)為20×0.4＝8，由莖葉圖可知分?jǐn)?shù)[100,110)范圍內(nèi)的人數(shù)為4人，∴分?jǐn)?shù)在[90,100)范圍內(nèi)的學(xué)生數(shù)為8－4＝4（人）． …………4分從莖葉圖可知分?jǐn)?shù)在[70,90]范圍內(nèi)的頻率為0．3，所以有20×0．3＝6（人），∴數(shù)學(xué)成績及格的學(xué)生為13人，所以估計(jì)全校數(shù)學(xué)成績及格率為． …………6分（2）設(shè)表示事件“大于等于110分的學(xué)生中隨機(jī)選2名學(xué)生得分，平均得分大于等于130分”，由莖葉圖可知大于等于110分有5人，記這5人分別為， …………7分則選取學(xué)生的所有可能結(jié)果為：,，基本事件數(shù)為10， …………9分事件“2名學(xué)生的平均得分大于等于130分”也就是“這兩個(gè)學(xué)生的分?jǐn)?shù)之和大于等于260”，所以可能結(jié)果為